Eine genaue Folge ist ein Konzept in der Mathematik, besonders im Ring und der Modul-Theorie, homological Algebra, sowie in der Differenzialgeometrie und Gruppentheorie. Eine genaue Folge ist eine Folge, entweder begrenzt oder unendlich, Gegenstände und morphisms zwischen ihnen solch, dass das Image eines morphism dem Kern des folgenden gleichkommt.

Definition

Im Zusammenhang der Gruppentheorie, eine Folge

Gruppen und Gruppe wird Homomorphismus genau genannt, wenn das Image (oder Reihe) jedes Homomorphismus dem Kern des folgenden gleich ist:

Bemerken Sie, dass die Folge von Gruppen und Homomorphismus entweder begrenzt oder unendlich sein kann.

Eine ähnliche Definition kann sicher andere algebraische Strukturen gemacht werden. Zum Beispiel konnte man eine genaue Folge von Vektorräumen und geradlinigen Karten, oder Module und Modul-Homomorphismus haben. Mehr allgemein hat der Begriff einer genauen Folge Sinn in jeder Kategorie mit Kernen und cokernels.

Kurze genaue Folge

Der allgemeinste Typ der genauen Folge ist die kurze genaue Folge. Das ist eine genaue Folge der Form

wo ƒ ist ein monomorphism, und g ist ein epimorphism. In diesem Fall ist A ein Subgegenstand von B, und der entsprechende Quotient ist zu C isomorph:

:

(wo f (A) = im (f)).

Eine kurze genaue Folge von abelian Gruppen kann auch als eine genaue Folge mit fünf Begriffen geschrieben werden:

wo 0 den Nullgegenstand, wie die triviale Gruppe oder ein nulldimensionaler Vektorraum vertritt. Das Stellen der Kräfte des 0's ƒ ein monomorphism und g zu sein, um ein epimorphism (sieh unten) zu sein.

Wenn stattdessen die Gegenstände Gruppen sind, die nicht bekannt sind, abelian zu sein, dann ist multiplicative aber nicht zusätzliche Notation, und das Identitätselement traditionell - sowie die triviale Gruppe - wird häufig als "1" statt "0" geschrieben. So in diesem Fall würde eine kurze genaue Folge wie folgt geschrieben:

Beispiel

Denken Sie die folgende Folge von abelian Gruppen:

Die erste Operation bildet ein Element im Satz von ganzen Zahlen, Z, mit der Multiplikation durch 2 auf einem Element von Z j = 2i. Die zweite Operation bildet ein Element im Quotient-Raum, j = ich mod 2. Hier zeigt der Haken-Pfeil an, dass die Karte 2  von Z bis Z ein monomorphism ist, und der zweiköpfige Pfeil einen epimorphism (die Karte mod 2) anzeigt. Das ist eine genaue Folge, weil das Image 2Z des monomorphism der Kern des epimorphism ist.

Diese Folge kann auch geschrieben werden, ohne spezielle Symbole für monomorphism und epimorphism zu verwenden:

Hier 0 zeigt die triviale abelian Gruppe mit einem einzelnen Element an, die Karte von Z bis Z ist Multiplikation durch 2, und die Karte von Z bis die Faktor-Gruppe, die Z/2Z durch das Reduzieren von ganzen Zahlen modulo 2 gegeben wird. Das ist tatsächlich eine genaue Folge:

• das Image der Karte 0Z ist {0}, und der Kern der Multiplikation durch 2 ist auch {0}, so ist die Folge am ersten Z genau.
• das Image der Multiplikation durch 2 ist 2Z, und der Kern, modulo 2 zu reduzieren, ist auch 2Z, so ist die Folge am zweiten Z genau.
• das Image, modulo 2 zu reduzieren, ist alle Z/2Z, und der Kern der Nullkarte ist auch alle Z/2Z, so ist die Folge an der Position Z/2Z genau

Ein anderes Beispiel, von der Differenzialgeometrie, die für die Arbeit an den Gleichungen von Maxwell besonders wichtig ist:

:

gestützt auf der Tatsache das auf richtig definierten Räumen von Hilbert,

:

außerdem können Vektorfelder ohne Locken immer als ein Anstieg einer Skalarfunktion geschrieben werden, und dass ein divergenceless Feld als eine Locke eines anderen Feldes geschrieben werden kann.

Bemerken Sie 1: Dieses Beispiel macht von der Tatsache Gebrauch, dass 3-dimensionaler Raum topologisch trivial ist.

Bemerken Sie 2: Und sind die Gebiete für die Locke und div Maschinenbediener beziehungsweise.

Spezielle Fälle

Um die Definition zu verstehen, ist es nützlich zu denken, was es in relativ einfachen Fällen bedeutet, wo die Folge begrenzt ist und beginnt oder mit 0 endet.

• Die Folge 0  Ein  B ist an genau, wenn, und nur wenn die Karte von bis B Kern {0} hat, d. h. wenn, und nur wenn diese Karte ein (isomorpher) monomorphism ist.
• Doppel-ist die Folge B  C  0 an C genau, wenn, und nur wenn das Image der Karte von B bis C alle C ist, d. h. wenn, und nur wenn diese Karte ein epimorphism (darauf) ist.
• Eine Folge dieser letzten zwei Tatsachen ist, dass die Folge 0  X  Y  0 sind genau, wenn, und nur wenn die Karte von X bis Y ein Isomorphismus ist.

Wichtig sind kurze genaue Folgen, die genaue Folgen der Form sind

Durch das obengenannte wissen wir, dass für jede solche kurze genaue Folge f ein monomorphism ist und g ein epimorphism ist. Außerdem ist das Image von f dem Kern von g gleich. Es ist nützlich, als ein Subgegenstand von B mit f zu denken, das Einbetten in B, und C als der entsprechende Faktor-Gegenstand B/A mit der Karte g zu sein, die der natürliche Vorsprung von B bis B/A ist (dessen Kern genau A ist).

Tatsachen

Das zerreißende Lemma stellt das fest, wenn die obengenannte kurze genaue Folge einen morphism t zulässt: B  Ein solcher, dass t f die Identität auf A oder einem morphism u ist: C  B solch, dass g u die Identität auf C dann ist, ist B eine gedrehte direkte Summe von A und C. (Für Gruppen, eine gedrehte direkte Summe ist ein halbdirektes Produkt; in einer abelian Kategorie ist jede gedrehte direkte Summe eine gewöhnliche direkte Summe.) In diesem Fall sagen wir, dass sich die kurze genaue Folge aufspaltet.

Das Schlange-Lemma zeigt, wie ein Ersatzdiagramm mit zwei genauen Reihen eine längere genaue Folge verursacht. Das neun Lemma ist ein spezieller Fall.

Das fünf Lemma gibt Bedingungen, unter denen die mittlere Karte in einem Ersatzdiagramm mit genauen Reihen der Länge 5 ein Isomorphismus ist; das kurze fünf Lemma ist ein spezieller Fall davon, für kurze genaue Folgen geltend.

Die Wichtigkeit von kurzen genauen Folgen wird durch die Tatsache unterstrichen, dass sich jede genaue Folge ergibt, "zusammen" mehrere überlappende kurze genaue Folgen webend. Denken Sie zum Beispiel die genaue Folge

der andeutet, dass dort Gegenstände C in der solcher Kategorie dass bestehen

:.

Nehmen Sie außerdem an, dass der cokernel jedes morphism besteht, und zum Image des folgenden morphism in der Folge isomorph ist:

(Das ist für mehrere interessante Kategorien einschließlich jeder abelian Kategorie wie die abelian Gruppen wahr; aber es ist für alle Kategorien nicht wahr, die genaue Folgen erlauben, und insbesondere für die Kategorie von Gruppen, in der coker (f) nicht wahr ist: G  ist H nicht H/im (f), aber, der Quotient von H durch den verbundenen Verschluss von im (f).) Dann erhalten wir ein Ersatzdiagramm, in dem alle Diagonalen kurze genaue Folgen sind:

Bemerken Sie, dass der einzige Teil dieses Diagramms, das von der cokernel Bedingung abhängt, der Gegenstand C und das Endpaar von morphisms Ein  C  0 ist. Wenn dort ein Gegenstand und solcher morphism besteht, der genau ist, dann wird die Genauigkeit dessen gesichert. Wieder das Beispiel der Kategorie von Gruppen nehmend, deutet die Tatsache, dass im (f) der Kern von einem Homomorphismus auf H ist, an, dass es eine normale Untergruppe ist, die mit seinem verbundenen Verschluss zusammenfällt; so ist coker (f) zum Image H/im (f) des folgenden morphism isomorph.

Umgekehrt, in Anbetracht jeder Liste, auf kurze genaue Folgen überzugreifen, bilden ihre mittleren Begriffe eine genaue Folge auf dieselbe Weise.

Anwendungen genauer Folgen

In der Theorie von abelian Kategorien werden kurze genaue Folgen häufig als eine günstige Sprache verwendet, um über sub - und Faktor-Gegenstände zu sprechen.

Das Erweiterungsproblem ist im Wesentlichen die Frage "Gegeben der Endbegriff-A und C einer kurzen genauen Folge, welche Möglichkeiten bestehen für den mittleren Begriff B?" In der Kategorie von Gruppen ist das zur Frage gleichwertig, was Gruppen B als eine normale Untergruppe und C als die entsprechende Faktor-Gruppe haben? Dieses Problem ist in der Klassifikation von Gruppen wichtig. Siehe auch automorphism Außengruppe.

Bemerken Sie, dass in einer genauen Folge, den Karten A der Komposition f f zu 0 in A, so ist jede genaue Folge ein Kettenkomplex. Außerdem werden nur F-Images von Elementen von A zu 0 durch f kartografisch dargestellt, so ist die Homologie dieses Kettenkomplexes trivial. Mehr kurz und bündig:

:Exact-Folgen sind genau jene Kettenkomplexe, die acyclic sind.

In Anbetracht jedes Kettenkomplexes kann von seiner Homologie deshalb als ein Maß des Grads gedacht werden, zu dem er scheitert, genau zu sein.

Wenn wir eine Reihe von kurzen genauen durch Kettenkomplexe verbundenen Folgen nehmen (d. h. eine kurze genaue Folge von Kettenkomplexen, oder aus einem anderen Gesichtspunkt, einem Kettenkomplex von kurzen genauen Folgen), dann können wir darauf eine lange genaue Folge (d. h. eine genaue Folge zurückzuführen sein, die durch die natürlichen Zahlen mit einem Inhaltsverzeichnis versehen ist) auf der Homologie durch die Anwendung des zickzackförmigen Lemmas. Es kommt in der algebraischen Topologie in der Studie der Verhältnishomologie herauf; die Folge von Mayer-Vietoris ist ein anderes Beispiel. Lange genaue durch kurze genaue Folgen veranlasste Folgen sind auch für abgeleiteten functors charakteristisch.

Genaue functors sind functors, die genaue Folgen in genaue Folgen umgestalten.

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