Eine M, n, K-Spiel' ist ein abstraktes Brettspiel, in dem sich zwei Spieler im Stellen eines Steins ihrer Farbe auf m×n Ausschuss, der Sieger abwechseln, der der Spieler ist, der zuerst k Steine ihrer eigenen Farbe hintereinander, horizontal, vertikal, oder diagonal bekommt. So ist tic-tac-toe der 3,3,3-Spiele-, und Freistil ist gomoku der 19,19,5-Spiele-. M, n, wird K-Spiel auch einen k hintereinander' Spiel auf m×n Ausschuss genannt.

M, n, sind K-Spiele hauptsächlich vom mathematischen Interesse. Man bemüht sich, den spieltheoretischen Wert zu finden, der das Ergebnis des Spiels mit dem vollkommenen Spiel ist. Das ist als das Lösen des Spiels bekannt.

Strategie, Argument stehlend

Eine Standardstrategie, Argument von der kombinatorischen Spieltheorie stehlend, zeigt, dass in keiner M, n, K-Spiel dort eine Strategie sein kann, die versichert, dass der zweite Spieler (ein zweiter Spieler gewinnen wird, der Strategie gewinnt). Das ist, weil ein Extrastein, der jedem Spieler in jeder Position gegeben ist, nur die Chancen dieses Spielers verbessern kann. Die Strategie, Argument stehlend, nimmt an, dass der zweite Spieler eine Gewinnen-Strategie hat und eine Gewinnen-Strategie für den ersten Spieler demonstriert. Der erste Spieler macht eine willkürliche Bewegung zunächst. Danach gibt er oder sie vor, dass er oder sie der zweite Spieler ist und die gewinnende Strategie des zweiten Spielers annimmt. Er oder sie kann das tun, so lange die Strategie nach dem Stellen eines Steins auf dem 'willkürlichen' Quadrat nicht verlangt, das bereits besetzt wird. Wenn das aber geschieht, kann er oder sie wieder eine willkürliche Bewegung spielen und wie zuvor mit der gewinnenden Strategie des zweiten Spielers weitermachen. Da ein Extrastein ihn oder sie nicht verletzen kann, ist das eine Gewinnen-Strategie für den ersten Spieler. Der Widerspruch deutet an, dass die ursprüngliche Annahme falsch ist, und der zweite Spieler keine Gewinnen-Strategie haben kann.

Dieses Argument erzählt uns nichts darüber, ob ein besonderes Spiel eine Attraktion oder ein Gewinn für den ersten Spieler ist. Außerdem gibt es keine Strategie für den ersten Spieler wirklich.

Die Verwendung von Ergebnissen zu verschiedenen Vorstandsgrößen

Wenn (M, n, k) Spiel eine Attraktion ist, ist ein kleineres Spiel (d. h. ein mit der niedrigeren M und dem n) auch eine Attraktion. Das bedeutet dass, wenn (M, n, k) Spiel ein Gewinn ist, dann muss jedes größere Spiel auch ein Gewinn sein.

Ein nützlicher Begriff ist "schwach (M, n, k) Spiel", wo k hintereinander durch den zweiten Spieler das Spiel mit einem zweiten Spieler-Gewinn nicht beendet.

Wenn schwach (M, n, k) eine Attraktion ist, dann etwas kleiner (in der M und dem n) normal und schwach (M, n, k) sind Spiele auch eine Attraktion.

Umgekehrt, wenn schwach oder normal (M, n, k) ein Gewinn ist, dann etwas größer schwach (M, n, k) ist ein Gewinn.

Bemerken Sie, dass Beweise von Attraktionsverwenden-Paarungsstrategien auch eine Attraktion für die schwache Version und so für alle kleineren Versionen beweisen.

Allgemeine Ergebnisse

Die folgenden Behauptungen beziehen sich auf den ersten Spieler, annehmend, dass beide Spieler eine optimale Strategie verwenden.

• k  9 ist eine Attraktion: Wenn k = 9 und der Ausschuss unendlich ist, kann der zweite Spieler über eine "zusammenpassende Strategie" ziehen. Eine Attraktion auf einem unendlichen Ausschuss bedeutet, dass das Spiel für immer mit dem vollkommenen Spiel weitergehen wird. Eine zusammenpassende Strategie schließt das Teilen aller Quadrate des Ausschusses in Paare auf solche Art und Weise ein, dass, indem er immer auf dem Paar des Quadrats des ersten Spielers spielt, der zweite Spieler das gesichert wird, kann der erste Spieler nicht k in einer Linie bekommen. Eine zusammenpassende Strategie auf einem unendlichen Ausschuss kann auf jeden begrenzten Ausschuss ebenso angewandt werden - wenn die Strategie-Aufrufe nach dem Bilden einer Bewegung außerhalb des Ausschusses, dann macht der zweite Spieler eine willkürliche Bewegung innerhalb des Ausschusses.
• k  8 ist eine Attraktion auf einem unendlichen Ausschuss. Es ist nicht klar, wenn diese Strategie für irgendwelche begrenzten Vorstandsgrößen gilt. Es ist nicht bekannt, ob der zweite Spieler eine Attraktion zwingen kann, wenn k 6 oder 7 auf einem unendlichen Ausschuss ist.
• k  3 und entweder k> M oder k> ist n eine Attraktion auch durch eine zusammenpassende Strategie in der Dimension, die nicht kleiner ist als k (oder trivial unmöglich zu gewinnen, wenn beide kleiner sind)
• (k, k, k) ist eine Attraktion wenn und nur wenn k  2 (zusammenpassende Strategien für k  6, spezielle Fälle sonst)

Spezifische Ergebnisse

• k = 1 und k = 2 sind triviale Gewinne, abgesehen von (1,1,2) und (2,1,2)
• k = 3 ist eine Attraktion für (3,3,3) (sieh Tic-tac-toe), oder wenn M 2003, es angedeutet wurde, ein Gewinn für die M = 9 zu sein (Sobotovych, sieh Außenverbindung W.J. Ma; nicht eine von Experten begutachtete Zeitung).
• (5,5,4) ist eine Attraktion.
• (6,5,4) ist ein Gewinn.
• (6,6,5) ist eine Attraktion.
• Die Computersuche durch L. Victor Allis hat gezeigt, dass (15,15,5) ein Gewinn sogar mit einer der einschränkenden Regeln von Gomoku ist.

Mehrdimensionale Variante

Es ist möglich, Varianten als gespielt auf einem mehrdimensionalen statt eines bidimensional Ausschusses zu betrachten.

Für den Fall von k hintereinander, wo der Ausschuss ein n-dimensional Hyperwürfel mit allen Rändern mit der Länge ist, hat k, Hales und Jewett bewiesen, dass das Spiel eine Attraktion ist, wenn k seltsam ist und k  3^n - 1, oder wenn k sogar und k  2^ (n+1) - 2 ist.

Sie vermuten, dass das Spiel eine Attraktion auch ist, wenn die Zahl der Zelle mindestens zweimal die Zahl von Linien ist, die wenn und nur wenn 2 k^n  (k + 2) ^n geschieht.

Siehe auch

• Connect6
• Gomoku
• Harary hat tictactoe verallgemeinert

Links

• W.J. Ma, Generalisationen von tic-tac-toe,