Der quadratische Lehrsatz von Lagrange, auch bekannt als die Vermutung von Bachet, stellen fest, dass jede natürliche Zahl als die Summe von vier Quadraten der ganzen Zahl vertreten werden kann

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wo die vier Zahlen ganze Zahlen sind. Für die Illustration, 3, 31 und 310 kann als die Summe von vier Quadraten wie folgt vertreten werden:

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Dieser Lehrsatz wurde von Joseph Louis Lagrange 1770 bewiesen, und entspricht dem Lehrsatz von Fermat auf Summen von zwei Quadraten.

Historische Entwicklung

Der Lehrsatz erscheint in Arithmetica von Diophantus, der in Latein durch Bachet 1621 übersetzt ist.

Adrien-Marie Legendre hat den Lehrsatz 1798 übertroffen, indem sie festgestellt hat, dass eine positive ganze Zahl als die Summe von drei Quadraten ausgedrückt werden kann, wenn, und nur wenn es nicht von der Form ist. Sein Beweis war unvollständig, eine Lücke verlassend, die später von Carl Friedrich Gauss gefüllt wurde.

Beweis mit den ganzen Zahlen von Hurwitz

Eine der Weisen, den Lehrsatz zu beweisen, verlässt sich auf Hurwitz quaternions, die das Analogon von ganzen Zahlen für quaternions sind. Hurwitz quaternions bestehen aus dem ganzen quaternions mit Bestandteilen der ganzen Zahl und dem ganzen quaternions mit Bestandteilen der halbganzen Zahl. Diese zwei Sätze können in eine einzelne Formel verbunden werden

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wo ganze Zahlen sind. So sind die quaternion Bestandteile entweder alle ganzen Zahlen oder alle halbganzen Zahlen je nachdem, ob sogar oder seltsam beziehungsweise ist. Der Satz von Hurwitz quaternions bildet einen Ring; insbesondere die Summe oder das Produkt irgendwelcher zwei Hurwitz quaternions sind ebenfalls Hurwitz quaternion.

Der verallgemeinerte Euklidische Algorithmus identifiziert den größten allgemeinen richtigen oder linken Teiler von zwei Hurwitz quaternions, wo die "Größe" des Rests durch die Norm gemessen wird. Die Norm eines quaternion ist die nichtnegative reelle Zahl

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wo der verbundene davon ist.

Seitdem quaternion Multiplikation ist assoziativ, und reelle Zahlen pendeln mit anderem quaternions, die Norm eines Produktes von quaternions kommt dem Produkt der Normen gleich:

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Der Ring von Hurwitz quaternions ist Euklidisch, seitdem für jeden quaternion mit vernünftigen Koeffizienten können wir Hurwitz quaternion so dass wählen

Da jede natürliche Zahl factored in Mächte der Blüte sein kann, hält der quadratische Lehrsatz deshalb für alle natürlichen Zahlen, wenn es für alle Primzahlen wahr ist. Es ist dafür wahr. Um das für eine sonderbare erste ganze Zahl zu zeigen, vertreten Sie es als ein quaternion und nehmen Sie an, dass es factored in zwei Hurwitz quaternions sein kann

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Die Normen dessen sind solche natürliche Zahlen dass

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Aber die Norm hat nur zwei Faktoren, beide. Deshalb, wenn es factored in Hurwitz quaternions sein kann, dann die Summe von vier Quadraten ist

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Lagrange hat bewiesen, dass jede sonderbare Blüte mindestens eine Zahl der Form teilt, wo und ganze Zahlen sind. Die letzte Zahl kann factored in Hurwitz quaternions sein:

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Wenn factored in Hurwitz quaternions nicht sein konnte, würde es eine Primzahl von Hurwitz definitionsgemäß sein. Dann, durch einzigartigen factorization, würde sich teilen müssen entweder oder einen anderen Hurwitz quaternion zu bilden. Aber für, die Zahl

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ist nicht eine ganze Zahl von Hurwitz. Deshalb, jeder kann factored in Hurwitz quaternions sein, und der quadratische Lehrsatz hält.

Generalisationen

Der quadratische Lehrsatz von Lagrange ist ein spezieller Fall von Fermat polygonaler Zahl-Lehrsatz und das Problem von Waring. Eine andere mögliche Verallgemeinerung ist das folgende Problem: In Anbetracht natürlicher Zahlen, kann wir, lösen

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für alle positiven ganzen Zahlen in ganzen Zahlen? Auf den Fall wird im positiven durch den quadratischen Lehrsatz von Lagrange geantwortet. Die allgemeine Lösung wurde von Ramanujan gegeben. Er hat dass bewiesen, wenn wir ohne Verlust der Allgemeinheit annehmen, dass dann es genau 54 mögliche Wahlen für den solchen gibt, dass das Problem in ganzen Zahlen für alle lösbar ist. (Ramanujan hat eine 55. Möglichkeit verzeichnet, aber in diesem Fall ist das Problem wenn nicht lösbar.)

Algorithmen

Michael O. Rabin und Jeffrey Shallit haben randomized polynomisch-malige Algorithmen gefunden, für eine Darstellung für eine gegebene ganze Zahl in der erwarteten Laufzeit zu schätzen.

Einzigartigkeit

Die Folge von positiven ganzen Zahlen, deren Darstellung als eine Summe von vier Quadraten einzigartig ist (bis zur Ordnung) ist:

:1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 11, 14, 15, 23, 24, 32, 56, 96, 128, 224, 384, 512, 896....

Diese ganzen Zahlen bestehen aus den sieben ungeraden Zahlen 1, 3, 5, 7, 11, 15, 23 und alle Zahlen der Form oder.

Die Folge von positiven ganzen Zahlen, die als eine Summe von vier Nichtnullquadraten nicht vertreten werden können, ist:

:1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 11, 14, 17, 24, 29, 32, 41, 56, 96, 128, 224, 384, 512, 896....

Diese ganzen Zahlen bestehen aus den acht ungeraden Zahlen 1, 3, 5, 9, 11, 17, 29, 41 und alle Zahlen der Form oder.

Siehe auch

• Die quadratische Identität von Euler
• 15 und 290 Lehrsätze
• Der quadratische Lehrsatz von Jacobi

Zeichen

Außenverbindungen

• Beweis an PlanetMath.org
• Ein anderer Beweis
• ein applet sich zersetzende Zahlen als Summen von vier Quadraten