In der geradlinigen Algebra ist der ungültige oder Kernraum (auch nullspace) einer Matrix A der Satz aller Vektoren x für der Axt = 0. Der Kern einer Matrix mit n Säulen ist ein geradliniger Subraum des n-dimensional Euklidischen Raums. Die Dimension des ungültigen Raums von A wird die Ungültigkeit von A genannt.

Wenn angesehen, als eine geradlinige Transformation ist der ungültige Raum einer Matrix genau der Kern, kartografisch darzustellen (d. h. der Satz von Vektoren, die zur Null kartografisch darstellen). Deshalb wird der Kern einer geradlinigen Transformation zwischen abstrakten Vektorräumen manchmal den ungültigen Raum der Transformation genannt.

Definition

Der Kern einer M × n Matrix ist A der Satz

:

wo 0 den Nullvektoren mit der M Bestandteile anzeigt. Die Matrixgleichungsaxt = 0 ist zu einem homogenen System von geradlinigen Gleichungen gleichwertig:

:

a_ {11} x_1 && \; + \;&& a_ {12} x_2 && \; + \cdots + \;&& a_ {1n} x_n && \; = 0& \\

a_ {21} x_1 && \; + \;&& a_ {22} x_2 && \; + \cdots + \;&& a_ {2n} x_n && \; = 0& \\

\vdots \; \; \; && && \vdots \; \; \; && && \vdots \; \; \; && \vdots\,& \\

a_ {m1} x_1 && \; + \;&& a_ {m2} x_2 && \; + \cdots + \;&& a_ {mn} x_n && \; = 0.

&

\end {alignat} </Mathematik>

Aus diesem Gesichtspunkt ist der ungültige Raum von A dasselbe als der Lösungssatz zum homogenen System.

Beispiel

Denken Sie die Matrix

:

Der ungültige Raum dieser Matrix besteht aus allen Vektoren (x, y, z)  R für der

:

Das kann als ein homogenes System von geradlinigen Gleichungen geschrieben werden, die x, y, und z einschließen:

:

2x && \; + \;&& 3y && \; + \;&& 5z && \; = \;&& 0, \\

- 4x && \; + \;&& 2y && \; + \;&& 3z && \; = \;&& 0. \\

\end {alignat} </Mathematik>

Das kann in der Matrixform als geschrieben werden:

:

\left [\begin {Reihe} {ccc|c }\

2 & 3 & 5 & 0 \\

- 4 & 2 & 3 & 0

\end {ordnen }\\Recht].

</Mathematik>

Mit der Verminderung von Gauss-Jordan nimmt das ab zu:

: \left [\begin {Reihe} {ccc|c }\

1 & 0 & 1/16 & 0 \\

0 & 1 & 13/8 & 0

\end {ordnen }\\Recht].</Mathematik>

Das Neuschreiben von Erträgen:

:

x = \;&&-\frac {1} {16} z \, \, \, \\

y = \;&&-\frac {13} 8z.

\end {alignat} </Mathematik>

Jetzt können wir den ungültigen Raum (Lösung der Axt = 0) in Bezug auf c schreiben, wo c Skalar ist:

:

Da c eine freie Variable ist, kann das zu vereinfacht werden

:

\begin {bmatrix }\

x\\

y \\

z

\end {bmatrix} = c\begin {bmatrix }\

- 1 \\

- 26 \\

16

\end {bmatrix}.

</Mathematik>

Der ungültige Raum von A ist genau der Satz von Lösungen dieser Gleichungen (in diesem Fall, eine Linie durch den Ursprung in R).

Subraumeigenschaften

Der ungültige Raum einer M &times; n Matrix ist ein Subraum von R. D. h. der Satz Ungültig (A) hat die folgenden drei Eigenschaften:

1. Ungültig (A) enthält immer den Nullvektoren, seit A0 = 0.
2. Wenn x  Ungültig (A) und y  Ungültig (A), dann x + y  Ungültig (A). Das folgt aus dem distributivity der Matrixmultiplikation über die Hinzufügung.
3. Wenn x  Ungültig (A) und c ein Skalar, dann c x  Ungültig (A), seitdem (cA) x = c (Axt) ist.

Basis

Der ungültige Raum einer Matrix wird durch elementare Reihe-Operationen nicht betroffen. Das macht es möglich, die Reihe-Verminderung zu verwenden, um eine Basis für den ungültigen Raum zu finden:

:Input Eine M &times; n Matrix A.

:Output Eine Basis für den ungültigen Raum Eines

:# Gebrauch elementare Reihe-Operationen, Um in der reduzierten Reihe-Staffelstellungsform zu stellen.

:# Interpretation der reduzierten Reihe-Staffelstellungsform als ein homogenes geradliniges System, bestimmen Sie, welche von den Variablen x, x..., x frei sind. Schreiben Sie Gleichungen für die abhängigen Variablen in Bezug auf die freien Variablen.

:# Für jede freie Variable x, wählen Sie den Vektoren im ungültigen Raum, für den x = 1 und die restlichen freien Variablen Null sind. Die resultierende Sammlung von Vektoren ist eine Basis für den ungültigen Raum von A.

Nehmen Sie zum Beispiel an, dass die reduzierte Reihe-Staffelstellungsform von A ist

:

1 && 0 &&-3 && 0 && 2 &&-8 \\

0 && 1 && 5 && 0 &&-1 && 4 \\

0 && 0 && 0 && 1 && 7 &&-9 \\

0 && \; \; \; \; \; 0 && \; \; \; \; \; 0 && \; \; \; \; \; 0 && \; \; \; \; \; 0 && \; \; \; \; \; 0 \end {alignat} \, \right] \text{.} </Mathematik>

Dann sind die Lösungen des homogenen Systems, das in der parametrischen Form mit x, x, und x als freie Variablen gegeben ist

:

x_1 && \; = \;&& 3x_3 && \; - \;&& 2x_5 && \; + \;&& 8x_6 & \\

x_2 && \; = \;&&-5x_3 && \; + \;&& x_5 && \; - \;&& 4x_6 & \\

x_4 && \; = \;&& && \; - \;&& 7x_5 && \; + \;&& 9x_6

&. \end {alignat} </Mathematik>

Der als umgeschrieben werden kann

:

Deshalb, die drei Vektoren

:

\left [\! \! \begin {Reihe} {r}-2 \\1 \\\mathbf {0} \\-7 \\\mathbf {1} \\\mathbf {0} \end {Reihe} \right], \;

\left [\! \! \begin {Reihe} {r} 8 \\-4 \\\mathbf {0} \\9 \\\mathbf {0} \\\mathbf {1} \end {Reihe} \right] </Mathematik>

sind eine Basis für den ungültigen Raum von A.

Beziehung zum Reihe-Raum

Lassen Sie A eine M durch die n Matrix sein (d. h., A hat M Reihen und n Säulen). Das Produkt von A und dem n-dimensional Vektoren x kann in Bezug auf das Punktprodukt von Vektoren wie folgt geschrieben werden:

:

Hier a..., ein Anzeigen der Reihen der Matrix A. Hieraus folgt dass x im ungültigen Raum ist, wenn, und nur wenn x (oder Senkrechte) zu jedem der Zeilenvektoren orthogonal ist (weil, wenn das Punktprodukt von zwei Vektoren der Null gleich ist, sie definitionsgemäß orthogonal sind).

Der Reihe-Raum einer Matrix A ist die Spanne der Zeilenvektoren von A. Durch das obengenannte Denken ist der ungültige Raum von A die orthogonale Ergänzung zum Reihe-Raum. D. h. ein Vektor x liegt im ungültigen Raum, wenn, und nur wenn es auf jedem Vektoren im Reihe-Raum von A. rechtwinklig

ist

Die Dimension des Reihe-Raums von A wird die Reihe von A genannt, und die Dimension des ungültigen Raums von A wird die Ungültigkeit von A genannt. Diese Mengen sind durch die Gleichung verbunden

:

Die Gleichung ist oben als der Lehrsatz der Reihe-Ungültigkeit bekannt.

Nichthomogene Gleichungen

Der ungültige Raum spielt auch eine Rolle in der Lösung eines nichthomogenen Systems von geradlinigen Gleichungen:

:

a_ {11} x_1 && \; + \;&& a_ {12} x_2 && \; + \cdots + \;&& a_ {1n} x_n && \; = \;&&& b_1 \\

a_ {21} x_1 && \; + \;&& a_ {22} x_2 && \; + \cdots + \;&& a_ {2n} x_n && \; = \;&&& b_2 \\

\vdots \; \; \; && && \vdots \; \; \; && && \vdots \; \; \; && &&& \; \vdots \\

a_ {m1} x_1 && \; + \;&& a_ {m2} x_2 && \; + \cdots + \;&& a_ {mn} x_n && \; = \;&&& b_m \\

\end {alignat} </Mathematik>

Wenn u und v zwei mögliche Lösungen der obengenannten Gleichung, dann sind

:

So liegt der Unterschied irgendwelcher zwei Lösungen der Gleichungsaxt = b im ungültigen Raum von A.

Hieraus folgt dass jede Lösung der Gleichungsaxt = b als die Summe einer festen Lösung v und ein willkürliches Element des ungültigen Raums ausgedrückt werden kann. D. h. der Lösungssatz zur Gleichungsaxt = b ist

:

wo v jede feste Vektor-Zufriedenheit Av = b ist. Geometrisch sagt das, dass die Lösung, die auf die Axt = b gesetzt ist, die Übersetzung des ungültigen Raums durch den Vektoren v ist. Siehe auch Alternative von Fredholm.

Verlassener ungültiger Raum

Der linke ungültige Raum einer Matrix A besteht aus allen Vektoren x solch, dass xA = 0, wo T das Umstellen eines Spaltenvektors anzeigt. Der linke ungültige Raum von A ist dasselbe als der ungültige Raum von A. Der linke ungültige Raum von A ist die orthogonale Ergänzung zum Spaltenraum von A, und ist der cokernel der verbundenen geradlinigen Transformation. Der ungültige Raum, der Reihe-Raum, der Spaltenraum und der linke ungültige Raum von A sind die vier grundsätzlichen Subräume, die zur Matrix A vereinigt sind.

Ungültiger Raum einer Transformation

Wenn V und W Vektorräume, der ungültige Raum (oder Kern) von einer geradlinigen Transformation T sind: V  W sind der Satz aller Vektoren in V dass Karte zur Null:

:

Wenn wir die geradlinige Transformation durch eine Matrix vertreten, dann ist der Kern der Transformation genau der ungültige Raum der Matrix.

Numerische Berechnung des ungültigen Raums

Algorithmen, die auf der Reihe oder der Säulenverminderung, d. h. Beseitigung von Gaussian gestützt sind, die in einleitenden geradlinigen Algebra-Lehrbüchern und in den vorhergehenden Abteilungen dieses Artikels präsentiert ist, sind für eine praktische Berechnung des ungültigen Raums wegen numerischer Genauigkeitsprobleme in Gegenwart von Rundungsfehlern nicht passend. Nämlich kann die Berechnung die Rundungsfehler außerordentlich verstärken, die in allen außer Lehrbuch-Beispielen auf ganzen Zahlen unvermeidlich sind, und so geben Sie völlig falsche Ergebnisse. Deshalb sind auf einleitenden geradlinigen Algebra-Texten gestützte Methoden allgemein für die Durchführung in der Software nicht passend; eher sollte man zeitgenössische numerische Analyse-Quellen für einen Algorithmus wie derjenige unten befragen, der Rundungsfehler unnötigerweise nicht verstärkt.

Eine modernste Annäherung basiert auf der einzigartigen Wertzergliederung (SVD). Diese Annäherung kann auch mit Standardbibliotheken wie LAPACK leicht programmiert werden. SVD der Matrix A schätzt einheitlichen matrices U und V und eine rechteckige Diagonalmatrix S derselben Größe wie mit nichtnegativen diagonalen Einträgen, solch dass

:

Zeigen Sie die Säulen V durch an

:

die diagonalen Einträge von S durch

:

und gestellter

:

(Die Zahlen werden die einzigartigen Werte von A. genannt)

Dann die Säulen V solch dass die entsprechende Form eine orthonormale Basis des nullspace von A.

Das kann wie folgt gesehen werden: Bemerken Sie zuerst das, wenn wir eine Lösung y der Gleichung, dann auch für Einheitsvektoren damit haben. Jetzt, wenn wir für z, dann wegen lösen, was dass die i'th Säule von V Spannen eine Richtung des ungültigen Raums bedeutet.

In einer numerischen Berechnung werden die einzigartigen Werte genommen, um Null zu sein, wenn sie weniger sind als etwas kleine Toleranz. Zum Beispiel kann die Toleranz genommen werden, um zu sein

:

wo das Maschinenepsilon des Computers, d. h. die kleinste Zahl solch das im Schwimmpunkt arithmetics vom Computer ist. Für die IEEE 64 Bit, die Punkt-Format schwimmen lassen.

Die Berechnung des SVD einer Matrix kostet allgemein über dasselbe als mehrere Matrixmatrixmultiplikationen mit matrices derselben Größe, wenn modernste Durchführung (genau bis zum Runden der Präzision), solcher als in LAPACK verwendet wird. Das ist wahr, selbst wenn, in der Theorie, der SVD durch eine begrenzte Zahl von Operationen nicht geschätzt werden kann, so muss eine wiederholende Methode mit der anhaltenden auf dem Runden der Präzision gestützten Toleranz verwendet werden. Die Kosten der SVD-Annäherung sind mehrere Male höher als Computerwissenschaft des ungültigen Raums durch die Verminderung, aber es sollte annehmbar sein, wann auch immer Zuverlässigkeit wichtig ist. Es ist auch möglich, den ungültigen Raum durch die QR Zergliederung, mit der numerischen Stabilität und den Kosten zu schätzen, sowohl zwischen denjenigen des SVD als auch den Verminderungsannäherungen seiend.

Die Berechnung einer ungültigen Raumbasis mit der QR Zergliederung wird ausführlicher unten erklärt.

Lassen Sie A eine mxn Matrix mit der M sein, wir können eine Matrix finden

solch dass

:

wo P eine Versetzungsmatrix ist, ist Q nxn, und R ist nxm. Matrix

ist nxm und besteht aus der ersten M Säulen von Q. Matrix ist nx (n-m) und ist

zusammengesetzt aus Q 's dauern n-m Säulen. Seitdem, die Säulen von

messen Sie den ungültigen Raum von A ab.

Siehe auch

• Matrix (Mathematik)
• Kern (Algebra)
• Euklidischer Subraum
• System von geradlinigen Gleichungen
• Reihe-Raum
• Spaltenraum oder Image (Matrix)
• Die Reihe-Verminderung
• Vier grundsätzliche Subräume

Referenzen

Lehrbücher

Numerische Analyse-Lehrbücher

• Lloyd N. Trefethen und David Bau, III, Numerische Geradlinige Algebra, SIAM 1997, internationale Standardbuchnummer 978-0-89871-361-9 Online-Version

Links

• , MIT geradliniger Algebra-Vortrag auf den vier grundsätzlichen Subräumen am Google Video, von MIT OpenCourseWare
• , Einführung in den ungültigen Raum einer Matrix