In der Mathematik, besonders in der Ordnungstheorie, ist der cofinality vgl (A) eines teilweise bestellten Satzes A meist der cardinalities der cofinal Teilmengen von A.

Diese Definition von cofinality verlässt sich auf das Axiom der Wahl, weil es die Tatsache verwendet, dass jeder nichtleere Satz von Grundzahlen kleinstes Mitglied hat. Der cofinality eines teilweise bestellten Satzes A kann als der solcher am wenigsten Ordnungsx wechselweise definiert werden, dass es eine Funktion von x bis mit dem cofinal Image gibt. Diese zweite Definition hat Sinn ohne das Axiom der Wahl. Wenn das Axiom der Wahl angenommen wird, wie im Rest dieses Artikels der Fall sein wird, dann sind die zwei Definitionen gleichwertig.

Cofinality kann für einen geleiteten Satz ähnlich definiert werden und wird verwendet, um den Begriff einer Subfolge in einem Netz zu verallgemeinern.

Beispiele

• Der cofinality eines teilweise bestellten Satzes mit dem größten Element ist 1, wie der Satz, der nur aus dem größten Element besteht, cofinal ist (und in jeder anderen cofinal Teilmenge enthalten werden muss).
• Insbesondere der cofinality jeder begrenzten Nichtnullordnungszahl, oder tatsächlich jedes begrenzten geleiteten Satzes, ist 1, da solche Sätze ein größtes Element haben.
• Jede cofinal Teilmenge eines teilweise bestellten Satzes muss alle maximalen Elemente dieses Satzes enthalten. So ist der cofinality eines begrenzten teilweise bestellten Satzes der Zahl seiner maximalen Elemente gleich.
• Insbesondere lassen Sie A eine Reihe der Größe n sein, und den Satz von Teilmengen von A zu denken, der nicht mehr als M Elemente enthält. Das wird unter der Einschließung teilweise bestellt, und die Teilmengen mit der M Elemente sind maximal. So ist der cofinality dieses poset n wählen M.
• Eine Teilmenge der natürlichen Zahlen N ist cofinal in N, wenn, und nur wenn es, und deshalb unendlich ist, der cofinality ist. So ist ein regelmäßiger Kardinal.
• Der cofinality der reellen Zahlen mit ihrer üblichen Einrichtung ist, da N cofinal in R ist. Die übliche Einrichtung von R ist nicht bestellen isomorph zu c, dem cardinality der reellen Zahlen, der cofinality hat, der ausschließlich größer ist als. Das demonstriert, dass der cofinality von der Ordnung abhängt; verschiedene Ordnungen auf demselben Satz können verschiedenen cofinality haben.

Eigenschaften

Wenn A eine völlig bestellte cofinal Teilmenge zulässt, dann können wir eine Teilmenge B finden, der gut bestellt wird und cofinal in A. Jede Teilmenge von B wird auch gut bestellt. Wenn zwei cofinal Teilmengen von B minimalen cardinality haben (d. h. ihr cardinality der cofinality von B ist), dann sind sie zu einander isomorphe Ordnung.

Cofinality von Ordnungszahlen und anderen gut bestellten Sätzen

Der cofinality einer Ordnungszahl ist die kleinste Ordnungszahl, die der Ordnungstyp einer cofinal Teilmenge dessen ist. Der cofinality von einer Reihe von Ordnungszahlen oder jedem anderen gut bestellten Satz ist der cofinality des Ordnungstyps dieses Satzes.

So für eine Grenze Ordnungs-, dort besteht - mit einem Inhaltsverzeichnis versehene ausschließlich zunehmende Folge mit der Grenze. Zum Beispiel ist der cofinality von ω ² ω, weil die Folge ω\· M (wo M Reihen über die natürlichen Zahlen) neigt zu ω ²; aber, mehr allgemein, hat jede zählbare Ordnungs-Grenze cofinality ω. Eine unzählbare Ordnungs-Grenze kann entweder cofinality ω haben, wie tut oder ein unzählbarer cofinality.

Der cofinality 0 ist 0. Der cofinality jedes Ordnungs-Nachfolgers ist 1. Der cofinality jeder Ordnungs-Grenze ist mindestens.

Regelmäßige und einzigartige Ordnungszahlen

Eine regelmäßige Ordnungszahl ist eine Ordnungszahl, die seinem cofinality gleich ist. Eine einzigartige Ordnungszahl ist jede Ordnungszahl, die nicht regelmäßig ist.

Jede regelmäßige Ordnungszahl ist die anfängliche Ordnungszahl eines Kardinals. Jede Grenze von regelmäßigen Ordnungszahlen ist eine Grenze von anfänglichen Ordnungszahlen und ist auch so anfänglich, aber braucht nicht regelmäßig zu sein. Wenn man das Axiom der Wahl annimmt, ist für jeden α regelmäßig. In diesem Fall sind die Ordnungszahlen 0, 1, und regelmäßig, wohingegen 2, 3, und ω anfängliche Ordnungszahlen sind, die nicht regelmäßig sind.

Der cofinality jedes Ordnungs-α ist eine regelmäßige Ordnungszahl, d. h. der cofinality des cofinality von α ist dasselbe als der cofinality von α. So ist die cofinality Operation idempotent.

Cofinality von Kardinälen

Wenn κ eine unendliche Grundzahl ist, dann vgl ist (κ) das am wenigsten grundsätzliche solches, dass es eine unbegrenzte Funktion davon bis κ gibt; und vgl (κ) = der cardinality der kleinsten Sammlung von Sätzen ausschließlich kleinerer solcher Kardinäle, dass ihre Summe κ ist; genauer

Dass der Satz oben nichtleer ist, kommt aus der Tatsache das

d. h. die zusammenhanglose Vereinigung von κ Singleton-Sätzen. Das deutet sofort dass vgl (κ)  κ an.

Der cofinality jedes völlig bestellten Satzes ist regelmäßig, so hat man vgl (κ) = vgl (vgl (κ)).

Mit dem Lehrsatz von König kann man κ und κ beweisen) für jeden unendlichen grundsätzlichen κ.

Die letzte Ungleichheit deutet an, dass der cofinality des cardinality des Kontinuums unzählbar sein muss. Andererseits,

die Ordinalzahl ω die erste unendliche Ordnungszahl zu sein, so dass der cofinality dessen Karte (ω) = ist. (Insbesondere ist einzigartig.) Deshalb,

(Vergleichen Sie sich mit der Kontinuum-Hypothese, die festsetzt.)

Dieses Argument verallgemeinernd, kann man das für eine Grenze Ordnungs-δ\beweisen

Siehe auch

• Anfänglicher Ordnungs-
• Jech, Thomas, 2003. Mengenlehre: Die Dritte Millennium-Ausgabe, Revidiert und Ausgebreitet. Springer. Internationale Standardbuchnummer 3-540-44085-2.
• Kunen, Kenneth, 1980. Mengenlehre: Eine Einführung in Unabhängigkeitsbeweise. Elsevier. Internationale Standardbuchnummer 0-444-86839-9.