In der geradlinigen Algebra ist der Spaltenraum, C (A) einer Matrix (hat manchmal die Reihe einer Matrix genannt), der Satz aller möglichen geradlinigen Kombinationen seiner Spaltenvektoren. Der Spaltenraum einer M × n Matrix ist ein Subraum der M dimensionaler Euklidischer Raum. Die Dimension des Spaltenraums wird die Reihe der Matrix genannt.

Der Spaltenraum einer Matrix ist das Image oder die Reihe der entsprechenden Matrixtransformation.

Definition

Lassen Sie A eine M &times sein; n Matrix, mit Spaltenvektoren v, v..., v. Eine geradlinige Kombination dieser Vektoren ist jeder Vektor der Form

wo c, c..., c Skalare sind. Der Satz aller möglichen geradlinigen Kombinationen von v..., v wird den Spaltenraum von A genannt. D. h. der Spaltenraum von A ist die Spanne der Vektoren v..., v.

Beispiel

:If dann sind die Spaltenvektoren v = (1, 0, 2) und v = (0, 1, 0).

:A geradlinige Kombination von v und v ist jeder Vektor der Form

::

Der:The-Satz aller dieser Vektoren ist der Spaltenraum von A. In diesem Fall ist der Spaltenraum genau der Satz von Vektoren (x, y, z) ∈ R Zufriedenheit der Gleichung z = 2x (das Verwenden Kartesianischer Koordinaten, dieser Satz ist ein Flugzeug durch den Ursprung im dreidimensionalen Raum).

Jede geradlinige Kombination der Spaltenvektoren einer Matrix A kann als das Produkt mit einem Spaltenvektor geschrieben werden:

Deshalb besteht der Spaltenraum von A aus der ganzen möglichen Produktaxt, für x ∈ R. Das ist dasselbe als das Image (oder Reihe) der entsprechenden Matrixtransformation.

Basis

Die Säulen Einer Spanne der Spaltenraum, aber können sie keine Basis bilden, wenn die Spaltenvektoren nicht linear unabhängig sind. Glücklich betreffen elementare Reihe-Operationen die Abhängigkeitsbeziehungen zwischen den Spaltenvektoren nicht. Das macht es möglich, die Reihe-Verminderung zu verwenden, um eine Basis für den Spaltenraum zu finden.

Denken Sie zum Beispiel die Matrix

Die Säulen dieser Matrix messen den Spaltenraum ab, aber sie können nicht linear unabhängig sein, in welchem Fall eine Teilmenge von ihnen eine Basis bilden wird. Um diese Basis zu finden, nehmen wir zur reduzierten Reihe-Staffelstellungsform ab:

\sim \begin {bmatrix} 1 & 3 & 1 & 4 \\0 & 1 & 1 & 1 \\0 & 2 & 2 &-3 \\0 &-1 &-1 & 4 \end {bmatrix }\

\sim \begin {bmatrix} 1 & 0 &-2 & 1 \\0 & 1 & 1 & 1 \\0 & 0 & 0 &-5 \\0 & 0 & 0 & 5 \end {bmatrix }\

\sim \begin {bmatrix} 1 & 0 &-2 & 0 \\0 & 1 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 & 0 \end {bmatrix }\\Text {.} </Mathematik>

An diesem Punkt ist es klar, dass die ersten, zweiten und vierten Säulen linear unabhängig sind, während die dritte Säule eine geradlinige Kombination der ersten zwei ist. (Spezifisch, v =-2v + v.) Deshalb sind die ersten, zweiten und vierten Säulen der ursprünglichen Matrix eine Basis für den Spaltenraum:

\begin {bmatrix} 3 \\7 \\5 \\2\end {bmatrix}, \; \;

\begin {bmatrix} 4 \\9 \\1 \\8\end {bmatrix }\\Text {.} </Mathematik>

Bemerken Sie, dass die unabhängigen Säulen der reduzierten Reihe-Staffelstellungsform genau die Säulen mit Türangeln sind. Das macht es möglich zu bestimmen, welche Säulen durch das Reduzieren nur zur Staffelstellungsform linear unabhängig sind.

Der obengenannte Algorithmus kann im Allgemeinen verwendet werden, um die Abhängigkeitsbeziehungen zwischen jedem Satz von Vektoren zu finden, und eine Basis von jedem Überspannen-Satz auszuwählen. Ein verschiedener Algorithmus, für eine Basis von einem Überspannen-Satz zu finden, wird im Reihe-Raumartikel gegeben; die Entdeckung einer Basis für den Spaltenraum von A ist zur Entdeckung einer Basis für den Reihe-Raum der umstellen Matrix A gleichwertig.

Dimension

Die Dimension des Spaltenraums wird die Reihe der Matrix genannt. Die Reihe ist der Zahl von Türangeln in der reduzierten Reihe-Staffelstellungsform gleich, und ist die maximale Zahl von linear unabhängigen Säulen, die aus der Matrix gewählt werden können. Zum Beispiel, die 4 &times; 4 Matrix im Beispiel hat oben Reihe drei.

Weil der Spaltenraum das Image der entsprechenden Matrixtransformation ist, ist die Reihe einer Matrix dasselbe als die Dimension des Images. Zum Beispiel, die Transformation R &rarr; R beschrieben durch die Matrix stellt oben alle R zu einem dreidimensionalen Subraum kartografisch dar.

Die Ungültigkeit einer Matrix ist die Dimension des ungültigen Raums, und ist der Zahl von Säulen in der reduzierten Reihe-Staffelstellungsform gleich, die Türangeln nicht haben. Die Reihe und Ungültigkeit einer Matrix mit n Säulen sind durch die Gleichung verbunden:

Das ist als der Lehrsatz der Reihe-Ungültigkeit bekannt.

Beziehung zum linken ungültigen Raum

Der linke ungültige Raum von A ist der Satz aller Vektoren x solch dass xA = 0. Es ist dasselbe als der ungültige Raum des Umstellens von A. Der linke ungültige Raum ist die orthogonale Ergänzung zum Spaltenraum von A.

Das kann durch das Schreiben des Produktes der Matrix und des Vektoren x in Bezug auf das Punktprodukt von Vektoren gesehen werden:

wo c..., c die Spaltenvektoren von A. Thus x = 0 sind, wenn, und nur wenn x (Senkrechte) zu jedem der Spaltenvektoren von A orthogonal ist.

Hieraus folgt dass der ungültige Raum dessen die orthogonale Ergänzung zum Spaltenraum von A. ist

Für eine Matrix werden A, der Spaltenraum, Reihe-Raum, ungültige Raum und verlassene ungültige Raum manchmal die vier grundsätzlichen Subräume genannt.

Siehe auch

• Euklidischer Subraum
• Kern (Matrix)
• Reihe-Raum
• Vier grundsätzliche Subräume
• Reihe (geradlinige Algebra)
• Geradlinige Spanne
• Matrix (Mathematik)

Referenzen

Lehrbücher

Links

• Khan-Akademie-Videotutorenkurs
• , MIT geradliniger Algebra-Vortrag auf den vier grundsätzlichen Subräumen am Google Video, von MIT OpenCourseWare