In der Mathematik beschreibt Perkolationstheory das Verhalten von verbundenen Trauben in einem zufälligen Graphen. Die Anwendungen der Perkolationstheory zur Material-Wissenschaft und den anderen Gebieten werden in der Artikel-Filtration besprochen.

Einführung

Eine vertretende Frage (und die Quelle des Namens) ist wie folgt. Nehmen Sie an, dass etwas Flüssigkeit oben auf einem porösen Material gegossen wird. Wird die Flüssigkeit im Stande sein, seinen Weg vom Loch bis Loch zu machen und den Boden zu erreichen? Diese physische Frage wird mathematisch als ein dreidimensionales Netz von n &times modelliert; n × n Punkte (oder Scheitelpunkte/Seiten) die Verbindungen (oder Ränder/Obligationen) zwischen jedem können zwei Nachbarn (das Erlauben von der Flüssigkeit durch) mit der Wahrscheinlichkeit p offen sein, oder haben sich mit Wahrscheinlichkeit 1 - p geeinigt, und, wie man annimmt, sind sie unabhängig. Deshalb, für einen gegebenen p, wie ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein offener Pfad von der Spitze bis den Boden besteht? Das Verhalten für großen n ist von primärem Interesse. Dieses Problem, genannt jetzt Band-Filtration, wurde in der Mathematik-Literatur dadurch eingeführt, und ist intensiv von Mathematikern und Physikern seitdem studiert worden. Wenn eine Seite mit der Wahrscheinlichkeit p besetzt wird oder leer (seine Ränder auch entfernt werden) mit der Wahrscheinlichkeit 1-p, wird das Problem "Seite-Filtration" genannt. Die Frage ist dasselbe: Für einen gegebenen p, wie ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Pfad zwischen Spitze und Boden besteht? Natürlich können dieselben Fragen um jede Gitter-Dimension gebeten werden.

Wie ziemlich typisch ist, ist es wirklich leichter, unendliche Netze zu untersuchen, als gerade große. In diesem Fall ist die entsprechende Frage: Öffnet sich ein Unendliche Traube bestehen? D. h. gibt es ein Pfad von verbundenen Punkten der unendlichen Länge "durch" das Netz? Durch die Null von Kolmogorov ein Gesetz, für irgendwelchen gegeben p, ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine unendliche Traube besteht, entweder Null oder ein. Da diese Wahrscheinlichkeit eine zunehmende Funktion von p ist (Beweis über das Kopplungsargument), muss es einen kritischen p geben (angezeigt durch p), unter dem die Wahrscheinlichkeit immer 0 ist, und über dem die Wahrscheinlichkeit immer 1 ist. In der Praxis ist dieser criticality sehr leicht zu beobachten. Sogar für n mindestens 100 nimmt die Wahrscheinlichkeit eines offenen Pfads von der Spitze bis den Boden scharf von sehr in der Nähe von der Null zu sehr in der Nähe von einer in einer kurzen Spanne von Werten von p zu.

In einigen Fällen kann p ausführlich berechnet werden. Zum Beispiel, für das Quadratgitter Z in zwei Dimensionen, p = 1/2, sieht eine Tatsache, die eine geöffnete Frage seit mehr als 20 Jahren war und schließlich von Harry Kesten am Anfang der 1980er Jahre aufgelöst wurde. Ein Grenze-Fall für Gitter in vielen Dimensionen wird durch das Gitter von Bethe gegeben, dessen Schwelle an p = 1 / ist (z − 1) für eine Koordination Nummer z. Für die meisten unendlichen Gitter-Graphen kann p nicht genau berechnet werden. Zum Beispiel ist p für die Band-Filtration im Hyperkubikgitter in zwei Dimensionen [Bedürfnis-Zitat] nicht bekannt.

Allgemeinheit

Der Allgemeinheitsgrundsatz stellt fest, dass der Wert von p mit der lokalen Struktur des Graphen verbunden wird, während das Verhalten von Trauben unten, an, und über p invariant in Bezug auf die lokale Struktur, und deshalb ist, in einem Sinn sind natürlichere Mengen, um in Betracht zu ziehen.

Diese Allgemeinheit bedeutet auch, dass für dieselbe Dimension, die des Typs des Gitters oder Typs der Filtration (z.B, Band oder Seite) unabhängig ist, die fractal Dimension der Trauben an p dasselbe ist.

Phasen

Unterkritisch und superkritisch

Die Haupttatsache in der unterkritischen Phase ist "Exponentialzerfall". D. h. wenn p, die Wahrscheinlichkeit, dass ein spezifischer Punkt (zum Beispiel, der Ursprung) in einer offenen Traube der Größe r Zerfall zur Null exponential in r enthalten wird. Das wurde für die Filtration in drei und mehr Dimensionen durch und unabhängig dadurch bewiesen. In zwei Dimensionen hat es einen Teil des Beweises von Kesten das p = 1/2 gebildet.

Der Doppelgraph des Quadratgitters Z ist auch das Quadratgitter. Hieraus folgt dass, in zwei Dimensionen, die superkritische Phase zu einem unterkritischen Filtrationsprozess Doppel-ist. Das gibt im Wesentlichen volle Auskunft über das superkritische Modell mit d = 2. Das Hauptergebnis für die superkritische Phase in drei und mehr Dimensionen besteht darin, dass, für genug großen N, es eine unendliche offene Traube in der zweidimensionalen Platte Z &times gibt; [0, N]. Das wurde dadurch bewiesen.

In zwei Dimensionen mit p

Kritisch

Das Modell hat eine Eigenartigkeit am kritischen Punkt p = p geglaubt, vom mit der Machtgesetztyp zu sein. Schuppen der Theorie sagt die Existenz von kritischen Hochzahlen abhängig von der Nummer d von Dimensionen voraus, die die Klasse der Eigenartigkeit bestimmen. Wenn d = 2 diese Vorhersagen durch Argumente von der Quant-Feldtheorie und Quant-Schwerkraft unterstützt werden, und vorausgesagte numerische Werte für die Hochzahlen einschließen. Die meisten dieser Vorhersagen sind mutmaßlich außer, wenn die Nummer d von Dimensionen entweder d = 2 oder d  19 befriedigt. Sie schließen ein:

• Es gibt keine unendlichen Trauben (offen oder geschlossen)
• Die Wahrscheinlichkeit, dass es einen offenen Pfad von einem festen Punkt gibt (sagen den Ursprung), zu einer Entfernung von R-Abnahmen polynomisch, d. h. ist auf der Ordnung von r für einen α\
• α hängt vom besonderen Gitter gewählt, oder auf anderen lokalen Rahmen nicht ab. Es hängt nur vom Wert der Dimension d ab (das ist ein Beispiel des Allgemeinheitsgrundsatzes).
• α-Abnahmen von d = 2 bis d = 6 und bleiben dann fest.
• α =

−1

• α =

−5/48.

• Die Gestalt einer großen Traube in zwei Dimensionen ist conformally invariant.

Sieh. In der Dimension  19 werden diese Tatsachen verwendend einer als die Schnürsenkel-Vergrößerung bekannten Technik größtenteils bewiesen. Es wird geglaubt, dass eine Version der Schnürsenkel-Vergrößerung für 7 oder mehr Dimensionen vielleicht mit Implikationen auch für den Schwellenfall von 6 Dimensionen gültig sein sollte. Die Verbindung der Filtration zur Schnürsenkel-Vergrößerung wird darin gefunden.

In der Dimension 2 wird die erste Tatsache ("keine Filtration in der kritischen Phase") für viele Gitter mit der Dualität bewiesen. Wesentliche Fortschritte sind auf der zweidimensionalen Filtration durch die Vermutung von Oded Schramm gemacht worden, dass die kletternde Grenze einer großen Traube in Bezug auf eine Schramm-Loewner Evolution beschrieben werden kann. Diese Vermutung wurde durch im speziellen Fall bewiesen

der Seite-Filtration auf dem Dreiecksgitter.

Verschiedene Modelle

• Das erste studierte Modell war Filtration von Bernoulli. In diesem Modell sind alle Obligationen unabhängig. Dieses Modell wird Band-Filtration von Physikern genannt.
• Eine Generalisation wurde als nächstes als das Fortuin-Kasteleyn zufällige Traube-Modell eingeführt, das viele Verbindungen mit dem Modell von Ising und den anderen Modellen von Potts hat.
• Bernoulli (Band) Filtration auf ganzen Graphen ist ein Beispiel eines zufälligen Graphen. Die kritische Wahrscheinlichkeit ist p = 1/N.
• Geleitete Filtration, die Verbindungen mit dem Kontakt-Prozess hat.
• Die erste Durchgang-Filtration.
• Invasionsfiltration.
• Die Filtration mit Abhängigkeitsverbindungen wurde durch Parshani et.al eingeführt.
• Meinungsmodell

Siehe auch

• Kritische Hochzahlen
• Geleitete Filtration
• Erdős-Rényi Modell
• Fractal
• Riesiger Bestandteil
• Graph-Theorie
• Invasionsfiltration
• Netztheorie
• Optimaler Pfad
• Filtrationsschwelle
• Filtration kritische Hochzahlen
• Zufällige Medien
• Netz ohne Skalen
• Kürzester Pfad
• Allgemeinheit

Links

• PercoVIS: OSX Programm, um sich Filtration in Netzen in Realtime zu vergegenwärtigen
• Interaktive Filtration
• Online-Kurs über die Perkolationstheory
• Einführung in die Perkolationstheory: kurzer Kurs durch Shlomo Havlin