erreichen Sie den Boden zur gleichen Zeit. Die blauen Pfeile zeigen die Beschleunigung der Punkte entlang der Kurve. Auf der Spitze ist das Zeitpositionsdiagramm.]]

Tautochrone- oder Isochrone-Kurve (von griechischen Präfixen, die dasselbe oder gleich, und Zeit bedeuten), ist die Kurve, für die die Zeit, die von einem Gegenstand genommen ist, der ohne Reibung im gleichförmigen Ernst zu seinem niedrigsten Punkt gleitet, seines Startpunkts unabhängig ist. Die Kurve ist ein cycloid, und die Zeit ist &pi gleich; Zeiten die Quadratwurzel des Radius über die Beschleunigung des Ernstes.

Das tautochrone Problem

Das tautochrone Problem, der Versuch, diese Kurve zu identifizieren, wurde von Christiaan Huygens 1659 behoben. Er hat sich geometrisch in seinem Horologium oscillatorium, ursprünglich veröffentlicht 1673 erwiesen, dass die Kurve ein cycloid war.

:On ein cycloid, dessen Achse auf der Senkrechte aufgestellt wird, und dessen Scheitelpunkt am Boden, die Zeiten des Abstiegs gelegen wird, in dem ein Körper den niedrigsten Punkt den Scheitelpunkt erreicht, von jedem Punkt auf dem cycloid abgewichen, sind einander gleich...

Diese Lösung wurde später verwendet, um das Problem der Brachistochrone-Kurve anzugreifen. Jakob Bernoulli hat das Problem mit der Rechnung in einer Zeitung behoben (Acta Eruditorum, 1690), der den ersten veröffentlichten Gebrauch des integrierten Begriffes gesehen hat.

Das tautochrone Problem wurde näher studiert, als es begriffen wurde, dass ein Pendel, das einem kreisförmigen Pfad folgt, nicht isochron war und so seine Pendel-Uhr verschiedene Zeit je nachdem behalten würde, wie weit das Pendel geschwungen hat. Nach der Bestimmung des richtigen Pfads hat Christiaan Huygens versucht, Pendel-Uhren zu schaffen, die eine Schnur verwendet haben, um den Bob und die Beschränkungsbacken in der Nähe von der Spitze der Schnur aufzuheben, um den Pfad zur Tautochrone-Kurve zu ändern. Diese Versuche haben sich erwiesen, aus mehreren Gründen nicht nützlich zu sein. Erstens verursacht das Verbiegen der Schnur Reibung, das Timing ändernd. Zweitens gab es viel bedeutendere Quellen, Fehler zeitlich festzulegen, die irgendwelche theoretischen Verbesserungen überwältigt haben, denen das Reisen auf der Tautochrone-Kurve hilft. Schließlich nimmt der "kreisförmige Fehler" eines Pendels ab, wie die Länge des Schwingens abnimmt, so konnten bessere Uhr-Hemmungen diese Quelle der Ungenauigkeit außerordentlich reduzieren.

Später haben die Mathematiker Joseph Louis Lagrange und Leonhard Euler eine analytische Lösung des Problems zur Verfügung gestellt.

Lösung von Lagrangian

Wenn die Position der Partikel durch den arclength s (t) vom niedrigsten Punkt parametrisiert wird, ist die kinetische Energie dazu proportional. Die potenzielle Energie ist zur Höhe y (s) proportional. Um ein isochrone zu sein, muss Lagrangian der eines einfachen harmonischen Oszillators sein: Die Höhe der Kurve muss zum quadratisch gemachten arclength proportional sein.

::

wo die Konstante der Proportionalität auf 1 durch das Ändern von Einheiten der Länge gesetzt worden ist.

Die Differenzialform dieser Beziehung ist

::::

Der s beseitigt, und eine Differenzialgleichung für dx und dy verlässt. Um die Lösung zu finden, integrieren Sie für x in Bezug auf y:

::::

Wo. Dieses Integral ist das Gebiet unter einem Kreis, der in ein Dreieck und einen kreisförmigen Keil natürlich geschnitten werden kann:

::::

Zu sehen, dass das ein seltsam parametrisierter cycloid, Änderungsvariablen ist, um die transzendentalen und algebraischen Teile zu entwirren: Definieren Sie den Winkel.

::::

Der der Standard parametrization, abgesehen von der Skala von x, y und θ. ist

"Virtueller Ernst" Lösung

Vielleicht ist die einfachste Lösung des tautochrone Problems, eine direkte Beziehung zwischen dem Winkel einer Neigung und dem Ernst zu bemerken, der durch eine Partikel auf der Neigung gefühlt ist. Eine Partikel auf einer 90 ° vertikalen Neigung fühlt die volle Wirkung des Ernstes, während eine Partikel auf einer Horizontalebene effektiv keinen Ernst fühlt. In Zwischenwinkeln ist der "virtuelle Ernst, der" durch die Partikel gefühlt ist, G-Sünde θ. der erste Schritt ist, einen "virtuellen Ernst" zu finden, der das gewünschte Verhalten erzeugt.

Der "virtuelle Ernst, der" für den tautochrone erforderlich ist, ist einfach zur Entfernung proportional, die gereist werden muss, der eine einfache Lösung zulässt:

:

\frac {d^2s} \\

T & = \pi \sqrt {\\frac {r} {g} }\

\end {richten }\aus</Mathematik>

(Gestützt lose auf dem Disziplinarbeamten, Seiten 135-139)

Die Lösung von Abel

Niels Henrik Abel hat eine verallgemeinerte Version des tautochrone Problems (das mechanische Problem von Abel), nämlich, in Anbetracht einer Funktion T (y) angegriffen, der die Gesamtzeit des Abstiegs für eine gegebene Starthöhe angibt, finden Sie eine Gleichung der Kurve, die dieses Ergebnis nachgibt. Das tautochrone Problem ist ein spezieller Fall des mechanischen Problems von Abel, wenn T (y) eine Konstante ist.

Die Lösung von Abel beginnt mit dem Grundsatz der Bewahrung der Energie - da die Partikel frictionless ist, und so keine Energie verliert zu heizen, ist seine kinetische Energie an jedem Punkt dem Unterschied in der potenziellen Energie von seinem Startpunkt genau gleich. Die kinetische Energie ist, und da die Partikel beschränkt wird, eine Kurve voranzukommen, ist seine Geschwindigkeit einfach, wo die entlang der Kurve gemessene Entfernung ist. Ebenfalls ist die potenzielle Gravitationsenergie, die im Fallen von einer anfänglichen Höhe bis eine Höhe gewonnen ist so:

:\begin {richten }\aus

\frac {1} {2} M \left (\frac {ds} {dt} \right) ^2 & = Mg (y_0-y) \\

\frac {ds} {dt} & = \pm \sqrt {2g (y_0-y)} \\

dt & = \pm \frac {ds} {\\sqrt {2g (y_0-y)}} \\

dt & = - \frac {1} {\\sqrt {2g (y_0-y)}} \frac {ds} {dy} \, dy

\end {richten }\aus</Mathematik>

In der letzten Gleichung haben wir vorausgesehen, die Entfernung zu schreiben, die entlang der Kurve als eine Funktion der Höhe (s (y)) bleibt, anerkannt, dass die restliche Entfernung abnehmen muss, als Zeit (so minus das Zeichen) zunimmt, und die Kettenregel in der Form verwendet hat.

Jetzt integrieren wir von zu, erforderlich zu lassen, dass die Gesamtzeit für die Partikel fällt:

:

T (y_0) = \int_ {y=y_0} ^ {y=0} \, dt = \frac {1} {\\sqrt {2g}} \int_0^ {y_0} \frac {1} {\\sqrt {y_0-y}} \frac {ds} {dy} \, dy

</Mathematik>

Das wird die Integralgleichung von Abel genannt und erlaubt uns, die für eine Partikel erforderliche Gesamtzeit zu schätzen, entlang einer gegebenen Kurve zu fallen (für den leicht sein würde zu rechnen). Aber das mechanische Problem von Abel verlangt das gegenteilige - gegeben, wir möchten finden, von dem eine Gleichung für die Kurve auf eine aufrichtige Weise folgen würde. Um weiterzugehen, bemerken wir, dass das Integral rechts die Gehirnwindung damit ist und nehmen Sie so Laplace, verwandeln sich beider Seiten:

:

\mathcal {L} [T (y_0)] = \frac {1} {\\sqrt {2g}} \mathcal {L} \left [\frac {1} {\\sqrt {y}} \right] \mathcal {L} \left [\frac {ds} {dy} \right]

</Mathematik>

Seitdem haben wir jetzt einen Ausdruck für Laplace verwandeln sich von in Bezug auf 's Laplace verwandeln sich:

:

\mathcal {L }\\ist [\frac {ds} {dy} \right] = \sqrt {\\frac {2g} {\\Pi}} z^ {\\frac {1} {2}} \mathcal {L} [T (y_0)] abgereist

</Mathematik>

Das ist, so weit wir ohne das Spezifizieren gehen können. Einmal ist bekannt, wir können rechnen seine Laplace verwandeln sich, rechnen Laplace verwandeln sich dessen und nehmen dann das Gegenteil verwandeln sich (oder versuchen Sie zu) zu finden.

Für das tautochrone Problem, ist unveränderlich. Da sich Laplace 1 verwandeln, ist, wir machen weiter:

:\begin {richten }\aus

\mathcal {L }\\ist [\frac {ds} {dy} \right] & = \sqrt {\\frac {2g} {\\Pi}} z^ {\\frac {1} {2}} \mathcal {L} [T_0] \\abgereist

& = \sqrt {\\frac {2g} {\\Pi}} T_0 z^ {-\frac {1} {2} }\

\end {richten }\aus</Mathematik>

Wieder von Laplace Gebrauch zu machen, verwandelt sich oben, wir kehren das Umgestalten um und hören auf:

:

\frac {ds} {dy} = T_0 \frac {\\sqrt {2g}} {\\Pi }\\frac {1} {\\sqrt {y} }\

</Mathematik>

Es kann gezeigt werden, dass der cycloid dieser Gleichung folgt.

(Simmons, Abschnitt 54).

Siehe auch

Rechnung von Schwankungen Identität von Beltrami Cycloid Kettenlinie Gleichförmig beschleunigte Bewegung

Bibliografie

• Simmons, George, Differenzialgleichungen mit Anwendungen und Historischen Zeichen, McGraw-Hügel, 1972. Internationale Standardbuchnummer 0-07-057540-1.
• Disziplinarbeamter, Richard, Eine Abhandlung auf Dem Cycloid und allen Formen von Cycloidal-Kurven (1878), angeschlagen von der Universität von Cornell Bibliothek.

Links

• Mathworld