In der Mathematik ist eine Unterkategorie einer Kategorie C eine Kategorie S, dessen Gegenstände Gegenstände in C sind, und dessen morphisms morphisms in C mit derselben Identität und Zusammensetzung von morphisms sind. Intuitiv ist eine Unterkategorie von C eine bei C erhaltene Kategorie durch "das Entfernen" von einigen seiner Gegenstände und Pfeile.

Formelle Definition

Lassen Sie C eine Kategorie sein. Eine Unterkategorie S C wird durch gegeben

• eine Subsammlung von Gegenständen von C, angezeigter ob (S),
• eine Subsammlung von morphisms von C, angezeigter hom (S).

solch dass

• für jeden X in ob (S) ist die Identität morphism id in hom (S),
• für jeden morphism f: X  Y in hom (S), sowohl die Quelle X als auch das Ziel Y sind in ob (S),
• für jedes Paar von morphisms f und g in hom (S) die Zusammensetzung f o ist g in hom (S), wann auch immer es definiert wird.

Diese Bedingungen stellen sicher, dass S eine Kategorie in seinem eigenen Recht ist. Es gibt einen offensichtlichen treuen functor I: S  C, genannt die Einschließung functor, der gerade die Identität auf Gegenständen und morphisms ist.

Lassen Sie S eine Unterkategorie einer Kategorie C sein. Wir sagen, dass S eine volle Unterkategorie von C wenn für jedes Paar von Gegenständen X und Y von S ist

Eine volle Unterkategorie ist diejenige, die den ganzen morphisms zwischen Gegenständen von S einschließt. Für jede Sammlung von Gegenständen in C gibt es eine einzigartige volle Unterkategorie von C, dessen Gegenstände diejenigen in A sind.

Embeddings

In Anbetracht einer Unterkategorie S C die Einschließung functor I: S  ist C sowohl treu als auch injective auf Gegenständen. Es ist voll, wenn, und nur wenn S eine volle Unterkategorie ist.

Viele Autoren definieren ein Einbetten, um ein voller und treuer functor zu sein.

Andere Autoren definieren einen functor, um ein Einbetten zu sein, wenn es ist

treu und

injective auf Gegenständen.

Gleichwertig ist F ein Einbetten, wenn es injective auf morphisms ist. Ein functor F wird dann ein volles Einbetten genannt, wenn es ein voller functor und ein Einbetten ist.

Für jedes (volle) Einbetten F: B  C das Image von F ist eine (volle) Unterkategorie S C, und F veranlasst einen Isomorphismus von Kategorien zwischen B und S.

In einigen Kategorien kann man auch von morphisms der Kategorie sprechen, die embeddings ist.

Typen von Unterkategorien

sagt, wird eine Unterkategorie S C Isomorphismus-geschlossen oder wenn jeder Isomorphismus k angefüllt: X  Y in solchem C, dass Y in S auch ist, gehören S. Wie man sagt, ist eine Isomorphismus-geschlossene volle Unterkategorie ausschließlich voll.

Eine Unterkategorie von C ist breit oder lluf (ein Begriff, der zuerst von P. Freyd aufgestellt ist), wenn es alle Gegenstände von C enthält. Eine lluf Unterkategorie ist normalerweise nicht voll: Die einzige volle lluf Unterkategorie einer Kategorie ist dass Kategorie selbst.

Eine Serre Unterkategorie ist eine nichtleere volle Unterkategorie S von einer abelian Kategorie C solch das für alle kurzen genauen Folgen

in C gehört M S wenn und nur wenn beide und

Siehe auch

• Reflektierende Unterkategorie