Quadratische Programmierung (QP) ist ein spezieller Typ des mathematischen Optimierungsproblems. Es ist das Problem, (Minderung oder Maximierung) eine quadratische Funktion von mehrerem Variable-Thema geradlinigen Einschränkungen auf diese Variablen zu optimieren.

Problem-Formulierung

Das quadratische Programmierproblem kann als formuliert werden:

Nehmen Sie an, dass x dem Raum gehört. Sowohl x als auch c sind Spaltenvektoren mit n Elementen (n×1 matrices), und Q ist ein symmetrischer n×n Matrix.

Minimieren Sie (in Bezug auf x)

:

Thema einer oder mehr Einschränkungen der Form:

: (Ungleichheitseinschränkung)

: (Gleichheitseinschränkung)

wo anzeigt, dass der Vektor davon umstellt. Die Notation bedeutet, dass jeder Zugang des Vektoren weniger ist als oder gleich dem entsprechenden Zugang des Vektoren.

Wenn die Matrix positive halbbestimmte Matrix ist, dann eine konvexe Funktion ist: In diesem Fall hat das quadratische Programm einen globalen minimizer, wenn dort ein ausführbarer Vektor besteht (die Einschränkungen befriedigend), und wenn unten auf dem ausführbaren Gebiet begrenzt wird. Wenn die Matrix bestimmt positiv ist und das Problem eine mögliche Lösung hat, dann ist der globale minimizer einzigartig.

Wenn Null ist, dann wird das Problem ein geradliniges Programm.

Ein zusammenhängendes Programmierproblem, quadratisch beschränkte quadratische Programmierung, kann durch das Hinzufügen quadratischer Einschränkungen auf die Variablen aufgeworfen werden.

Lösungsmethoden

Für allgemeine Probleme eine Vielfalt von Methoden werden einschließlich allgemein verwendet

:*interior-Punkt,

:*active, gehen unter

:*augmented Lagrangian,

:*conjugate-Anstieg,

:*gradient-Vorsprung,

:*extensions des Simplexalgorithmus.

Konvexe quadratische Programmierung ist ein spezieller Fall des allgemeineren Feldes der konvexen Optimierung.

Gleichheitseinschränkungen

Quadratische Programmierung ist besonders einfach, wenn es nur Gleichheitseinschränkungen gibt; spezifisch ist das Problem geradlinig. Durch das Verwenden von Vermehrern von Lagrange und das Suchen des extremum von Lagrangian kann es sogleich gezeigt werden, dass die Lösung des beschränkten Problems der Gleichheit durch das geradlinige System gegeben wird:

:

\begin {bmatrix }\

Q & E^T \\

E & 0

\end {bmatrix}

\begin {bmatrix }\

\mathbf x \\

\lambda

\end {bmatrix }\

\begin {bmatrix }\

- \mathbf c \\

\mathbf d

\end {bmatrix }\</Mathematik>

wo eine Reihe von Vermehrern von Lagrange ist, die aus der Lösung neben kommen.

Das leichteste Mittel, sich diesem System zu nähern, ist direkte Lösung (zum Beispiel, LU factorization), der für kleine Probleme sehr praktisch ist. Für große Probleme stellt das System einige ungewöhnliche Schwierigkeiten auf, am meisten namentlich dieses Problem ist bestimmt nie positiv (selbst wenn ist), es potenziell sehr schwierig machend, eine gute numerische Annäherung zu finden, und es viele Annäherungen gibt, um vom Abhängigen auf dem Problem zu wählen.

Wenn die Einschränkungen die Variablen zu dicht nicht verbinden, soll ein relativ einfacher Angriff die Variablen ändern, so dass Einschränkungen unbedingt zufrieden sind. Denken Sie zum Beispiel (zur Nichtnull verallgemeinernd ist aufrichtig). Das Schauen an den Einschränkungsgleichungen:

:

führen Sie eine neue durch definierte Variable ein

:

wo Dimension minus die Zahl von Einschränkungen hat. Dann

:

und wenn gewählt wird, so dass die Einschränkungsgleichung immer zufrieden sein wird. Entdeckung solcher hat Entdeckung des ungültigen Raums dessen zur Folge, der abhängig von der Struktur dessen mehr oder weniger einfach ist. Das Ersetzen in die quadratische Form gibt ein zwangloses Minimierungsproblem:

:

\tfrac {1} {2} \mathbf {x} ^T Q\mathbf {x} + \mathbf {c} ^T \mathbf {x} \quad \Rightarrow \quad

\tfrac {1} {2} \mathbf {y} ^T Z^T Q Z \mathbf {y} + (Z^T \mathbf {c}) ^T \mathbf {y }\

</Mathematik>

dessen durch Lösung gegeben wird:

:

Z^T Q Z \mathbf {y} =-z^t \mathbf {c }\

</Mathematik>

Unter bestimmten Bedingungen auf wird die reduzierte Matrix bestimmt sein positiv. Es ist möglich, eine Schwankung über die verbundene Anstieg-Methode zu schreiben, die die ausführliche Berechnung dessen vermeidet.

Dualität von Lagrangian

Der Lagrangian Doppel-von einem QP ist auch ein QP. Zu sehen, dass uns uns auf den Fall konzentrieren lassen, wo und Q bestimmt positiv ist. Wir schreiben die Funktion von Lagrangian als

:

Die (Lagrangian) Doppelfunktion, definiert als definierend, finden wir einen infimum, mit

folglich ist die Doppelfunktion

:

folglich ist des QP Doppel-Lagrangian

maximieren Sie:

Thema:.

Außer der Dualitätstheorie von Lagrangian gibt es andere Dualitätspaarung (z.B Wolfe, usw.).

Kompliziertheit

Für positiven bestimmten Q behebt die Ellipsoid-Methode das Problem in der polynomischen Zeit. Wenn, andererseits, Q unbestimmt ist, dann ist das Problem NP-hard. Tatsächlich, selbst wenn Q nur einen negativen eigenvalue hat, ist das Problem NP-hard.

Solvers und scripting (Programmierung) von Sprachen

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Andere Freie Lizenzen der offenen Quelle:

Eigentums-:

Siehe auch

• Unterstützungsvektor-Maschine
• Folgende quadratische Programmierung
• Quadratisch beschränkte quadratische Programmierung

Referenzen

Bibliografie

• A6: MP2, pg.245.

• (Verfügbar für das Download an der Website von Professor Katta G. Murty.)

Links

• Eine Seite über QP
• NEOS führen zu QP