In der geradlinigen Algebra ein Toeplitz ist diagonal-unveränderliche oder Matrixmatrix, genannt nach Otto Toeplitz, eine Matrix, in der jede hinuntersteigende Diagonale vom linken bis Recht unveränderlich ist. Zum Beispiel ist die folgende Matrix eine Matrix von Toeplitz:

:

\begin {bmatrix }\

a & b & c & d & e \\

f & a & b & c & d \\

g & f & a & b & c \\

h & g & f & a & b \\

ich & h & g & f & ein

\end {bmatrix}.

</Mathematik>

Irgendwelcher n&times;n Matrix der Form

:

A =

\begin {bmatrix }\

a_ {0} & a_ {-1} & a_ {-2} & \ldots & \ldots &a_ {-n+1} \\

a_ {1} & a_0 & a_ {-1} & \ddots & & \vdots \\

a_ {2} & a_ {1} & \ddots & \ddots & \ddots& \vdots \\

\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & a_ {-1} & a_ {-2 }\\\

\vdots & & \ddots & a_ {1} & a_ {0} & a_ {-1} \\

a_ {n-1} & \ldots & \ldots & a_ {2} & a_ {1} & a_ {0 }\

\end {bmatrix}

</Mathematik>

ist eine Matrix von Toeplitz. Wenn ich, j Element von A A angezeigt wird, dann haben wir

:

Das Lösen eines Systems von Toeplitz

Eine Matrixgleichung der Form

:

wird ein System von Toeplitz genannt, wenn A eine Matrix von Toeplitz ist. Wenn A eine Matrix von Toeplitz ist, dann hat das System nur 2n&minus;1 Grade der Freiheit, aber nicht n. Wir könnten deshalb erwarten, dass die Lösung eines Systems von Toeplitz, und tatsächlich leichter sein würde, der der Fall ist.

Systeme von Toeplitz können durch den Algorithmus von Levinson in Θ (n) Zeit gelöst werden. Wie man gezeigt hat, sind Varianten dieses Algorithmus schwach stabil gewesen (d. h. sie stellen numerische Stabilität für gut bedingte geradlinige Systeme aus). Der Algorithmus kann auch verwendet werden, um die Determinante einer Matrix von Toeplitz in O (n) Zeit zu finden.

Eine Toeplitz Matrix kann auch (d. h. factored) in O (n) Zeit zersetzt werden. Der Bareiss Algorithmus für eine LU Zergliederung ist stabil. Eine LU Zergliederung gibt eine schnelle Methode, für ein System von Toeplitz zu lösen, und auch für die Determinante zu schätzen.

Algorithmen, die asymptotisch schneller sind als diejenigen von Bareiss und Levinson, sind in der Literatur beschrieben worden.

Allgemeine Eigenschaften

Eine Toeplitz Matrix kann als eine Matrix wo = c, für Konstanten c &hellip definiert werden; c. Der Satz von nxn Toeplitz matrices ist ein Subraum des Vektorraums von nxn matrices unter der Matrixhinzufügung und Skalarmultiplikation.

Zwei Toeplitz matrices können in O (n) Zeit hinzugefügt und in O (n) multipliziert werden.

Toeplitz matrices sind persymmetric. Symmetrische Toeplitz matrices sind sowohl centrosymmetric als auch bisymmetric.

Toeplitz matrices werden auch mit der Reihe von Fourier nah verbunden, weil der Multiplikationsmaschinenbediener durch ein trigonometrisches Polynom, das zu einem endlich-dimensionalen Raum zusammengepresst ist, durch solch eine Matrix vertreten werden kann.

Alle Toeplitz matrices pendeln asymptotisch. Das bedeutet sie diagonalize in derselben Basis, wenn Reihe- und Säulendimension zur Unendlichkeit neigt.

Getrennte Gehirnwindung

Die Gehirnwindungsoperation kann als eine Matrixmultiplikation gebaut werden, wo einer der Eingänge in eine Matrix von Toeplitz umgewandelt wird. Zum Beispiel kann die Gehirnwindung dessen und als formuliert werden:

:

\begin {Matrix-}\

y & = & h \ast x \\

& =

&

\begin {bmatrix }\

h_1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\

h_2 & h_1 & \ldots & \vdots & \vdots \\

h_3 & h_2 & \ldots & 0 & 0 \\

\vdots & h_3 & \ldots & h_1 & 0 \\

h_ {m-1} & \vdots & \ldots & h_2 & h_1 \\

h_m & h_ {m-1} & \vdots & \vdots & h_2 \\

0 & h_m & \ldots & h_ {m-2} & \vdots \\

0 & 0 & \ldots & h_ {m-1} & h_ {m-2} \\

\vdots & \vdots & \vdots & h_m & h_ {m-1} \\

0 & 0 & 0 & \ldots & h_m \\

\end {bmatrix }\

\begin {bmatrix }\

x_1 \\

x_2 \\

x_3 \\

\vdots \\

x_n \\

\end {bmatrix} \\

y^T & =

& \begin {bmatrix }\

h_1 & h_2 & h_3 & \ldots & h_ {m-1} & h_m \\

\end {bmatrix }\ \begin {bmatrix }\

x_1 & x_2 & x_3 & \ldots & x_n & 0 & 0 & 0& \ldots & 0 \\

0 & x_1 & x_2 & x_3 & \ldots & x_n & 0 & 0 & \ldots & 0 \\

0 & 0 & x_1 & x_2 & x_3 & \ldots & x_n & 0 & \ldots & 0 \\

\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots & \vdots & \ldots & 0 \\

0 & \ldots & 0 & 0 & x_1 & \ldots & x_ {n-2} & x_ {n-1} & x_ {n} & \vdots \\

0 & \ldots & 0 & 0 & 0 & x_1 & \ldots & x_ {n-2} & x_ {n-1} & x_ {n} \\

\end {bmatrix}.

\end {Matrix-}\

</Mathematik>

Diese Annäherung kann erweitert werden, um Autokorrelation, Quer-Korrelation, bewegender Durchschnitt usw. zu schätzen.

Siehe auch

• Matrix von Circulant, eine Matrix von Toeplitz mit dem zusätzlichen Eigentum das.
• Matrix von Hankel, eine Matrix von Toeplitz "umgekehrt".
• Maschinenbediener von Toeplitz, eine Matrix von Toeplitz mit ungeheuer vielen Reihen und Säulen.

Referenzen

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• Stewart M. (2003), "Superschneller Toeplitz solver mit der verbesserten numerischen Stabilität", SIAM Zeitschrift auf der Matrixanalyse und Anwendungen, 25: 669-693.