In der Gruppentheorie stellt der Lehrsatz von Cayley, der zu Ehren von Arthur Cayley genannt ist, fest, dass jede Gruppe G zu einer Untergruppe der symmetrischen Gruppe isomorph ist, die G folgt. Das kann als ein Beispiel der Gruppenhandlung von G auf den Elementen von G verstanden werden.

Eine Versetzung eines Satzes G ist jede bijektive Funktion, die G auf G nimmt; und der Satz aller dieser Funktionen bildet eine Gruppe unter der Funktionszusammensetzung, genannt die symmetrische Gruppe auf G, und schriftlich als Sym (G).

Der Lehrsatz von Cayley bringt alle Gruppen auf denselben Stand, durch das Betrachten jeder Gruppe (einschließlich unendlicher Gruppen solcher als (R, +)) als eine Versetzungsgruppe von einem zu Grunde liegenden Satz. So sind Lehrsätze, die für Versetzungsgruppen wahr sind, für Gruppen im Allgemeinen wahr.

Geschichte

Obwohl Burnside

schreibt den Lehrsatz zu

in den Jordan,

Eric Nummela

dennoch behauptet, dass der Standardname - "Der Lehrsatz von Cayley" - tatsächlich passend ist. Cayley, in seiner ursprünglichen 1854-Zeitung,

gezeigt, dass die Ähnlichkeit im Lehrsatz isomorph ist, aber er hat gescheitert ausführlich zu zeigen, dass es ein Homomorphismus (und so ein Isomorphismus) war. Jedoch bemerkt Nummela, dass Cayley dieses Ergebnis bekannt der mathematischen Gemeinschaft zurzeit gemacht hat, so den Jordan um ungefähr 16 Jahre zurückdatierend.

Beweis des Lehrsatzes

Wo g jedes Element von G ist, denken Sie die Funktion f: G  G, definiert durch f (x) = g*x. Durch die Existenz von Gegenteilen hat diese Funktion ein zweiseitiges Gegenteil. So handelt die Multiplikation durch g als eine bijektive Funktion. So ist f eine Versetzung von G, und ist auch ein Mitglied von Sym (G).

Der Satz ist eine Untergruppe von Sym (G), der zu G isomorph ist. Die schnellste Weise, das zu gründen, ist, die Funktion T zu denken: G  Sym (G) mit T (g) = f für jeden g in G. T ist ein Gruppenhomomorphismus weil (das Verwenden "·" für die Zusammensetzung in Sym (G)):

für den ganzen x in G, und folglich:

Der Homomorphismus T ist auch injective, da T (g) = id (das Identitätselement von Sym (G)) andeutet, dass g*x = x für den ganzen x in G, und x nehmend, um das Identitätselement e von G zu sein, g = g*e = e nachgibt. Wechselweise ist T auch injective seitdem, wenn g*x=g '*x g=g einbezieht' (durch das Postmultiplizieren mit dem Gegenteil von x, der besteht, weil G eine Gruppe ist).

So ist G zum Image von T isomorph, der die Untergruppe K ist.

T wird manchmal die regelmäßige Darstellung von G genannt.

Alternative Einstellung des Beweises

Alternativer untergehender Gebrauch die Sprache von Gruppenhandlungen. Wir betrachten die Gruppe als ein G-Satz, der, wie man zeigen kann, Versetzungsdarstellung hat, sagt.

Denken Sie erstens damit. Dann ist die Gruppenhandlung durch die Klassifikation von G-Bahnen (auch bekannt als der Lehrsatz des Bahn-Ausgleichers).

Jetzt ist die Darstellung treu, wenn injective ist, d. h. wenn der Kern dessen trivial ist. Denken Sie Dann, durch die Gleichwertigkeit der Versetzungsdarstellung und der Gruppenhandlung. Aber seitdem, und ist so trivial. Dann

Bemerkungen auf der regelmäßigen Gruppendarstellung

Das Identitätsgruppenelement entspricht der Identitätsversetzung. Alle anderen Gruppenelemente entsprechen einer Versetzung, die kein Element unverändert verlässt. Da sich das auch um Mächte eines Gruppenelements tiefer bewirbt als die Ordnung dieses Elements, entspricht jedes Element einer Versetzung, die aus Zyklen besteht, die derselben Länge sind: Diese Länge ist die Ordnung dieses Elements. Die Elemente in jedem Zyklus bilden einen linken coset der durch das Element erzeugten Untergruppe.

Beispiele der regelmäßigen Gruppendarstellung

Z = {0,1} mit der Hinzufügung modulo 2; Gruppenelement 0 entspricht der Identitätsversetzung e, Gruppenelement 1 zur Versetzung (12).

Z = {0,1,2} mit der Hinzufügung modulo 3; Gruppenelement 0 entspricht der Identitätsversetzung e, Gruppenelement 1 zur Versetzung (123) und Gruppenelement 2 zur Versetzung (132). Z.B 1 + 1 = 2 entspricht (123) (123) = (132).

Z = {0,1,2,3} mit der Hinzufügung modulo 4; die Elemente entsprechen e, (1234), (13) (24), (1432).

Die Elemente von Klein vier-Gruppen-{e, a, b, c} entsprechen e, (12) (34), (13) (24), und (14) (23).

S (zweiflächige Gruppe des Auftrags 6) ist die Gruppe aller Versetzungen von 3 Gegenständen, sondern auch eine Versetzungsgruppe der 6 Gruppenelemente:

Siehe auch

• Eindämmungsordnung, ein ähnliches Ergebnis in der Ordnungstheorie
• Der Lehrsatz von Frucht, jede Gruppe ist die automorphism Gruppe eines Graphen
• Lemma von Yoneda, eine Entsprechung des Lehrsatzes von Cayley in der Kategorie-Theorie
• Darstellungslehrsatz

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