Das klassische mathematische Rätsel, das als Wasser, Benzin und Elektrizität, (drei) Dienstprogramm-Problem, oder manchmal das drei Cottage-Problem bekannt ist, kann wie folgt festgesetzt werden:

: Nehmen Sie an, dass es drei Cottages auf einem Flugzeug gibt (oder Bereich) und jeder mit dem Benzin, dem Wasser und den elektrischen Gesellschaften verbunden werden muss. Das Verwenden einer dritten Dimension oder das Senden von einigen der Verbindungen durch eine andere Gesellschaft oder Cottage werden zurückgewiesen. Gibt es eine Weise, alle neun Verbindungen ohne einige der Linien zu machen, die einander durchqueren?

Das ist als ein abstraktes mathematisches Rätsel beabsichtigt und erlegt Einschränkungen auf, die Probleme in einem praktischen Technikdrehbuch nicht sein würden.

Lösung

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Die Antwort auf das strenge Rätsel, das oben aufgestellt ist, ist nein; es ist unmöglich, die drei Cottages mit den drei verschiedenen Dienstprogrammen ohne mindestens eine der Verbindungen zu verbinden, die einen anderen durchqueren. Mehr verallgemeinerte Fragen können verschiedene Antworten haben.

Das Problem ist ein Teil des mathematischen Feldes der topologischen Graph-Theorie, die das Einbetten von Graphen auf Oberflächen studiert. In mehr formellen mit dem Graphen theoretischen Begriffen fragt das Problem, ob der ganze zweiteilige Graph K planar ist. Dieser Graph wird häufig den Dienstprogramm-Graphen in der Verweisung auf das Problem genannt. Der Graph ist zum circulant Graphen Ci (1,3) gleichwertig. Kazimierz Kuratowski hat 1930 bewiesen, dass K, und so nichtplanar ist, dass das Problem keine Lösung hat.

Ein Beweis der Unmöglichkeit, ein planares Einbetten von K zu finden, verwendet eine Fall-Analyse, die mit dem Kurve-Lehrsatz von Jordan verbunden ist, in dem verschiedene Möglichkeiten für die Positionen der Scheitelpunkte in Bezug auf die 4 Zyklen des Graphen untersucht und zeigt, dass sie alle mit einem planaren Einbetten inkonsequent sind. Wechselweise ist es möglich zu zeigen, dass jeder bridgeless zweiteilige planare Graph mit n Scheitelpunkten und M Ränder durch das Kombinieren der Formel von Euler hat (wo f die Zahl von Gesichtern eines planaren Einbettens ist) mit der Beobachtung, dass die Zahl von Gesichtern am grössten Teil der Hälfte der Zahl von Rändern ist (weil jedes Gesicht mindestens vier Ränder hat und jeder Rand genau zwei Gesichtern gehört). Im Dienstprogramm-Graphen, M = 9 und 2n − 4 = 8, diese Ungleichheit verletzend, so kann der Dienstprogramm-Graph nicht planar sein.

Zwei wichtige Charakterisierungen von planaren Graphen, der Lehrsatz von Kuratowski, dass die planaren Graphen genau die Graphen sind, die weder K noch den ganzen Graphen K als eine Unterteilung und der Lehrsatz von Wagner enthalten, dass die planaren Graphen genau die Graphen sind, die weder K noch K als ein Minderjähriger enthalten, umfassen dieses Ergebnis.

Generalisationen

K ist toroidal, was bedeutet, dass es auf dem Ring eingebettet werden kann. In Bezug auf das drei Cottage-Problem bedeutet das, dass das Problem durch das Lochen zwei Löchern durch das Flugzeug (oder der Bereich) und das Anschließen von ihnen mit einer Tube behoben werden kann. Das ändert die topologischen Eigenschaften der Oberfläche und des Verwendens der Tube wir können die drei Cottages verbinden, ohne Linien zu durchqueren. Eine gleichwertige Behauptung ist, dass die Graph-Klasse des Dienstprogramm-Graphen ein ist, und deshalb es in einer Oberfläche der Klasse weniger als ein nicht eingebettet werden kann. Eine Oberfläche der Klasse ist man zu einem Ring gleichwertig.

Das "Ziegelfabrikproblem von Pál Turán" fragt mehr allgemein nach einer Formel für die minimale Zahl von Überfahrten in einer Zeichnung des ganzen zweiteiligen Graphen K in Bezug auf die Zahlen von Scheitelpunkten a und b auf den zwei Seiten des bipartition. Der Dienstprogramm-Graph K kann mit nur einer Überfahrt, aber nicht mit Nulldurchgängen gezogen werden, so ist seine sich treffende Zahl diejenige. Ein Toroidal-Einbetten von K kann durch das Ersetzen der Überfahrt durch eine Tube, wie beschrieben, oben erhalten werden, in dem die zwei Löcher wo die Tube zum Flugzeug in Verbindung steht, werden entlang einem der sich treffenden Ränder auf beiden Seiten der Überfahrt gelegt.

Andere mit dem Graphen theoretische Eigenschaften

Der Dienstprogramm-Graph K, ist wie alle anderen ganzen zweiteiligen Graphen, ein gut bedeckter Graph, bedeutend, dass jeder maximale unabhängige Satz dieselbe Größe hat. In diesem Graphen sind die nur zwei maximalen unabhängigen Sätze die zwei Seiten des bipartition, und offensichtlich sind sie gleich. K ist einer von nur sieben 3-regelmäßigen 3-verbundenen gut bedeckten Graphen.

Es ist auch ein Graph von Laman, bedeutend, dass es ein minimal starres System bildet, wenn es (mit Überfahrten) im Flugzeug eingebettet wird. Es ist das kleinste Beispiel eines nichtplanaren Graphen von Laman, weil der andere minimale nichtplanare Graph, K, nicht minimal starr ist.

Referenzen

Links

• Dienstprogramm-Graph an MathWorld
• Das Dienstprogramm-Rätsel, das erklärt und an Archimedes-Lab.org 'gelöst' ist'
• 3 Dienstprogramm-Rätsel an der Knoten-Kürzung
• Beweis, Dass das Unmögliche Rätsel Unmöglicher ist