In der klassischen Mechanik, Moment der Trägheit, hat auch Massenmoment der Trägheit, Rotationsträgheit, polarer Moment der Trägheit der Masse oder der winkeligen Masse genannt, (SI-Einheitskg · M ²) ist ein Maß eines Widerstands eines Gegenstands gegen Änderungen zu seiner Folge. Es ist die Trägheit eines rotierenden Körpers in Bezug auf seine Folge. Der Moment der Trägheit spielt ziemlich gleiche Rolle in der Rotationsdynamik, wie Masse in der geradlinigen Dynamik tut, die Beziehung zwischen winkeligem Schwung und winkeliger Geschwindigkeit, Drehmoment und winkeliger Beschleunigung und mehreren anderen Mengen beschreibend. Die Symbole I und manchmal J werden gewöhnlich verwendet, um sich auf den Moment der Trägheit oder polarer Moment der Trägheit zu beziehen.

Während eine einfache Skalarbehandlung des Moments der Trägheit für viele Situationen genügt, erlaubt eine fortgeschrittenere Tensor-Behandlung die Analyse solcher komplizierten Systeme als Kreisel und gyroscopic Bewegung.

Das Konzept wurde von Leonhard Euler in seinem Buch Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum 1765 eingeführt. In diesem Buch hat er den Moment der Trägheit und vieler zusammenhängender Konzepte wie die Hauptachse der Trägheit besprochen.

Übersicht

Der Moment der Trägheit eines Gegenstands über eine gegebene Achse beschreibt, wie schwierig es seine winkelige Bewegung über diese Achse ändern soll. Deshalb umfasst es nicht nur, wie viel Masse der Gegenstand insgesamt hat, aber wie weit jedes Bit der Masse von der Achse ist. Je weiter die Masse des Gegenstands ist, desto mehr Rotationsträgheit, die der Gegenstand, und die mehr Rotationskraft hat (Drehmoment, die Kraft, die mit seiner Entfernung von der Achse der Folge multipliziert ist), erforderlich ist, seine Folge-Rate zu ändern.

Betrachten Sie zum Beispiel zwei Räder als aufgehoben, so können sie sich frei, ein großes Rad-Rad und ein kleines Baby-Buggy-Rad drehen. Nehmen Sie an, dass sie dasselbe Gewicht haben, was bedeutet, dass sie gleiche Masse haben. Es verlangt, dass mehr Anstrengung (Drehmoment), um zu spinnen, das Rad-Rad zu einer gegebenen winkeligen Geschwindigkeit (beschleunigt) als das Baby-Buggy-Rad. Das ist, weil der Rand des Rad-Rades weiter von seiner Achse ist als der Rand des Baby-Buggy-Rades. Wenn auch sie denselben Betrag der Masse haben, wird der grösste Teil der Masse des Rad-Rades weiter von der Achse gelegen als die Masse im Baby-Buggy-Rad, so muss es sich schneller für eine gegebene Folge-Rate bewegen. So hat das Rad-Rad einen größeren Moment der Trägheit als das Baby-Buggy-Rad.

Der Moment der Trägheit eines Gegenstands kann sich ändern, wenn sich seine Gestalt ändert. Bemalen Sie Schlittschuhläufer, die beginnen, eine Drehung mit ausgestreckten Armen stellen ein bemerkenswertes Beispiel zur Verfügung. Indem sie in ihren Armen ziehen, reduzieren sie ihren Moment der Trägheit, sie veranlassend, schneller durch die Bewahrung des winkeligen Schwungs zu spinnen.

Der Moment der Trägheit hat zwei Formen, eine Skalarform, mich, (verwendet, wenn die Achse der Folge angegeben wird), und eine allgemeinere Tensor-Form, die nicht verlangt, dass die Achse der Folge angegeben wird. Der Skalarmoment der Trägheit, ich, (häufig genannt einfach der "Moment der Trägheit") erlaube eine kurz gefasste Analyse von vielen einfachen Problemen in der Rotationsdynamik, wie Gegenstände, die unten rollen, neigt sich und das Verhalten von Rollen. Zum Beispiel, während ein Block jeder Gestalt von einem Frictionless-Niedergang an derselben Rate abrutschen wird, kann das Rollen von Gegenständen an verschiedenen Raten abhängig von ihren Momenten der Trägheit hinuntersteigen. Ein Reifen wird langsamer hinuntersteigen als eine feste Platte der gleichen Masse und des Radius, weil mehr von seiner Masse weit von der Achse der Folge gelegen wird. Jedoch für (mehr komplizierte) Probleme, in die sich die Achse der Folge ändern kann, ist die Skalarbehandlung unzulänglich, und die Tensor-Behandlung muss verwendet werden (obwohl Abkürzungen in speziellen Situationen möglich sind). Beispiele, die solch eine Behandlung verlangen, schließen Gyroskope, Spitzen und sogar Satelliten, alle Gegenstände ein, deren sich Anordnung ändern kann.

Der Moment der Trägheit wird auch den Massenmoment der Trägheit (besonders von mechanischen Ingenieuren) genannt, um Verwirrung mit dem zweiten Moment des Gebiets zu vermeiden, das manchmal das Flächenmoment der Trägheit (besonders von Strukturingenieuren) genannt wird. Die leichteste Weise, diese Mengen zu unterscheiden, ist durch ihre Einheiten (Kg · M ² im Vergleich mit m). Außerdem sollte der Moment der Trägheit nicht mit dem polaren Moment der Trägheit verwirrt sein (mehr spezifisch, polarer Moment der Trägheit des Gebiets), der ein Maß einer Fähigkeit eines Gegenstands ist, Verdrehung zu widerstehen, die (sich) nur (dreht), obwohl, mathematisch, sie ähnlich sind: Wenn der Festkörper, für den der Moment der Trägheit berechnet wird, gleichförmige Dicke in der Richtung auf die rotierende Achse hat, und auch gleichförmige Massendichte hat, ist der Unterschied zwischen den zwei Typen von Momenten der Trägheit ein Faktor der Masse pro Einheitsgebiet.

Skalarmoment der Trägheit für den einzelnen Körper

Denken Sie eine massless starre Stange der Länge l mit einer Punkt-Masse M an einem Ende und über das andere Ende rotierend. Nehmen Sie an, dass die Stange an einer unveränderlichen Rate rotiert, so dass sich die Masse mit der Geschwindigkeit v bewegt. Dann ist die kinetische Energie T der Masse:

:

T = \frac12 \, mv^2

</Mathematik>

Das Verwenden v = l&omega; wo ω die winkelige Geschwindigkeit ist, herrscht man vor:

:

T = \frac12 \, M (\omega l) ^2

</Mathematik>

der umgeordnet werden kann, um zu geben:

:

T = \frac12 \, ml^2 \omega^2

</Mathematik>

Diese Gleichung ähnelt dem ursprünglichen Ausdruck für die kinetische Energie, aber im Platz der geradlinigen Geschwindigkeit ist v die winkelige Geschwindigkeit &omega; und statt der MassenM ist ml. Die Menge ml kann deshalb als eine Entsprechung der Masse für die Rotationsbewegung gesehen werden; mit anderen Worten ist es ein Maß der Rotationsträgheit.

Skalarmoment der Trägheit für viele Körper

Denken Sie einen starren Körper, der mit der winkeligen Geschwindigkeit ω um eine bestimmte Achse rotiert. Der Körper besteht aus N-Punkt-Massen M, deren Entfernungen zur Achse der Folge r angezeigt werden. Jede Punkt-Masse wird die Geschwindigkeit haben, so dass die kinetische Gesamtenergie T des Körpers als berechnet werden kann

:

T = \sum_ {i=1} ^N \frac12 \, m_i v_i^2 = \sum_ {i=1} ^N \frac12 \, m_i (\omega r_i) ^2 = \frac12 \, \omega^2 \Big (\textstyle \sum_ {i=1} ^N m_i R_i^2 \Big).

</Mathematik>

In diesem Ausdruck wird die Menge in Parenthesen den Moment der Trägheit des Körpers (in Bezug auf die angegebene Achse der Folge) genannt. Es ist eine rein geometrische Eigenschaft des Gegenstands, weil es nur von seiner Gestalt und der Position der Drehachse abhängt. Der Moment der Trägheit wird gewöhnlich mit dem Großbuchstaben I angezeigt:

:

I = \sum_ {i=1} ^N m_i r_i^2\.

</Mathematik>

Es lohnt sich zu betonen, dass r hier die Entfernung von einem Punkt bis die Achse der Folge ist, nicht zum Ursprung. Als solcher wird der Moment der Trägheit verschieden sein, wenn er Folgen über verschiedene Äxte denken wird.

Ähnlich kann der Moment der Trägheit eines dauernden festen Körpers, der über eine bekannte Achse rotiert, durch das Ersetzen der Summierung mit dem Integral berechnet werden:

:

I = \int_V \rho (\mathbf {r}) \, d (\mathbf {r}) ^2 \, \mathrm {d} V \! (\mathbf {r}),

</Mathematik>

wo r der Radius-Vektor eines Punkts innerhalb des Körpers ist, ρ ist (r) die Massendichte am Punkt r, und d (r) ist die Entfernung vom Punkt r zur Achse der Folge. Die Integration wird über den Band V des Körpers bewertet.

Moment der Trägheit über einen Punkt

In Diskussionen des virial Lehrsatzes, eine verschiedene Definition des Moments der Trägheit wird eingeführt, häufig als Moment der Trägheit über einen Punkt (im Vergleich mit einer Achse) qualifiziert. Die Definieren-Gleichungen schauen dasselbe, weil, wie man versteht, diejenigen oben, aber und in diesen Fällen die Entfernung zum Ursprung sind.

Moment von Trägheitslehrsätzen

Berechnungen im Augenblick der Trägheit (MOI) eines Körpers sind im Allgemeinen nicht leicht. Der Prozess kann auf die folgenden Weisen vereinfacht werden:

• Die Auswahl von Äxten, um geometrischen symmetries auszunutzen
• Physische homeogeneity (d. h. gleichförmiger Massenvertrieb) das Bilden der Dichte-Funktion ρ (r) werden unveränderlich (elementare Berechnungen, oder allgemein eine Annäherung)
• Gebrauch der folgenden Lehrsätze, sieh unten für Details.

Eigenschaften

Überlagerung

Der Moment der Trägheit des Körpers ist zusätzlich. D. h. wenn ein Körper (entweder physisch oder begrifflich) in mehrere konstituierende Teile zersetzt werden kann, dann ist der Moment der Trägheit des ganzen Körpers über eine gegebene Achse der Summe von Momenten der Trägheit jedes Teils um dieselbe Achse gleich.

Gerade auf der dimensionalen Analyse stützend, muss der Moment der Trägheit die Form annehmen, wo M die Masse ist, ist L die "Größe" des Körpers in der Richtungssenkrechte zur Achse der Folge, und c ist eine ohne Dimension Trägheitskonstante. Zusätzlich wird die Länge den Radius der Kreisbewegung des Körpers genannt.

Rechtwinklige Äxte

Wenn ich, ich, ich Momente der Trägheit ungefähr drei rechtwinklige Äxte bin, die das Zentrum des Körpers der Masse durchführen, dann kann jeder von ihnen nicht größer sein als die Summe zwei andere: zum Beispiel. Hier hält die Gleichheit nur, wenn der Körper flach und im Koordinatenflugzeug von Oxy gelegen ist.

Parallele Äxte

Wenn der Moment des Gegenstands der Trägheit I um eine bestimmte Achse, die das Zentrum der Masse durchführt, bekannt ist, dann stellen der parallele Achse-Lehrsatz oder Lehrsatz von Huygens-Steiner eine günstige Formel zur Verfügung, um den Moment der Trägheit I desselben Körpers um eine verschiedene Achse zu schätzen, die zum Original parallel und in einer Entfernung d davon gelegen ist. Die Formel ist nur passend, wenn die anfänglichen und endgültigen Äxte parallel sind. Um den Moment der Trägheit über eine willkürliche Achse zu schätzen, muss man den Moment des Gegenstands des Trägheitstensor verwenden.

Energie, winkeliger Schwung, Drehmoment

Die kinetische Rotationsenergie eines starren Körpers mit der winkeligen Geschwindigkeit ω (in radians pro Sekunde) wird in Bezug auf den Moment des Gegenstands der Trägheit ausgedrückt:

:

E_r = \frac12 \, ich \omega^2.

</Mathematik>

Diese Formel ist der kinetischen Übersetzungsenergie ähnlich. So, der Moment der Trägheit I Spiele die Rolle der Masse in der Rotationsdynamik. Ein Schlüsselunterschied zwischen der Masse und der (skalare) Moment der Trägheit ist, dass der Letztere von der Achse der Folge abhängt und so nicht aufrichtig invariant ist. Die invariant Eigenschaft des Körpers in der Rotationsbewegung ist der Tensor des Moments der Trägheit I, definiert später.

Der winkelige Schwung des Körpers, der um eine seiner Hauptäxte rotiert, ist auch zum Moment der Trägheit proportional:

:

L = I\omega \.

</Mathematik>

Dieser Ausdruck ist zur Formel für den Übersetzungsschwung parallel, wo der Moment der Trägheit I Spiele die Rolle der MassenM und die winkelige Geschwindigkeit ω für die Geschwindigkeit v eintritt. Die Skalarformel ist für Folgen um eine der Hauptäxte des Körpers oder für die Folge über jede feste Achse gültig. Die gleichwertige Formel, die den Tensor-Moment der Trägheit einschließt, ist immer richtig und muss in Fällen der freien Folge über eine Nichthauptachse verwendet werden.

Auch wenn der Körper um eine seiner Hauptäxte rotiert, und die Richtung der Achse der Folge unveränderlich bleibt, kann man das Drehmoment auf einem Gegenstand und seiner winkeligen Beschleunigung in einer ähnlichen Gleichung verbinden:

:

\tau = I\alpha \,

</Mathematik>

wo τ das Drehmoment ist und α die winkelige Beschleunigung ist.

Beispiele

Molekül von Diatomic, mit Atomen M und M in einer Entfernung d von einander, um die Achse rotierend, die das Zentrum des Moleküls der Masse durchführt und auf der Richtung des Moleküls rechtwinklig ist.

Die leichteste Weise, den Moment dieses Moleküls der Trägheit zu berechnen, soll den parallelen Achse-Lehrsatz verwenden. Wenn wir Folge um die Achse denken, die das Atom M durchführt, dann wird der Moment der Trägheit sein. Andererseits, durch den parallelen Achse-Lehrsatz in diesem Moment ist dem gleich, wo ich der Moment der Trägheit um die Achse bin, die das Zentrum der Masse durchführt, und der Entfernung zwischen dem Zentrum der Masse und dem ersten Atom zu sein. Durch das Zentrum der Massenformel ist diese Entfernung dem gleich. So,

:

I = I_1 - (m_1+m_2) a^2 = m_2d^2 - \frac {m_2^2d^2} {m_1+m_2} = \frac {m_1m_2} {m_1+m_2 }\\, d^2.

</Mathematik>

Die dünne Stange der MassenM und Länge , um die Achse rotierend, die sein Zentrum durchführt und auf der Stange rechtwinklig ist.

Lassen Sie Unze die Achse der Folge und der Ochse die Achse entlang der Stange sein. Wenn ρ die Dichte ist, und s der Querschnitt durch die Stange (so dass), dann wird das Volumen-Element für die integrierte Formel dem gleich sein, wo x von  ½  zu ½  ändert. Der Moment der Trägheit kann durch die Computerwissenschaft des Integrals gefunden werden:

:

I = \int_ {-\ell/2} ^ {\\Elle/2} \rho \, x^2 s \mathrm {d} x = \rho s \, \frac {x^3} {3 }\\bigg |_ {-\ell/2} ^ {\\Elle/2} = \frac {M} {s\ell} \cdot s \cdot 2\frac {\\ell^3/8} {3} = \frac {1} {12 }\\, m\ell^2.

</Mathematik>

Der feste Ball der MassenM und des Radius R, um eine Achse rotierend, die das Zentrum durchführt.

Nehmen Sie an, dass Oz die Achse der Folge ist. Die Entfernung vom Punkt zur Achse Oz ist dem gleich. So, um den Moment der Trägheit I zu schätzen, müssen wir das Integral bewerten. Die Berechnung vereinfacht beträchtlich, wenn wir bemerken, dass durch die Symmetrie des Problems die Momente der Trägheit um alle Äxte gleich sind:. Dann

:

I = \frac13 (I_x + I_y + I_z) = \frac13 \iiint \rho\cdot (y^2+z^2 + x^2+z^2 + x^2+y^2) \, \mathrm {d} V = \frac23 \,\rho \int r^2 \, \mathrm {d} V,

</Mathematik>

wo die Entfernung vom Punkt r zum Ursprung ist. Dieses Integral ist leicht, in den kugelförmigen Koordinaten zu bewerten, das Volumen-Element wird dem gleich sein, wohin r von 0 bis R geht. So,

:

I = \frac23 \,\rho \int_0^R \! \! 4\pi r^4 \,\mathrm {d} r = \frac23 \,\rho\cdot4\pi\frac {R^5} {5} = \frac {M} {\\frac43\pi R^3 }\\cdot\frac {8\pi R^5} {15} = \frac25 \, mR^2.

</Mathematik>

In der Mechanik von Maschinen, wenn man Drehteile wie Getriebe, Rollen, Wellen, Kopplungen usw. entwirft, die verwendet werden, um Drehmomente zu übersenden, muss der Moment der Trägheit betrachtet werden. Der Moment der Trägheit wird über eine Achse gegeben, und es hängt von der Gestalt, Dichte eines rotierenden Elements ab.

Wenn

man Mechanismen wie Zahnrad-Züge, Wurm und Rad denkt, wo es mehr als ein rotierendes Element, mehr als eine Achse der Folge gibt, sollte ein gleichwertiger Moment der Trägheit für das System gefunden werden. Praktisch, wenn ein Getriebesystem eingeschlossen wird, kann der gleichwertige Moment der Trägheit durch das Messen der winkeligen Beschleunigung für ein bekanntes Drehmoment gemessen werden, oder theoretisch kann es geschätzt werden, wenn die Massen und Dimensionen der rotierenden Elemente und Wellen bekannt sind. Darin praktisch wird der gleichwertige Moment der Trägheit eines Wurmes und Radsystems mit über Erwähnungsmethoden gemessen.

Moment des Trägheitstensor

In drei Dimensionen, wenn die Achse der Folge nicht gegeben wird, müssen wir im Stande sein, den Skalarmoment der Trägheit zu einer Menge zu verallgemeinern, die uns erlaubt, einen Moment der Trägheit über willkürliche Äxte zu schätzen. Diese Menge ist als der Moment des Trägheitstensor bekannt und kann als eine symmetrische positive halbbestimmte Matrix, ich vertreten werden. Diese Darstellung verallgemeinert elegant den Skalarfall: Der winkelige Schwung-Vektor ist mit dem Folge-Geschwindigkeitsvektoren &omega verbunden; durch

:

und die kinetische Energie wird durch gegeben

:

im Vergleich zu

:

im Skalarfall.

Wie der Skalarmoment der Trägheit kann der Moment des Trägheitstensor in Bezug auf jeden Punkt im Raum berechnet werden, aber zu praktischen Zwecken wird das Zentrum der Masse fast immer verwendet. Im Allgemeinen sind seine Bestandteile zeitabhängig.

Definition

Für einen starren Gegenstand von Punkt-Massen ließ der Moment des Trägheitstensor (in Bezug auf den Ursprung) Bestandteile durch geben

:

\mathbf {ich} = \begin {bmatrix }\

I_ {11} & I_ {12} & I_ {13} \\

I_ {21} & I_ {22} & I_ {23} \\

I_ {31} & I_ {32} & I_ {33 }\

\end {bmatrix }\

</Mathematik>,

wo

::::::

und, und.

(So ist ein symmetrischer Tensor.) Bemerken, dass die Skalare damit die Produkte der Trägheit genannt werden.

Hier zeigt den Moment der Trägheit ringsherum - Achse an, wenn die Gegenstände um die X-Achse rotieren gelassen werden, zeigt den Moment der Trägheit ringsherum - Achse an, wenn die Gegenstände ringsherum - Achse und so weiter rotieren gelassen werden.

Diese Mengen können zu einem Gegenstand mit der verteilten Masse verallgemeinert werden, die durch eine Massendichte-Funktion auf eine ähnliche Mode zum Skalarmoment der Trägheit beschrieben ist. Man hat dann

:

In mehr - kurze Notation:

:

wo der Vektor vom Zentrum der Masse zu einem Punkt im Volumen, V ist und ihr Außenprodukt ist, ist E die Identitätsmatrix, und V ist ein Gebiet des Raums, der völlig den Gegenstand enthält. Wechselweise kann der obengenannte in der Notation von Einstein als beschrieben werden:

:

wo das Delta von Kronecker ist.

Die diagonalen Elemente dessen werden die Hauptmomente der Trägheit genannt.

Wie aus der Definition klar ist, und seine Bestandteile im Allgemeinen zeitabhängig sind. Sie, sind nur wenn berechnet, in einem Bezugsrahmen unveränderlich, der sich starr mit dem starren Körper bewegt. Andererseits sind die eigenvalues invariant, der des Bezugsrahmens unabhängig ist, der verwendet ist, um zu rechnen.

Abstammung der Tensor-Bestandteile

Die Entfernung einer Partikel an von der Achse der Folge, die den Ursprung in der Richtung durchführt, ist

. Durch das Verwenden der Formel (und eine einfache Vektor-Algebra) kann es gesehen werden, dass der Moment der Trägheit dieser Partikel (über die Achse der Folge, die den Ursprung in der Richtung durchführt), ist

I=m (| \mathbf {x} | ^2 (\mathbf {\\Hut {n}} \cdot \mathbf {\\Hut {n}}) - (\mathbf {x} \cdot \mathbf {\\Hut {n}}) ^2)

</Mathematik>

Das ist eine quadratische Form in und nach ein bisschen mehr Algebra, das führt zu einer Tensor-Formel im Augenblick der Trägheit

:

{ich} = M [n_1 \, n_2 \, n_3] \begin {bmatrix }\

y^2+z^2 &-xy &-xz \\

- y x & x^2+z^2 &-yz \\

- zx &-zy & x^2+y^2

\end {bmatrix} \begin {bmatrix }\

n_1 \\

n_2 \\

n_3

\end {bmatrix }\

</Mathematik>.

Das ist genau die Formel, die unten im Augenblick der Trägheit im Fall von einer einzelnen Partikel gegeben ist. Für vielfache Partikeln müssen wir nur zurückrufen, dass der Moment der Trägheit zusätzlich ist, um zu sehen, dass diese Formel richtig ist.

Die Verminderung zum Skalar

Für jede Achse, vertreten als ein Spaltenvektor mit Elementen n, formt sich die Skalarform ich kann vom Tensor berechnet werden, I als

:

I = \mathbf {\\Hut {n} ^\\Spitze} \mathbf {ich }\\, \mathbf {\\Hut {n}} =

\sum_ {j=1} ^ {3} \sum_ {k=1} ^ {3} n_ {j} I_ {jk} n_ {k }\

</Mathematik>

Die Reihe von beiden Summierungen entspricht den drei Kartesianischen Koordinaten.

Der folgende gleichwertige Ausdruck vermeidet den Gebrauch von umgestellten Vektoren, die in Mathematik-Bibliotheken nicht unterstützt werden, weil innerlich Vektoren und ihr umgestellt als dieselbe geradlinige Reihe, versorgt werden

:

I = \mathbf \cdot \mathbf {\\Hut {n} }\

</Mathematik>

Jedoch sollte es bemerkt werden, dass, obwohl diese Gleichung zur Gleichung oben für jede Matrix mathematisch gleichwertig ist, Trägheitstensor symmetrisch ist. Das bedeutet, dass es weiter vereinfacht werden kann zu:

:

I = \mathbf \mathbf {\\Hut {n}} \cdot \mathbf {\\Hut {n} }\

</Mathematik>

Hauptäxte der Trägheit

Durch den geisterhaften Lehrsatz da ist der Moment des Trägheitstensor echt und symmetrisch, dort besteht ein Kartesianisches Koordinatensystem, in dem es diagonal ist, die Form habend

: \mathbf {ich} = \begin {bmatrix }\

I_ {1} & 0 & 0 \\

0 & I_ {2} & 0 \\

0 & 0 & I_ {3 }\

\end {bmatrix }\</Mathematik>

wo die Koordinatenäxte die Hauptäxte und den genannt werden

Konstanten, und werden die Hauptmomente der Trägheit genannt.

Durch dieses Ergebnis wurde zuerst gezeigt, und ist eine Form des Gesetzes von Sylvester der Trägheit. Die Hauptachse mit dem höchsten Moment der Trägheit wird manchmal die Zahl-Achse oder Achse der Zahl genannt.

Wenn alle Hauptmomente der Trägheit verschieden sind, werden die Hauptäxte durch das Zentrum der Masse einzigartig angegeben. Wenn zwei Hauptmomente dasselbe sind, wird der starre Körper eine symmetrische Spitze genannt, und es gibt keine einzigartige Wahl für die zwei entsprechenden Hauptäxte. Wenn alle drei Hauptmomente dasselbe sind, wird der starre Körper eine kugelförmige Spitze genannt (obwohl es nicht kugelförmig zu sein braucht) und jede Achse als eine Hauptachse betrachtet werden kann, bedeutend, dass der Moment der Trägheit dasselbe über jede Achse ist.

Die Hauptäxte werden häufig nach den Symmetrie-Äxten des Gegenstands ausgerichtet. Wenn ein starrer Körper eine Achse der Symmetrie der Ordnung hat, bedeutend, dass es unter Folgen ungefähr der gegebenen Achse symmetrisch ist, ist diese Achse eine Hauptachse. Wenn der starre Körper eine symmetrische Spitze ist. Wenn ein starrer Körper mindestens zwei Symmetrie-Äxte hat, die nicht parallel oder auf einander rechtwinklig sind, ist es eine kugelförmige Spitze, zum Beispiel, ein Würfel oder jeder andere Platonische Festkörper.

Die Bewegung von Fahrzeugen wird häufig über diese Äxte mit den Folgen genannt Gieren, Wurf und Rolle beschrieben.

Ein praktisches Beispiel dieses mathematischen Phänomenes ist die alltägliche Automobilaufgabe, einen Reifen zu erwägen, der grundsätzlich bedeutet sich anzupassen, der Vertrieb der Masse eines Autos drehen solch sich um, dass seine Hauptachse der Trägheit nach der Achse ausgerichtet wird, so wackelt das Rad nicht.

Paralleler Achse-Lehrsatz

Sobald der Moment des Trägheitstensor für Folgen über das Zentrum der Masse des starren Körpers berechnet worden ist, gibt es eine nützliche arbeitsersparende Methode, den Tensor für den Folge-Ausgleich vom Zentrum der Masse zu schätzen.

Wenn die Achse der Folge durch einen Vektoren R vom Zentrum der Masse versetzt wird, kommt der neue Moment des Trägheitstensor gleich

:

\mathbf {ich} ^ {\\mathrm {versetzt}} = \mathbf {ich} ^ {\\mathrm {Zentrum}} + M \left [\left (\mathbf {R} \cdot \mathbf {R }\\Recht) \mathbf {E} _ {3} - \mathbf {R} \otimes \mathbf {R} \right]

</Mathematik>

wo M die Gesamtmasse des starren Körpers ist, ist E die Identitätsmatrix, und ist das Außenprodukt.

Rotationssymmetrie

Das Verwenden der obengenannten Gleichung, um alle Momente der Trägheit in Bezug auf Integrale von Variablen entweder vorwärts oder Senkrechte zur Achse der Symmetrie auszudrücken

gewöhnlich vereinfacht die Berechnung dieser Momente beträchtlich.

Vergleich mit der Kovarianz-Matrix

Der Moment des Trägheitstensor über das Zentrum der Masse eines 3-dimensionalen starren Körpers ist mit der Kovarianz-Matrix eines trivariate zufälligen Vektoren verbunden, dessen Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion zur pointwise Dichte des starren Körpers proportional ist durch:

:

wo n die Zahl von Punkten ist.

Die Struktur des Tensor des Moments der Trägheit kommt aus der Tatsache, dass es als eine bilineare Form auf Folge-Vektoren in der Form verwendet werden

soll:

Jedes Element der Masse hat eine kinetische Energie von

:

Die Geschwindigkeit jedes Elements der Masse ist, wo r ein Vektor vom Zentrum der Folge zu diesem Element der Masse ist. Das Kreuzprodukt kann zur Matrixmultiplikation so dass umgewandelt werden

:

und ähnlich

:

So,

:

das Einstecken der Definition des Begriffes führt direkt zur Struktur des Moment-Tensor.

Siehe auch

• Liste von Momenten der Trägheit
• Liste des Moments des Trägheitstensor
• Rotationsenergie
• Paralleler Achse-Lehrsatz
• Rechtwinkliger Achse-Lehrsatz
• Strecken-Regel
• Reifengleichgewicht
• Das Ellipsoid von Poinsot
• Sofortiges Zentrum der Folge

Referenzen

• .
• ; Internationale Standardbuchnummer 0-08-029141-4 (softcover).

. . .

Außenverbindungen

• Winkeliger Schwung und Folge des starren Körpers in zwei und drei Dimensionen
• Vortrag bemerkt auf der Folge des starren Körpers und Momente der Trägheit
• Der Moment des Trägheitstensor
• Eine einleitende Lehre auf dem Moment der Trägheit: Das Halten eines vertikalen Pols, der nicht (javanische Simulation) hinfällt
• Tutorenkurs bei der Entdeckung von Momenten der Trägheit, mit Problemen und Lösungen auf verschiedenen grundlegenden Gestalten
• Die Prüfung von Möglichkeiten im Augenblick des Trägheitsbohrturms am Cranfield Einfluss-Zentrum