In der geradlinigen Algebra ist eine positiv-bestimmte Matrix eine Matrix, die auf viele Weisen einer positiven reellen Zahl analog ist. Der Begriff ist nah mit einer positiv-bestimmten symmetrischen bilinearen Form (oder einer Sesquilinear-Form im komplizierten Fall) verbunden.

Die richtige Definition von positiv-bestimmten ist für Hermitian matrices eindeutig, aber es gibt keine Abmachung in der Literatur darauf, wie das für non-Hermitian matrices, wenn überhaupt erweitert werden sollte. (Sieh die Abteilung Non-Hermitian matrices unten.)

Definition

Eine echte MatrixM ist bestimmt positiv, wenn zMz> 0 für alle Nichtnullvektoren z mit echten Einträgen , wo z das Umstellen von z anzeigt.

Eine komplizierte MatrixM ist bestimmt positiv, wenn  (zMz)> 0 für alle komplizierten Nichtnullvektoren z, wo z das verbundene anzeigt, von z umstellen und  (c) der echte Teil einer komplexen Zahl c ist.

Eine komplizierte Matrix von Hermitian M ist bestimmt wenn zMz> 0 für alle komplizierten Nichtnullvektoren z positiv. Die Menge zMz ist immer echt, weil M eine Matrix von Hermitian ist.

Beispiele

• Die nichtnegative Matrix ist bestimmt positiv. Für einen Vektoren mit Einträgen ist die quadratische Form

wenn die Einträge z, z echt sind und mindestens ein von ihnen Nichtnull, ist das positiv.

• Eine Matrix, in der einige Elemente negativ sind, kann noch positiv-bestimmt sein. Ein Beispiel wird durch angeführt

:

Es ist bestimmt seitdem für jeden Nichtnullvektoren, positiv

wir haben

:

x^ {\\mathrm T\M_1 x

&= \begin {bmatrix} x_1&x_2&x_3 \end {bmatrix} \begin {bmatrix} 2&-1&0 \\-1&2&-1 \\0&-1&2 \end {bmatrix} \begin {bmatrix} x_1 \\x_2 \\x_3 \end {bmatrix} \\

&= \begin {bmatrix} (2x_1-x_2) & (-x_1+2x_2-x_3) & (-x_2+2x_3) \end {bmatrix} \begin {bmatrix} x_1 \\x_2 \\x_3 \end {bmatrix} \\

&= 2 {x_1} ^2 - 2x_1x_2 + 2 {x_2} ^2 - 2x_2x_3 + 2 {x_3} ^2 \\

&= {x_1} ^2 + (x_1 - x_2) ^ {2} + (x_2 - x_3) ^ {2} + {x_3} ^2

\end {richten} </Mathematik> {aus}

der eine Summe von Quadraten und deshalb nichtnegativ ist; tatsächlich, jeder quadratisch gemachter summand kann Null nur sein, wenn, ist tatsächlich positiv-bestimmt auch.

• Umgekehrt ist die positive Matrix bestimmt nicht positiv, sich zeigend (zusammen mit dem vorherigen Beispiel), dass diese zwei Eigenschaften unabhängig sind. Bewertet an ist die quadratische Form
• Für eine riesige Klasse von Beispielen, denken Sie, dass in der Statistik positive bestimmte matrices als Kovarianz matrices erscheinen. Tatsächlich ist jede positive bestimmte Matrix die Kovarianz-Matrix von etwas multivariate Wahrscheinlichkeitsvertrieb.

Charakterisierungen

Lassen Sie M ein n &times sein; n Matrix von Hermitian. Die folgenden Eigenschaften sind zur M gleichwertig positiv bestimmt zu sein:

Für echten symmetrischen matrices können diese Eigenschaften durch das Ersetzen durch vereinfacht werden, und "verbunden stellen" damit um "stellen um".

Quadratische Formen

Bedingung 2 oben zurückwerfend, kann man auch positive Bestimmtheit in Bezug auf quadratische Formen formulieren. Lassen Sie K Feld R oder C, und V sein, ein Vektorraum über K sein. Ein Hermitian bildet

:

ist eine bilineare solche Karte, dass B (x, y) immer der Komplex ist, der von B (y, x) verbunden ist. Solch eine Funktion B wird positiv bestimmt wenn B (x, x)> 0 für jede Nichtnull x in V genannt.

Gleichzeitiger diagonalization

Zwei symmetrische, positiv-bestimmte matrices können gleichzeitig diagonalized, obwohl nicht notwendigerweise über eine Ähnlichkeitstransformation sein. Dieses Ergebnis streckt sich bis zu den Fall von drei oder mehr nicht aus

matrices. In dieser Abteilung schreiben wir für den echten Fall, die Erweiterung auf den komplizierten Fall ist unmittelbar.

Lassen Sie und seien Sie zwei positiv-bestimmte matrices. Schreiben Sie die verallgemeinerte eigenvalue Gleichung als

wo. Jetzt können wir das Gegenteil als zersetzen

(so muss bestimmt sein positiv, weil sich der Beweis zeigt, tatsächlich ist es genug, der symmetrisch ist). Multiplizieren Sie jetzt verschiedene Plätze mit, zu bekommen

den wir als umschreiben können

wo. Manipulation trägt jetzt wo

ist eine Matrix, die als Säulen die verallgemeinerten Eigenvektoren hat, und ist eine Diagonalmatrix mit dem

verallgemeinerter eigenvalues. Jetzt gibt Vormultiplikation damit das Endresultat:

und,

aber bemerken Sie, dass das nicht mehr ein orthogonaler diagonalization ist.

Bemerken Sie, dass dieses Ergebnis nicht widerspricht, was auf gleichzeitigem diagonalization im Artikel gesagt wird

Matrix von Diagonalizable, die sich auf gleichzeitigen diagonalization durch eine Ähnlichkeitstransformation bezieht. Unser Ergebnis hier ist mit einem gleichzeitigen diagonalization von zwei verwandter

quadratische Formen, und sind für die Optimierung einer Form unter Bedingungen auf dem anderen nützlich. Weil dieses Ergebnis Horn&Johnson, 1985, Seite 218 und im Anschluss an sieht.

Negativ-bestimmter, halbbestimmter und unbestimmter matrices

Eine Hermitian Matrix ist negativ-bestimmt, negativ-halbbestimmt, oder positiv-halbbestimmt, wenn, und nur wenn alle seine eigenvalues negativ, nichtpositiv, oder beziehungsweise nichtnegativ sind.

Negativ-bestimmt

Wie man

sagt, ist die Hermitian MatrixM wenn negativ-bestimmt

:

für die ganze Nichtnull (oder, die ganze Nichtnull für die echte Matrix).

Eine Matrix ist bestimmt negativ, wenn die ganze Kth-Ordnung Haupthauptminderjährige sind negativ, wenn k seltsam und positiv ist, wenn k gleich ist.

Positiv-halbbestimmt

Es wird positiv-halbbestimmt (oder manchmal nichtnegativ-bestimmt) wenn genannt

:

für alle (oder, alle für die echte Matrix), wo das verbundene ist, stellen davon um.

Eine MatrixM ist positiv-halbbestimmt, wenn, und nur wenn sie als die Gramm-Matrix von einem Satz von Vektoren entsteht. Im Gegensatz zum positiv-bestimmten Fall brauchen diese Vektoren nicht linear unabhängig zu sein.

Für jede Matrix A ist der Matrix-AA halbbestimmt, und Reihe (A) = Reihe (AA) positiv. Umgekehrt kann jeder Hermitian positive halbbestimmte MatrixM als M = AA geschrieben werden; das ist die Zergliederung von Cholesky.

Negativ-halbbestimmt

Es wird negativ-halbbestimmt wenn genannt

:

für alle (oder, alle für die echte Matrix).

Unbestimmt

Eine Hermitian Matrix, die weder positiv bestimmt, negativ bestimmt, positiv-halbbestimmt, noch negativ-halbbestimmt ist, wird unbestimmt genannt. Unbestimmte matricies werden auch dadurch charakterisiert, dass sie sowohl positiver als auch negativer eigenvalues haben.

Weitere Eigenschaften

Wenn M Hermitian positiv-halbbestimmte Matrix ist, schreibt man manchmal M  0, und wenn M positiv-bestimmte ist, schreibt M> 0. Der Begriff kommt aus der Funktionsanalyse, wo positiv-halbbestimmt, matrices definieren positive Maschinenbediener.

Für das willkürliche Quadrat matrices M N schreiben wir M  N wenn M &minus; N  0; d. h., M &minus; N ist halbbestimmt positiv. Das definiert eine teilweise Einrichtung auf dem Satz des ganzen Quadrats matrices. Man kann eine strenge teilweise Einrichtung M> N ähnlich definieren.

Wenn M und N bestimmt positiv sind, dann ist die Summe M + N und die Produkte MNM und NMN bestimmt auch positiv. Wenn MN = NM, dann ist MN bestimmt auch positiv.

:

: und so

::

\sum_ {j\neq 0} |m (j) |

dann ist bestimmt ausschließlich positiv.

:

</ol>

Block matrices

Ein positiver 2n × 2n Matrix kann auch durch Blöcke definiert werden:

:

Wo jeder Block n × n ist. Durch die Verwendung der positivity Bedingung folgt es sofort dem A und D sind hermitian und C = B*.

Wir haben das zMz  0 für den ganzen Komplex z, und insbesondere für z = (v, 0). Dann

:

Ein ähnliches Argument kann auf D angewandt werden, und so beschließen wir, dass sowohl A als auch D positiver bestimmter matrices ebenso sein müssen.

Non-Hermitian matrices

Eine echte MatrixM kann das Eigentum dass xMx> 0 für alle echten Nichtnullvektoren x haben, ohne symmetrisch zu sein. Die Matrix

:

befriedigt dieses Eigentum, weil für alle echten solche Vektoren dass,

:

Im Allgemeinen haben wir xMx> 0 für alle echten Nichtnullvektoren x, wenn, und nur wenn der symmetrische Teil, (M + M) / 2, bestimmt positiv ist.

Die Situation für den Komplex matrices kann je nachdem verschieden sein, wie man die Ungleichheit zMz> 0 verallgemeinert, wenn man M denkt, die nicht notwendigerweise Hermitian sind. Wenn zMz für alle komplizierten Vektoren z echt ist, dann muss die MatrixM Hermitian sein. Um das zu sehen, definieren wir Hermitian matrices = (M+M)/2 und B = (M-M) / (2i) so dass M=A+iB. Dann ist zMz=zAz+izBz echt. Durch Hermiticity von A und B sind zAz und zBz individuell echt, so muss zBz Null für den ganzen z sein. So dann ist B die Nullmatrix und der M=A, der Hermitian ist.

Also, wenn wir verlangen, dass zMz echt und dann positiv sind, ist M automatisch Hermitian. Andererseits haben wir diesen Re (zMz)> 0 für alle komplizierten Nichtnullvektoren z, wenn, und nur wenn der Teil von Hermitian, (M + M) / 2, bestimmt positiv ist.

In der Zusammenfassung ist das Unterscheidungsmerkmal zwischen dem echten und komplizierten Fall, dass ein begrenzter positiver Maschinenbediener auf einem komplizierten Raum von Hilbert notwendigerweise Hermitian, oder selbst adjoint ist. Der allgemeine Anspruch kann mit der Polarisationsidentität diskutiert werden. Das ist im echten Fall nicht mehr wahr.

Es gibt keine Abmachung in der Literatur auf der richtigen Definition von positiv-bestimmten für non-Hermitian matrices.

Siehe auch

• Zergliederung von Cholesky
• Positiv-bestimmte Funktion
• Positiver bestimmter Kern
• Ergänzung von Schur
• Quadratwurzel einer Matrix
• Das Kriterium von Sylvester
• Kovarianz-Matrix

Zeichen

.

• Rajendra Bhatia. Positiver bestimmter matrices. Reihe von Princeton in der Angewandten Mathematik, 2007. Internationale Standardbuchnummer 978-0-691-12918-1.

Außenverbindungen

• Wolfram MathWold: Positive bestimmte Matrix