In der statistischen Mechanik bestimmen Statistik von Bose-Einstein (oder mehr umgangssprachlich B-E Statistik) den statistischen Vertrieb von identischem nicht zu unterscheidendem bosons über die Energiestaaten im Thermalgleichgewicht. Es wird nach Satyendra Nath Bose und Albert Einstein genannt.

Konzept

Bei niedrigen Temperaturen benehmen sich bosons verschieden von fermions (die der Fermi-Dirac Statistik folgen) darin, kann sich eine unbegrenzte Zahl von ihnen in denselben Energiestaat "verdichten". Dieses anscheinend ungewöhnliche Eigentum verursacht auch den speziellen Staat der Sache - Kondensat von Bose Einstein.

Fermi-Dirac und Statistik von Bose-Einstein wenden sich, wenn Quant-Effekten wichtig sind und die Partikeln "nicht zu unterscheidend" sind. Quant-Effekten erscheinen, wenn die Konzentration von Partikeln befriedigt. Wo N die Zahl von Partikeln ist und V das Volumen ist und n die Quant-Konzentration ist, für die die Zwischenpartikel-Entfernung der Thermalwellenlänge von de Broglie gleich ist, so dass sich die wavefunctions der Partikeln berühren, aber nicht überlappen. Fermi-Dirac Statistiken gelten für fermions (Partikeln, die dem Ausschluss-Grundsatz von Pauli folgen), und Statistiken von Bose-Einstein für bosons gelten. Weil die Quant-Konzentration von Temperatur abhängt; die meisten Systeme bei hohen Temperaturen folgen dem klassischen (Maxwell-Boltzmann) Grenze, wenn sie keine sehr hohe Speicherdichte bezüglich eines weißen Zwergs haben. Sowohl Fermi-Dirac als auch Bose-Einstein werden Statistik von Maxwell-Boltzmann bei der hohen Temperatur oder bei der niedrigen Konzentration.

Bosons, verschieden von fermions, sind dem Ausschluss-Grundsatz von Pauli nicht unterworfen: Eine unbegrenzte Zahl von Partikeln kann denselben Staat zur gleichen Zeit besetzen. Das erklärt, warum, bei niedrigen Temperaturen, sich bosons sehr verschieden von fermions benehmen kann; alle Partikeln werden dazu neigen, sich an demselben Staat der niedrigsten Energie zu sammeln, bildend, was als ein Kondensat von Bose-Einstein bekannt ist.

B-E Statistik wurde für Fotonen 1924 von Bose eingeführt und hat zu Atomen durch Einstein in 1924-25 verallgemeinert.

Die erwartete Zahl von Partikeln in einem Energiestaat i für die B-E Statistik ist

:

mit ε> μ, und wo n die Zahl von Partikeln im Staat i ist, ist g die Entartung des Staates i, ε ist die Energie des Ith-Staates, μ ist das chemische Potenzial, k ist der Boltzmann unveränderlich, und T ist absolute Temperatur.

Das nimmt zum Rayleigh-Jeans-Gesetzvertrieb für nämlich ab

n_i = \frac {g_i kT} {\\varepsilon_i-\mu} </Mathematik>.

Geschichte

Während das Präsentieren eines Vortrags an der Universität von Dhaka auf der Theorie der Radiation und der ultravioletten Katastrophe, Satyendra Nath Bose ein bengalischer Wissenschaftler, vorgehabt hat, seinen Studenten zu zeigen, dass die zeitgenössische Theorie unzulänglich war, weil es Ergebnisse nicht in Übereinstimmung mit experimentellen Ergebnissen vorausgesagt hat. Während dieses Vortrags hat Bose einen Fehler in der Verwendung der Theorie begangen, die unerwartet eine Vorhersage gegeben hat, die mit dem Experiment übereingestimmt ist (er hat sich später angepasst dieser Vortrag in einen kurzen Artikel hat das Gesetz von Planck und die Hypothese von Leichten Quanten genannt).

Der Fehler war ein einfacher Fehler — ähnlich dem Argumentieren, dass das Schnipsen zwei schöner Münzen zwei Köpfe ein Drittel der Zeit erzeugen wird — der offensichtlich falsch jedem mit einem grundlegenden Verstehen der Statistik scheinen würde. Jedoch haben die Ergebnisse, die es übereingestimmt Experiment und Bose vorausgesagt hat, begriffen, dass es kein Fehler überhaupt sein könnte. Er hat zum ersten Mal die Position genommen, dass der Vertrieb von Maxwell-Boltzmann für mikroskopische Partikeln nicht wahr sein würde, wo Schwankungen wegen des Unklarheitsgrundsatzes von Heisenberg bedeutend sein werden. So hat er die Wahrscheinlichkeit betont, Partikeln im Phase-Raum, jeder Staat zu finden, der Band h ³ hat, und die verschiedene Position und den Schwung der Partikeln verwirft.

Physik-Zeitschriften haben sich geweigert, das Papier von Bose zu veröffentlichen. Verschiedene Redakteure haben seine Ergebnisse ignoriert, behauptend, dass er ihnen einen einfachen Fehler geboten hatte. Entmutigt hat er Albert Einstein geschrieben, der mit ihm sofort übereingestimmt ist. Seine Theorie hat schließlich Rücksicht erreicht, als Einstein sein eigenes Papier zur Unterstutzung Boses zu Zeitschrift für Physik gesandt hat, dass sie fragend, zusammen veröffentlicht werden. Das wurde 1924 getan. Bose hatte früher die Theorie von Einstein der Allgemeinen Relativität von Deutsch zu Englisch übersetzt.

Erzeugte genaue Ergebnisse "des Fehlers" von Bose des Grunds bestanden darin, dass, da Fotonen von einander nicht zu unterscheidend sind, man keine zwei Fotonen behandeln kann, die gleiche Energie als haben, zwei verschiedene identifizierbare Fotonen seiend. Analog, wenn in einem abwechselnden Weltall sich Münzen wie Fotonen und anderer bosons benehmen sollten, würde die Wahrscheinlichkeit, zwei Köpfe zu erzeugen, tatsächlich ein Drittel (Schwanz-Kopf = Hauptschwanz) sein. "Der Fehler" von Bose wird jetzt Statistik von Bose-Einstein genannt.

Einstein hat die Idee angenommen und hat sie zu Atomen erweitert. Das hat zur Vorhersage der Existenz von Phänomenen geführt, die bekannt als Kondensat von Bose-Einstein, eine dichte Sammlung von bosons geworden sind (die Partikeln mit der Drehung der ganzen Zahl, genannt nach Bose sind), der demonstriert wurde, um durch das Experiment 1995 zu bestehen.

Eine Abstammung des Vertriebs von Bose-Einstein

Nehmen Sie an, dass wir mehrere Energieniveaus haben, die durch den Index etikettiert sind

, jedes Niveau

Energie habend und insgesamt enthaltend

Partikeln. Nehmen Sie an, dass jedes Niveau enthält

verschiedene Subniveaus, von denen alle dieselbe Energie haben, und die unterscheidbar sind. Zum Beispiel können zwei Partikeln verschiedene Schwünge haben, in welchem Fall sie von einander unterscheidbar sind, noch können sie noch dieselbe Energie haben.

Der Wert von

vereinigt mit dem Niveau wird die "Entartung" dieses Energieniveaus genannt. Jede Zahl von bosons kann dasselbe Subniveau besetzen.

Lassen Sie, die Zahl von Weisen zu sein, zu verteilen

Partikeln unter dem

Subniveaus eines Energieniveaus. Es gibt nur eine Weise, zu verteilen

Partikeln mit einem Subniveau, deshalb

. Es ist leicht, das zu sehen

es gibt Weisen, zu verteilen

Partikeln in zwei Subniveaus, die wir als schreiben werden:

:

w (n, 2) = \frac {(n+1)!} {n! 1!}.

</Mathematik>

Mit einem kleinen Gedanken

(sieh Zeichen unten)

es kann dass die Zahl von Weisen gesehen werden, zu verteilen

Partikeln in drei Subniveaus sind

:</Mathematik>

so dass

:

w (n, 3) = \sum_ {k=0} ^n w (n-k, 2) = \sum_ {k=0} ^n\frac {(n-k+1)!} {(n-k)! 1!} = \frac {(n+2)!} {n! 2! }\

</Mathematik>

wo wir die folgenden einschließenden binomischen Koeffizienten verwendet haben:

:

\sum_ {k=0} ^n\frac {(k+a)!} {k! a!} = \frac {(n+a+1)!} {n! (a+1)!}.

</Mathematik>

Diesen Prozess fortsetzend, können wir das sehen

ist gerade ein binomischer Koeffizient

(Sieh Zeichen unten)

:

w (n, g) = \frac {(n+g-1)!} {n! (g-1)!}.

</Mathematik>

Zum Beispiel sind die Bevölkerungszahlen für zwei Partikeln in drei Subniveaus 200, 110, 101, 020, 011, oder 002 für insgesamt sechs, der 4 gleich ist! / (2! 2!). Die Zahl von Weisen, wie eine Reihe von Beruf-Zahlen begriffen werden kann, ist das Produkt der Weisen, wie jedes individuelle Energieniveau bevölkert werden kann:

:

W = \prod_i w (n_i, g_i) = \prod_i \frac {(n_i+g_i-1)!} {n_i! (G_i-1)! }\

\approx\prod_i \frac {(n_i+g_i)!} {n_i! (G_i-1)! }\

</Mathematik>

wo die Annäherung das annimmt.

Im Anschluss an dasselbe im Abstammen der Statistik von Maxwell-Boltzmann verwendete Verfahren möchten wir den Satz dessen finden, für den W, Thema der Einschränkung dass maximiert wird, dort eine feste Gesamtzahl von Partikeln und eine feste Gesamtenergie sein. Die Maxima dessen und kommen an demselben Wert vor und, da es leichter ist, mathematisch zu vollbringen, werden wir die letzte Funktion stattdessen maximieren. Wir beschränken unser Lösungsverwenden Vermehrer von Lagrange, die die Funktion bilden:

:

f (n_i) = \ln (W) + \alpha (N-\sum n_i) + \beta (E-\sum n_i \varepsilon_i)

</Mathematik>

Das Verwenden der Annäherung und das Verwenden der Annäherung von Stirling für den factorials geben

:

Wo K die Summe mehrerer Begriffe ist, die nicht Funktionen sind. Die Einnahme der Ableitung in Bezug auf, und das Setzen des Ergebnisses zur Null und das Lösen dafür, geben die Bevölkerungszahlen von Bose-Einstein nach:

:

n_i = \frac {g_i} {e^ {\\Alpha +\beta \varepsilon_i}-1}.

</Mathematik>

Durch einen Prozess, der dem ähnlich ist, das im Statistikartikel von Maxwell-Boltzmann entworfen ist, kann es dass gesehen werden:

:

der, mit der berühmten Beziehung von Boltzmann eine Behauptung des zweiten Gesetzes der Thermodynamik am unveränderlichen Volumen wird, und hieraus folgt dass und wo S das Wärmegewicht ist, ist das chemische Potenzial, k ist die Konstante von Boltzmann, und T ist die Temperatur, so dass schließlich:

:

n_i = \frac {g_i} {e^ {(\varepsilon_i-\mu)/kT}-1}.

</Mathematik>

Bemerken Sie, dass die obengenannte Formel manchmal geschrieben wird:

:

n_i = \frac {g_i} {e^ {\\varepsilon_i/kT}/z-1},

</Mathematik>wo

ist die absolute Tätigkeit.

Eine viel einfachere Weise, an Vertriebsfunktion von Bose-Einstein zu denken, ist zu denken, dass n Partikeln durch identische Bälle angezeigt werden und G-Schalen durch g-1 Linienteilungen gekennzeichnet werden.

Es ist klar, dass die Versetzungen dieser n Bälle und g-1 Teilungen verschiedene Weisen geben werden, bosons in verschiedenen Energieniveaus einzuordnen.

Sagen Sie für 3 (=n) Partikeln und 3 (=g) Schalen, deshalb (g-1) =2, die Einordnung kann ähnlich sein

... oder

||... oder

|. |..

usw.

Folglich wird die Zahl von verschiedenen Versetzungen von n + (g-1) Gegenstände, die n identische Sachen und (g-1) identische Sachen haben, sein:

(n+g-1)!/n! (g-1)!

ODER

Der Zweck dieser Zeichen ist, einige Aspekte der Abstammung des Bose-Einsteins (B-E) zu klären

Vertrieb für Anfänger. Die Enumeration von Fällen (oder Wege) im B-E Vertrieb kann als umgearbeitet werden

folgt. Denken Sie ein Spiel von Würfeln, die werfen, in dem es gibt

Würfel,

mit jedem sterben, Werte im Satz nehmend

, dafür.

Die Einschränkungen des Spiels bestehen dass der Wert eines Sterbens darin

, angezeigt dadurch, muss sein

größer oder gleich dem Wert dessen sterben

, angezeigt durch

, im vorherigen Werfen, d. h.,

. So stirbt eine gültige Folge dessen Werfen kann durch einen beschrieben werden

N-Tupel

, solch dass. Lassen Sie

zeigen Sie den Satz dieser gültigen N-Tupel an:

:

Dann die Menge (definiert oben als die Zahl von Weisen, zu verteilen

Partikeln unter dem

Subniveaus eines Energieniveaus) ist der cardinality, d. h., die Zahl der Elemente (oder gültige N-Tupel) darin.

So das Problem, einen Ausdruck für zu finden

wird das Problem, die Elemente einzuschließen.

Beispiel n = 4, g = 3:

:

S (4,3) =

\left\{

\underbrace {(1111), (1112), (1113)} _ {(a)},

\underbrace {(1122), (1123), (1133)} _ {(b)},

\underbrace {(1222), (1223), (1233), (1333)} _ {(c)},

\right.

</Mathematik>

:::::

\left.

\underbrace {(2222), (2223), (2233), (2333), (3333)} _ {(d) }\

\right\}\

</Mathematik>

: (es gibt Elemente in)

Teilmenge

wird durch das Befestigen aller Indizes erhalten

zu

, abgesehen vom letzten Index,

, der von erhöht wird

zu

.Teilmenge

wird durch das Befestigen erhalten

, und das Erhöhen

von

zu

. Wegen der Einschränkung

\displaystyle

m_i \ge m_ {i-1 }\

</Mathematik>

auf den Indizes in

der Index

muss

automatisch

nehmen Sie Werte in

.

Der Aufbau von Teilmengen

und

folgt auf dieselbe Weise.

Jedes Element von

kann als ein gedacht werden

Mehrsatz

cardinality

;

die Elemente solchen Mehrsatzes werden vom Satz genommen

cardinality

und die Zahl solcher Mehrsätze ist der

Mehrsatz-Koeffizient

: \displaystyle

\left\langle

\begin {Matrix}

3

\\

4

\end {Matrix-}\

\right\rangle

= {3 + 4 - 1 \choose 3-1 }\

= {3 + 4 - 1 \choose 4 }\

=

\frac

{6! }\

{4! 2! }\

= 15

</Mathematik>

Mehr allgemein, jedes Element von

ist ein

Mehrsatz

cardinality

(Zahl von Würfeln)

mit Elementen, die vom Satz genommen sind

cardinality

(die Zahl von möglichen Werten von jedem stirbt),

und die Zahl solcher Mehrsätze, d. h.,

ist der

Mehrsatz-Koeffizient:

der genau dasselbe als der ist

Formel für, wie abgeleitet, oben mit der Hilfe

ein Lehrsatz, der binomische Koeffizienten, nämlich einschließt

:

Die Zergliederung zu verstehen

:

oder zum Beispiel,

und: \displaystyle

w (4,3)

=

w (4,2)

+

w (3,2)

+

w (2,2)

+

w (1,2)

+

w (0,2),

</Mathematik>

lassen Sie uns die Elemente von umordnen

wie folgt

: S (4,3) = \left\{

\underbrace {\

(1111)

(1112)

(1122)

(1222)

(2222)

} _ {(\alpha)},

\underbrace {\

(111 {\\Farbe {Roter }\\underset {=} {3}}),

(112 {\\Farbe {Roter }\\underset {=} {3}}),

(122 {\\Farbe {Roter }\\underset {=} {3}}),

(222 {\\Farbe {Roter }\\underset {=} {3}})

} _ {(\beta)},

\right.</Mathematik>::::: \left. \underbrace {\

(11 {\\Farbe {Roter }\\underset {==} {33}}),

(12 {\\Farbe {Roter }\\underset {==} {33}}),

(22 {\\Farbe {Roter }\\underset {==} {33}})

} _ {(\gamma)},

\underbrace {\

(1 {\\Farbe {Roter }\\underset {===} {333}}),

(2 {\\Farbe {Roter }\\underset {===} {333}})

} _ {(\delta) }\

\underbrace {\

({\\Farbe {Roter }\\underset {====} {3333}})

} _ {(\omega) }\

\right\}.

</Mathematik>

Klar, die Teilmenge

ist dasselbe als der Satz

: \displaystyle

S (4,2)

= \left\{ (1111) (1112) (1122) (1222) (2222) \right\}\

</Mathematik>.

Durch das Löschen des Index

(gezeigt in)

in

die Teilmenge

man erhält

der Satz

: \displaystyle

S (3,2)

= \left\{

(111)

(112)

(122)

(222)

\right\}\</Mathematik>.

Mit anderen Worten gibt es eine isomorphe Ähnlichkeit zwischen der Teilmenge

und der Satz

. Wir schreiben

: \displaystyle

(\beta)

\longleftrightarrow

S (3,2)</Mathematik>.

Ähnlich ist es leicht, das zu sehen

: \displaystyle

(\gamma)

\longleftrightarrow

S (2,2)

= \left\{

(11)

(12)

(22)

\right\}\</Mathematik>: \displaystyle

(\delta)

\longleftrightarrow

S (1,2)

= \left\{

(1)

(2)

\right\}\</Mathematik>: \displaystyle

(\omega)

\longleftrightarrow

S (0,2)

=

\varnothing

</Mathematik> (leerer Satz).

So können wir schreiben

: \displaystyle

S (4,3)

=

\bigcup_ {k=0} ^ {4 }\

S (4-k, 2)

</Mathematik>

oder mehr allgemein,

:

und seit den Sätzen

: \displaystyle

S (ich, g-1) \, \{\\rm für} \ich = 0, \dots, n

</Mathematik>

schneiden sich nicht, wir haben so

:

mit der Tagung das

:

Den Prozess fortsetzend, erreichen wir die folgende Formel

: \displaystyle

w (n, g)

=

\sum_ {k_1=0} ^ {n }\

\sum_ {k_2=0} ^ {n-k_1 }\

w (n - k_1 - k_2, g-2)

= \sum_ {k_1=0} ^ {n }\ \sum_ {k_2=0} ^ {n-k_1 }\

\cdots

\sum_ {k_g=0} ^ {n-\sum_ {j=1} ^ {g-1} k_j }\

w (n - \sum_ {i=1} ^ {g} k_i, 0).

</Mathematik>

Mit der Tagung (7) oben erhalten wir die Formel

:

die Beachtung davon für

und

Konstanten seiend, haben wir

:

Es kann dann dass nachgeprüft werden (8) und (2) geben dasselbe Ergebnis für

,

, usw.

Zwischendisziplinarische Anwendungen

Angesehen als ein reiner Wahrscheinlichkeitsvertrieb hat der Vertrieb von Bose-Einstein Anwendung in anderen Feldern gefunden:

• In den letzten Jahren sind Statistiken von Bose Einstein auch als eine Methode für die Begriff-Gewichtung in der Informationsgewinnung verwendet worden. Die Methode ist eine einer Sammlung von DFR ("Abschweifung Von der Zufälligkeit") Modelle, der grundlegende Begriff zu sein, dass Statistik von Bose Einstein ein nützlicher Hinweis in Fällen sein kann, wo ein besonderer Begriff und ein besonderes Dokument eine bedeutende Beziehung haben, die rein zufällig nicht vorgekommen wäre. Quellcode, um dieses Modell durchzuführen, ist aus dem Terrier-Projekt an der Universität Glasgows verfügbar.

• Die Evolution von vielen komplizierten Systemen, einschließlich des World Wide Web, Geschäfts, und Zitat-Netze, wird im dynamischen Web verschlüsselt, das die Wechselwirkungen zwischen den Bestandteilen des Systems beschreibt. Trotz ihrer irreversiblen Natur und Nichtgleichgewicht-Natur folgen diese Netze Statistik von Bose und können Kondensation von Bose-Einstein erleben. Das Wenden der dynamischen Eigenschaften dieser Nichtgleichgewicht-Systeme innerhalb des Fachwerks von Gleichgewicht-Quant-Benzin sagt voraus, dass der "erste Möbelpacker-Vorteil", "nehmen "passend werden reich" (FGR)," und Phänomene "Sieger alle, die" in Wettbewerbssystemen beobachtet sind, thermodynamisch verschiedene Phasen der zu Grunde liegenden sich entwickelnden Netze ist.

Siehe auch

• Korrelationen von Bose-Einstein
• Boson
• Higgs boson
• Statistik von Maxwell-Boltzmann
• Fermi-Dirac Statistik
• Parastatistik
• Das Gesetz von Planck der schwarzen Körperradiation

Referenzen