Eine Hauptfrage in der mathematischen Theorie von Knoten besteht darin, ob Zwei-Knoten-Diagramme denselben Knoten vertreten. Ein Werkzeug, das verwendet ist, um auf solche Fragen zu antworten, ist ein Knoten-Polynom, das ein invariant des Knotens ist. Wenn zwei Diagramme verschiedene Polynome haben, vertreten sie verschiedene Knoten. Die Rückseite kann nicht wahr sein.

Strang-Beziehungen werden häufig verwendet, um eine einfache Definition von Knoten-Polynomen zu geben. Informell gibt eine Strang-Beziehung eine geradlinige Beziehung zwischen den Werten eines Knoten-Polynoms auf einer Sammlung von drei Verbindungen, die sich von einander nur in einem kleinen Gebiet unterscheiden. Für einige Knoten-Polynome, wie der Conway, Alexander und die Polynome von Jones, sind die relevanten Strang-Beziehungen genügend, um das Polynom rekursiv zu berechnen. Für andere, wie das HOMFLYPT Polynom, sind mehr komplizierte Algorithmen notwendig.

Definition

Eine Strang-Beziehung verlangt drei Verbindungsdiagramme, die außer an einer Überfahrt identisch sind. Die drei Diagramme müssen die drei Möglichkeiten ausstellen, die an dieser Überfahrt vorkommen konnten, konnte es darunter sein, es konnte zu Ende sein, oder es konnte überhaupt nicht bestehen. Verbindungsdiagramme müssen betrachtet werden, weil eine einzelne Strang-Änderung ein Diagramm davon verändern kann, einen Knoten zum Darstellen einer Verbindung und umgekehrt zu vertreten. Abhängig vom fraglichen Knoten-Polynom können die Verbindungen (oder Gewirr), in einer Strang-Beziehung erscheinend, orientiert oder unorientiert werden.

Die drei Diagramme werden wie folgt etikettiert. Drehen Sie die Diagramme, so sind die Richtungen an der fraglichen Überfahrt beide grob nördlich. Ein Diagramm wird Nordwesten über den Nordosten haben, es wird L etikettiert. Ein anderer wird Nordosten über den Nordwesten haben, es ist L. Das restliche Diagramm hat an dieser Überfahrt Mangel und wird L etikettiert.

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(Das Beschriften ist der Richtung wirklich unabhängig, insofern als es dasselbe bleibt, wenn alle Richtungen umgekehrt werden. So werden Polynome auf ungeleiteten Knoten durch diese Methode eindeutig definiert. Jedoch sind die Richtungen auf Verbindungen ein Lebensdetail, um zu behalten, weil man durch eine polynomische Berechnung wiederflucht.)

Es ist auch vernünftig, in einem generativen Sinn, durch die Einnahme eines vorhandenen Verbindungsdiagramms und "das Flicken" davon zu denken, um die anderen zwei - gerade zu machen, so lange die Flecke mit vereinbaren Richtungen angewandt werden.

Um einen Knoten (Verbindung) Polynom rekursiv zu definieren, wird eine Funktion F befestigt, und für irgendwelchen verdreifachen sich von Diagrammen und ihren Polynomen etikettiert als oben,

:

oder mehr pedantisch

: für den ganzen

(Entdeckung eines F, der Polynome erzeugt, die der Folgen von in einem recursion verwendeten Überfahrten unabhängig sind, ist keine triviale Übung.)

Mehr formell kann von einer Strang-Beziehung als das Definieren des Kerns einer Quotient-Karte von der planaren Algebra des Gewirrs gedacht werden. Solch eine Karte entspricht einem Knoten-Polynom, wenn alle geschlossenen Diagramme in ein (polynomisches) Vielfache des Images des leeren Diagramms gebracht werden.

Beispiel

Einmal am Anfang der 1960er Jahre hat Conway gezeigt, wie man das Polynom von Alexander das Verwenden von Strang-Beziehungen schätzt. Da es rekursiv ist, ist es nicht ganz so direkt wie die ursprüngliche Matrixmethode von Alexander; andererseits werden Teile der geleisteten Arbeit für einen Knoten für andere gelten. Insbesondere das Netz von Diagrammen ist dasselbe für alle Strang-zusammenhängenden Polynome.

Lassen Sie Funktion P von Verbindungsdiagrammen bis Reihe von Laurent in, sein

solch, dass und eine dreifache von der Strang-Beziehung Diagramme die Gleichung befriedigt

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Dann stellt P einen Knoten zu einem seiner Polynome von Alexander kartografisch dar.

In diesem Beispiel berechnen wir das Polynom von Alexander des Fingerkraut-Knotens , des Wechselknotens mit fünf Überfahrten in seinem minimalen Diagramm. In jeder Bühne stellen wir eine Beziehung aus, die eine kompliziertere Verbindung und zwei einfachere Diagramme einschließt. Bemerken Sie, dass die kompliziertere Verbindung rechts in jedem Schritt unten außer dem letzten ist. Für die Bequemlichkeit, lassen Sie =

x−x.

Um zu beginnen, schaffen wir zwei neue Diagramme, indem wir eine der Überfahrten des Fingerkrauts (hervorgehoben im Gelb) so flicken

:P = × P + P

Das erste Diagramm ist wirklich ein Klee; das zweite Diagramm ist zwei knüpft mit vier Überfahrten los. Das Flicken des letzten

:P = × P + P

gibt wieder, ein Klee, und zwei knüpft mit zwei Überfahrten (die Verbindung von Hopf http://mathworld.wolfram.com/HopfLink.html) los. Das Flicken des Klees

:P = × P + P

gibt das Losknüpfen und, wieder, die Verbindung von Hopf. Das Flicken von Hopf verbindet

:P = × P + P

gibt eine Verbindung mit 0 Überfahrten (ketten los) und ein Losknüpfen. Das Losketten nimmt ein wenig Verstohlenkeit:

:P = × P + P

Wir haben jetzt genug Beziehungen, um die Polynome aller Verbindungen zu schätzen, auf die wir gestoßen sind, und die obengenannten Gleichungen in umgekehrter Reihenfolge verwenden können, um bis zum Fingerkraut-Knoten selbst zu arbeiten:

</Tisch>

So ist das Polynom von Alexander für ein Fingerkraut P (x) = x-x +1-x +x.

Nützliche Formeln:

:A = (1 &minus; x)/x

:A = (1 &minus; 2x + x)/x

:A = (1 &minus; x)/x = (1 &minus; 3x + 3x &minus; x)/x

:A = (1 &minus; x)/x = (1 &minus; 4x + 6x &minus; 4x + x)/x

• Amerikanische mathematische Gesellschaft, Knoten und ihre Polynome, Eigenschaft-Säule.

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