In Anbetracht eines einfachen Vielecks, das auf einem Bratrost von gleich übergeholten Punkten (d. h., Punkten mit Koordinaten der ganzen Zahl) gebaut ist, solch, dass Scheitelpunkte ganzen Vielecks Bratrost-Punkte sind, stellt der Lehrsatz der Auswahl eine einfache Formel zur Verfügung, für das Gebiet von diesem Vieleck in Bezug auf die Nummer i von Gitter-Punkten im Interieur zu berechnen, das im Vieleck und der Nummer b von Gitter-Punkten an der auf dem Umfang des Vielecks gelegten Grenze gelegen ist:

:

Im gezeigten Beispiel haben wir mich = 7 Innenpunkte und b = 8 Grenzpunkte, so ist das Gebiet = 7 + 8/2 − 1 = 7 + 4 − 1 = 10 (Quadrateinheiten)

Bemerken Sie, dass der Lehrsatz nur wie oben angegeben für einfache Vielecke, d. h., gültig ist, die aus einem einzelnen Stück bestehen und "Löcher" nicht enthalten. Für ein Vieleck, das h Löcher, mit einer Grenze in der Form von h + 1 einfache geschlossene Kurven, die ein bisschen mehr komplizierte Formel i + b/2 + h &minus hat; 1 gibt das Gebiet.

Das Ergebnis wurde zuerst von Georg Alexander Pick 1899 beschrieben. Das Vogt-Tetraeder zeigt, dass es keine Entsprechung des Lehrsatzes von Pick in drei Dimensionen gibt, der das Volumen eines polytope durch das Zählen seiner Innen- und Grenzpunkte ausdrückt. Jedoch gibt es eine Generalisation in höheren Dimensionen über Polynome von Ehrhart. Die Formel verallgemeinert auch zu Oberflächen von Polyedern.

Beweis

Denken Sie ein Vieleck P und ein Dreieck T mit einem Rand genau wie P. Nehmen Sie an, dass der Lehrsatz der Auswahl sowohl für P als auch für T getrennt wahr ist; wir wollen zeigen, dass es auch zum Vieleck erhaltener PT durch das Hinzufügen T zu P wahr ist. Da P und T einen Rand teilen, werden alle Grenzpunkte entlang dem Rand gemeinsam zu Innenpunkten abgesehen von den zwei Endpunkten des Randes verschmolzen, die zu Grenzpunkten verschmolzen werden. Also, die Zahl von Grenzpunkten in allgemeinem c nennend, haben wir

:

und

:

Vom obengenannten folgt

:und:

Da wir den Lehrsatz für P und für T getrennt, annehmen

:

\begin {richten }\aus

A_ {PT} &= A_P + A_T \\

&= (i_P + b_P/2 - 1) + (i_T + b_T/2 - 1) \\

&= (i_P + i_T) + (b_P + b_T)/2 - 2 \\

&= i_ {PT} - (c - 2) + (b_ {PT} + 2 (c - 2) + 2)/2 - 2 \\

&= i_ {PT} + b_ {PT}/2 - 1.

\end {richten }\aus</Mathematik>

Deshalb, wenn der Lehrsatz für von n Dreiecken gebaute Vielecke wahr ist, ist der Lehrsatz auch für Vielecke wahr, die von n + 1 Dreiecke gebaut sind. Für allgemeinen polytopes ist es weithin bekannt, dass sie immer trianguliert werden können. Dass das in der Dimension 2 wahr ist, ist eine leichte Tatsache.

Um den Beweis durch die mathematische Induktion zu beenden, muss es zu zeigen, dass der Lehrsatz für Dreiecke wahr ist. Die Überprüfung für diesen Fall kann in diesen kurzen Schritten getan werden:

• bemerken Sie, dass die Formel für jedes Einheitsquadrat (mit Scheitelpunkten hält, die Koordinaten der ganzen Zahl haben);
• leiten Sie davon ab, dass die Formel für jedes Rechteck mit der Seitenparallele zu den Äxten richtig ist;
• leiten Sie es jetzt für rechtwinklige erhaltene Dreiecke ab, indem Sie solche Rechtecke entlang einer Diagonale schneiden;
• jetzt kann jedes Dreieck in ein Rechteck durch die Befestigung solcher rechtwinkligen Dreiecke verwandelt werden; da die Formel für die rechtwinkligen Dreiecke und für das Rechteck richtig ist, folgt sie auch für das ursprüngliche Dreieck.

Der letzte Schritt verwendet die Tatsache dass, wenn der Lehrsatz für das Vieleck PT und für das Dreieck T wahr ist, dann ist es auch für P wahr; das kann durch eine Berechnung gesehen werden, die sehr viel ein gezeigter oben ähnlich ist.

Siehe auch

• Ganze Zahl weist in konvexen Polyedern hin

Links

• Der Lehrsatz der Auswahl (Java) an der Knoten-Kürzung
• Der Lehrsatz der Auswahl
• Der Lehrsatz-Beweis der Auswahl durch Tom Davis
• Der Lehrsatz der Auswahl durch Ed Pegg den Jüngeren. das Wolfram-Demonstrationsprojekt.