In der Zahlentheorie, dem Lehrsatz von Dirichlet, hat auch den Primzahl-Lehrsatz von Dirichlet genannt, stellt fest, dass für irgendwelche zwei positiven coprime ganzen Zahlen a und d es ungeheuer viele Blüte der Form + nd, wo n  0 gibt. Mit anderen Worten gibt es ungeheuer viele Blüte, die zu einem modulo d kongruent ist. Die Zahlen der Form + nd bilden einen arithmetischen Fortschritt

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und der Lehrsatz von Dirichlet stellt fest, dass diese Folge ungeheuer viele Primzahlen enthält. Der Lehrsatz erweitert den Lehrsatz von Euklid, dass es ungeheuer viele Primzahlen gibt. Stärkere Formen des Lehrsatzes von Dirichlet stellen fest, dass, für jeden arithmetischen Fortschritt, die Summe der Gegenstücke der Primzahlen im Fortschritt abweicht, und dass verschiedene arithmetische Fortschritte mit demselben Modul ungefähr dieselben Verhältnisse der Blüte haben. Gleichwertig wird die Blüte (asymptotisch) unter jeder Kongruenz-Klasse modulo d gleichmäßig verteilt.

Bemerken Sie, dass der Lehrsatz von Dirichlet nicht verlangt, dass die Primzahlen in einer arithmetischen Folge aufeinander folgend sind. Es ist auch bekannt, dass dort willkürlich lange begrenzte arithmetische Fortschritte bestehen, die nur aus der Blüte bestehen, aber das ist ein verschiedenes Ergebnis, das als der Grüne-Tao Lehrsatz bekannt ist.

Beispiele

Eine ganze Zahl ist eine Blüte für die ganzen Zahlen von Gaussian, wenn es eine Primzahl ist (im normalen Sinn), der zu 3 modulo 4 kongruent ist.

Die Blüte des Typs 4n + 3 ist

: 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, ….

Sie entsprechen den folgenden Werten von n:

: 0, 1, 2, 4, 5, 7, 10, 11, 14, 16, 17, 19, 20, 25, 26, 31, 32, 34, 37, 40, 41, 44, 47, 49, 52, 55, 56, 59, 62, 65, 67, 70, 76, 77, 82, 86, 89, 91, 94, 95, ….

Die starke Form des Lehrsatzes von Dirichlet bezieht das ein

ist eine auseinander gehende Reihe.

Der folgende Tisch verzeichnet mehrere arithmetische Fortschritte und die ersten paar Primzahlen in jedem von ihnen.

Vertrieb

Da die Blüte durchschnittlich in Übereinstimmung mit dem Primzahl-Lehrsatz dünn wird, muss dasselbe für die Blüte in arithmetischen Fortschritten wahr sein. Man fragt natürlich dann nach der Weise, wie die Blüte zwischen den verschiedenen arithmetischen Fortschritten für einen gegebenen Wert von d geteilt wird (es gibt d von denjenigen im Wesentlichen, wenn wir zwei Fortschritte nicht unterscheiden, die fast alle ihre Begriffe teilen). Die Antwort wird in dieser Form gegeben: Die Zahl von ausführbaren Fortschritten modulo d — denjenigen, wo a und d keinen gemeinsamen Faktor> 1 haben — wird durch die Totient-Funktion von Euler gegeben

Weiter ist das Verhältnis der Blüte in jedem von denjenigen

Zum Beispiel, wenn d eine Primzahl q, jeder der q  1 Fortschritte, außer ist

enthält ein Verhältnis 1 / (q  1) von der Blüte.

Wenn im Vergleich zu einander Fortschritte mit einem quadratischen Nichtrückstand-Rest normalerweise ein bisschen mehr Elemente haben als diejenigen mit einem quadratischen Rückstand-Rest (Tschebyscheffs Neigung).

Geschichte

Euler hat festgestellt, dass jeder arithmetische Fortschritt, der mit 1 beginnt, eine unendliche Zahl der Blüte enthält. Der Lehrsatz in der obengenannten Form wurde zuerst von Legendre in seinen versuchten erfolglosen Beweisen der quadratischen Reziprozität vermutet und von Dirichlet in mit der Dirichlet L-Reihe bewiesen. Der Beweis wird auf der früheren Arbeit von Euler modelliert, die den Riemann zeta Funktion zum Vertrieb der Blüte verbindet. Der Lehrsatz vertritt den Anfang der strengen analytischen Zahlentheorie.

einen elementaren Beweis gegeben.

Generalisationen

Die Bunyakovsky-Vermutung verallgemeinert den Lehrsatz von Dirichlet zu höherwertigen Polynomen. Ob sogar einfache quadratische Polynome, die ungeheuer viele Hauptwerte erreichen, ein wichtiges offenes Problem sind.

In der Theorie der algebraischen Zahl verallgemeinert der Lehrsatz von Dirichlet zum Dichte-Lehrsatz von Chebotarev.

Siehe auch

• Der Lehrsatz von Linnik (1944)
• Lehrsatz von Bombieri-Vinogradov
• Brun-Titchmarsh Lehrsatz
• Lehrsatz von Siegel-Walfisz
• Der Annäherungslehrsatz von Dirichlet
• Chris Caldwell, "der Lehrsatz von Dirichlet auf der Blüte in arithmetischen Fortschritten" an den Hauptseiten.

Links

• Ansehen des ursprünglichen Papiers in deutschem
• Dirichlet: Es gibt ungeheuer viele Primzahlen in allen arithmetischen Fortschritten mit dem ersten Begriff und Unterschied coprime englische Übersetzung des ursprünglichen Papiers am arXiv
• Der Lehrsatz von Dirichlet durch Jay Warendorff, Wolfram-Demonstrationsprojekt.