In der Mathematik ist eine Sammelleitung von Haken ein kompakter, P ²-irreducible 3-Sammelleitungen-, der genug groß ist, bedeutend, dass es eine richtig eingebettete zweiseitige Incompressible-Oberfläche enthält. Manchmal denkt man nur orientable Sammelleitungen von Haken, in welchem Fall eine Sammelleitung von Haken ein kompakter, orientable, nicht zu vereinfachend 3-Sammelleitungen-ist, der einen orientable, incompressible Oberfläche enthält.

Wie man

sagt, ist ein durch eine Sammelleitung von Haken begrenzt bedeckter 3-Sammelleitungen-eigentlich Haken. Eigentlich behauptet Haken Vermutung, dass jeder kompakte, mit der unendlichen grundsätzlichen Gruppe 3-Sammelleitungen-nicht zu vereinfachendes eigentlich Haken ist.

Sammelleitungen von Haken wurden dadurch eingeführt. bewiesen, dass Sammelleitungen von Haken eine Hierarchie haben, wo sie in 3 Bälle entlang Incompressible-Oberflächen aufgeteilt werden können. Haken hat auch gezeigt, dass es ein begrenztes Verfahren gab, um eine Incompressible-Oberfläche zu finden, wenn der 3-Sammelleitungen-denjenigen hatte. hat einen Algorithmus gegeben, um zu bestimmen, ob ein 3-Sammelleitungen-Haken war.

Normale Oberflächen sind in der Theorie von Sammelleitungen von Haken allgegenwärtig, und ihre einfache und starre Struktur führt ganz natürlich zu Algorithmen.

Haken Hierarchie

Wir werden nur den Fall von orientable Sammelleitungen von Haken in Betracht ziehen, weil das die Diskussion vereinfacht; eine regelmäßige Nachbarschaft einer Orientable-Oberfläche in einem orientable 3-Sammelleitungen-ist gerade "dick gemacht" Version der Oberfläche, d. h. ein triviales I-Bündel. So ist die regelmäßige Nachbarschaft eine 3-dimensionale Subsammelleitung mit der Grenze, die zwei Kopien der Oberfläche enthält.

In Anbetracht einer orientable SammelleitungsM von Haken definitionsgemäß enthält es einen orientable, incompressible Oberfläche S. Nehmen Sie die regelmäßige Nachbarschaft von S und löschen Sie sein Interieur von der M. Tatsächlich haben wir M entlang dem OberflächenS. geschnitten (Das, ist in einer weniger Dimension, zum Ausschnitt einer Oberfläche entlang einem Kreis oder Kreisbogen analog.) Ist es ein Lehrsatz, dass jede orientable Kompaktsammelleitung mit einem Grenzbestandteil, der nicht ein Bereich ist, eine unendliche erste Homologie-Gruppe hat, die andeutet, dass es ein richtig eingebettetes 2-seitiges Nichttrennen incompressible Oberfläche hat, und so wieder eine Sammelleitung von Haken ist. So können wir eine andere Incompressible-Oberfläche in der M aufpicken', und entlang dem schneiden. Wenn schließlich diese Folge des Ausschnitts auf eine Sammelleitung hinausläuft, deren Stücke (oder Bestandteile) gerade 3 Bälle sind, nennen wir diese Folge eine Hierarchie.

Anwendungen

Die Hierarchie macht Beweis bestimmter Arten von Lehrsätzen über Sammelleitungen von Haken eine Sache der Induktion. Man beweist den Lehrsatz für 3 Bälle. Dann beweist man dass, wenn der Lehrsatz für Stücke wahr ist, die sich aus einem Ausschnitt einer Sammelleitung von Haken ergeben, dass es für diese Sammelleitung von Haken wahr ist. Der Schlüssel hier besteht darin, dass der Ausschnitt entlang einer Oberfläche stattfindet, die, d. h. incompressible "sehr nett" war. Das macht Beweis des in vielen Fällen ausführbaren Induktionsschritts.

Haken hat einen Beweis eines Algorithmus skizziert, um zu überprüfen, ob zwei Sammelleitungen von Haken homeomorphic waren oder nicht. Sein Umriss wurde durch substantivische Anstrengungen von Waldhausen, Johannson, Hemion, Matveev ausgefüllt, u. a. Da es einen Algorithmus gibt, um zu überprüfen, ob ein 3-Sammelleitungen-Haken ist (vgl Jaco-Oertel), wie man betrachten kann, wird das grundlegende Problem der Anerkennung von 3 Sammelleitungen für Sammelleitungen von Haken behoben.

bewiesen, der Sammelleitungen von Haken geschlossen hat, sind topologisch starr: Grob ist jede homotopy Gleichwertigkeit von Sammelleitungen von Haken homotopic zu einem homeomorphism (für den Fall der Grenze, eine Bedingung auf der peripherischen Struktur ist erforderlich). So werden diese drei Sammelleitungen von ihrer grundsätzlichen Gruppe völlig bestimmt. Außerdem hat Waldhausen bewiesen, dass die grundsätzlichen Gruppen von Sammelleitungen von Haken lösbares Wortproblem haben; das ist auch für eigentlich Sammelleitungen von Haken wahr.

Die Hierarchie hat eine entscheidende Rolle im hyperbolization Lehrsatz von William Thurston für Sammelleitungen von Haken, einen Teil seines revolutionären geometrization Programms für 3 Sammelleitungen gespielt.

bewiesen, dass atoroidal, anannular, nicht zu vereinfachend, drei Sammelleitungen von Haken begrenzte kartografisch darstellende Klassengruppen haben. Dieses Ergebnis kann von der Kombination der Starrheit von Mostow mit dem geometrization Lehrsatz von Thurston wieder erlangt werden.

Beispiele von Sammelleitungen von Haken

Bemerken Sie, dass einige Familien von Beispielen in anderen enthalten werden.

• Kompakte, nicht zu vereinfachende 3 Sammelleitungen mit der positiven ersten Zahl von Betti
• Verbindungsergänzungen
• Oberflächenbündel über den Kreis
• Die meisten Seifert Faser-Räume haben viele incompressible Ringe

Siehe auch

Mannigfaltige Zergliederung