Der Lehrsatz von Ceva ist ein Lehrsatz über Dreiecke in der Euklidischen Flugzeug-Geometrie. In Anbetracht eines Dreieck-Abc, lassen Sie die Linien AO, BO and CO von den Scheitelpunkten bis einen allgemeinen Punkt O gezogen werden, um Gegenseiten an D, E und F beziehungsweise zu entsprechen. Dann

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Unterzeichneten Längen von Gebrauch dieser Gleichung von Segmenten, mit anderen Worten die Länge AB wird genommen, um positiv oder gemäß negativ zu sein, ob A nach links oder Recht auf B in etwas fester Orientierung der Linie ist. Zum Beispiel wird AF/FB definiert als, positiven Wert zu haben, wenn F zwischen A und B und negativ sonst ist.

Das gegenteilige ist auch wahr: Wenn Punkte D, E und F auf v. Chr., AC und AB beziehungsweise so dass gewählt werden

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SEIEN SIE dann n.Chr., und sind VGL gleichzeitig. Das gegenteilige wird häufig als ein Teil des Lehrsatzes eingeschlossen.

Der Lehrsatz wird häufig Giovanni Ceva zugeschrieben, der ihn in seiner 1678-Arbeit De lineis rectis veröffentlicht hat. Aber es wurde viel früher von Yusuf Al-Mu'taman ibn Hűd, ein König des elften Jahrhunderts von Zaragoza bewiesen.

Vereinigt mit den Zahlen sind mehrere Begriffe ist auf den Namen: von Ceva cevian zurückzuführen gewesen (die Linien n.Chr., SEIN, VGL sind der cevians von O), cevian Dreieck (das Dreieck DEF ist das cevian Dreieck von O); Cevian-Nest, anticevian Dreieck, verbundener Ceva. (Ceva ist ausgesprochener Chay'va; cevian wird chev'ian ausgesprochen.)

Der Lehrsatz ist dem Lehrsatz von Menelaus darin sehr ähnlich ihre Gleichungen unterscheiden sich nur im Zeichen.

Beweis des Lehrsatzes

Ein Standardbeweis ist wie folgt:

Erstens ist das Zeichen der linken Seite positiv, da beide alle drei der Verhältnisse, der Fall positiv sind, wo O innerhalb des Dreiecks (oberes Diagramm) ist, oder man ist positiv, und die anderen zwei sind negativ, der Fall O ist außerhalb des Dreiecks (niedrigeres Diagramm zeigt einen Fall).

Um den Umfang zu überprüfen, bemerken Sie, dass das Gebiet eines Dreiecks einer gegebenen Höhe zu seiner Basis proportional ist. So

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Deshalb,

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\frac

\frac. </math>

(Ersetzen Sie minus durch plus, wenn A und O auf Gegenseiten v. Chr. sind)

Ähnlich

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und

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Das Multiplizieren dieser drei Gleichungen gibt

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wie erforderlich.

Der Lehrsatz kann auch leicht mit dem Lehrsatz von Manelaus bewiesen werden. Vom transversal BOE des Dreiecks ACF,

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und von Vom transversal AOD des Dreiecks BCF,

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Der Lehrsatz folgt durch das Teilen dieser zwei Gleichungen.

Das gegenteilige folgt als eine Folgeerscheinung. Lassen Sie D, E und F auf den Linien v. Chr., AC und AB gegeben werden, so dass die Gleichung hält. Lassen Sie n.Chr. und SEIEN SIE treffen sich an O und lassen F  der Punkt sein, wo FO AB durchquert. Dann durch den Lehrsatz hält die Gleichung auch für D, E und F . Die zwei, vergleichend

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Aber höchstens kann ein Punkt ein Segment in einem gegebenen Verhältnis so F=F  schneiden.

Generalisationen

Der Lehrsatz kann zu höheren dimensionalen Simplexen mit barycentric Koordinaten verallgemeinert werden. Definieren Sie einen cevian eines N-Simplexes als ein Strahl von jedem Scheitelpunkt bis einen Punkt auf dem Gegenteil (n-1) - Gesicht (Seite). Dann sind die cevians gleichzeitig, wenn, und nur wenn ein Massenvertrieb den solchen Scheitelpunkten zugeteilt werden kann, dass jeder cevian die entgegengesetzte Seite an seinem Zentrum der Masse durchschneidet. Außerdem ist der Kreuzungspunkt des cevians das Zentrum der Masse des Simplexes. (Landy. Sieh Wernicke für ein früheres Ergebnis.)

Der Lehrsatz von Routh gibt das Gebiet des Dreiecks, das durch drei cevians im Fall gebildet ist, dass sie nicht gleichzeitig sind. Der Lehrsatz von Ceva kann dabei durch das Setzen des Gebiets erhalten werden, das der Null und dem Lösen gleich ist.

Die Entsprechung des Lehrsatzes für allgemeine Vielecke im Flugzeug ist seit dem Anfang des neunzehnten Jahrhunderts bekannt gewesen. Der Lehrsatz ist auch zu Dreiecken auf anderen Oberflächen der unveränderlichen Krümmung (Masal'tsev 1994) verallgemeinert worden.

Siehe auch

• Projektive Geometrie
• Mittellinie (Geometrie) - eine Anwendung

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Links

• Menelaus und Ceva an MathPages
• Abstammungen und Anwendungen des Lehrsatzes von Ceva an der Knoten-Kürzung
• Trigonometrische Form des Lehrsatzes von Ceva an der Knoten-Kürzung
• Das Wörterverzeichnis der Enzyklopädie von Dreieck-Zentren schließt Definitionen des cevian Dreiecks, cevian Nest, anticevian Dreieck, Ceva verbunden, und cevapoint ein
• Conics, der mit einem Cevian Nest, durch Clark Kimberling verbunden

ist

• Der Lehrsatz von Ceva durch Jay Warendorff, Wolfram-Demonstrationsprojekt.
• Experimentell den centroid eines Dreiecks mit verschiedenen Gewichten an den Scheitelpunkten findend: eine praktische Anwendung des Lehrsatzes von Ceva an Dynamischen Geometrie-Skizzen, einer interaktiven dynamischen Geometrie-Skizze mit dem Ernst-Simulator von Aschenputtel.