In der Mathematik ist der Radius der Konvergenz einer Macht-Reihe der Radius der größten Platte, in der die Reihe zusammenläuft. Es ist entweder eine nichtnegative reelle Zahl oder . Wenn es positiv ist, läuft die Macht-Reihe absolut und gleichförmig auf Kompaktsätzen innerhalb der offenen Platte des Radius zusammen, der dem Radius der Konvergenz gleich ist, und es ist die Reihe von Taylor der analytischen Funktion, zu der es zusammenläuft. Wenn der Radius der Konvergenz sowohl begrenzt als auch dann an einem Punkt an der Grenze der Platte positiv ist, scheitert die Macht-Reihe zusammenzulaufen.

Definition

Für einen Macht-Reihe-ƒ definiert als:

:wo

:a ist eine komplizierte Konstante, das Zentrum der Platte der Konvergenz,

:c ist der n komplizierte Koeffizient und

:z ist eine komplizierte Variable.

Der Radius der Konvergenz r ist eine nichtnegative reelle Zahl oder solcher , dass die Reihe wenn zusammenläuft

:

und weicht wenn ab

:

Mit anderen Worten läuft die Reihe zusammen, wenn z am Zentrum nah genug ist und abweicht, wenn es zu weit weg ist. Der Radius der Konvergenz gibt an, wie nahe nah genug ist. An der Grenze, d. h. wo |z − = r kann das Verhalten der Macht-Reihe kompliziert werden, und die Reihe kann für einige Werte von z zusammenlaufen und für andere abweichen. Der Radius der Konvergenz ist unendlich, wenn die Reihe für alle komplexen Zahlen z zusammenläuft.

Die Entdeckung des Radius der Konvergenz

Zwei Fälle entstehen. Der erste Fall ist theoretisch: Wenn Sie alle Koeffizienten dann wissen, nehmen Sie bestimmte Grenzen und finden den genauen Radius der Konvergenz. Der zweite Fall ist praktisch: Wenn Sie eine Macht-Reihe-Lösung schwierige Probleme bauen, werden Sie nur normalerweise eine begrenzte Zahl von Begriffen in einer Macht-Reihe überall von einigen Begriffen bis hundert Begriffe wissen. In diesem zweiten Fall, einen Anschlag extrapolierend, schätzt den Radius der Konvergenz.

Theoretischer Radius

Der Radius der Konvergenz kann durch die Verwendung des Wurzeltests auf die Begriffe der Reihe gefunden werden. Der Wurzeltest verwendet die Zahl

:

"Lim-Mund voll" zeigt die höhere Grenze an. Der Wurzeltest stellt fest, dass die Reihe wenn C zusammenläuft

:

und weicht ab, wenn die Entfernung diese Zahl überschreitet; diese Behauptung ist der Cauchy-Hadamard Lehrsatz. Bemerken Sie, dass r = 1/0 als ein unendlicher Radius interpretiert wird, bedeutend, dass ƒ eine komplette Funktion ist.

Die am Verhältnis-Test beteiligte Grenze ist gewöhnlich leichter zu rechnen, und wenn diese Grenze besteht, zeigt es, dass der Radius der Konvergenz unendlich ist.

:

Das wird wie folgt gezeigt. Der Verhältnis-Test sagt, dass die Reihe wenn zusammenläuft

:

Das ist zu gleichwertig

:

Praktische Bewertung des Radius

Nehmen Sie an, dass Sie nur eine begrenzte Zahl von Koeffizienten wissen, zehn hundert sagen. Gewöhnlich als Zunahmen lassen sich diese Koeffizienten in ein regelmäßiges durch die nächste Radius beschränkende Eigenartigkeit bestimmtes Verhalten nieder.

Wenn das Verhalten der Koeffizienten eines des unveränderlichen Zeichens ist oder Zeichen abwechseln lassend, haben Domb und Sykes vorgehabt, sich zu verschwören gegen, eine Extrapolation der Gerade passend, und den Abschnitt dieser Linie als eine Schätzung das Gegenstück des Radius der Konvergenz nehmend. Negativ bedeutet, dass die Konvergenz beschränkende Eigenartigkeit auf der negativen Achse ist. Natürlich wird das einen Anschlag von Domb-Sykes genannt.

Wenn sich die Koeffizienten darin niederlassen, ein periodisches Muster von Zeichen zu haben, dann verwenden einen Test, der von Mercer und Roberts vorgeschlagen ist. Rechnen Sie von und Anschlag dagegen. Extrapolieren Sie zu, wieder das Gegenstück des Radius der Konvergenz zu schätzen.

Sie können auch zwei Unterstützungsmengen schätzen. Schätzen Sie die Hochzahl der Konvergenz-Begrenzungseigenartigkeit, weil der Hang der Extrapolation der Gerade ist. Schätzen Sie den Winkel von der echten Achse der Konvergenz-Begrenzungseigenartigkeiten, indem Sie sich dagegen verschwören. Dann das Extrapolieren zu Schätzungen.

Radius der Konvergenz in der komplizierten Analyse

Eine Macht-Reihe mit einem positiven Radius der Konvergenz kann in eine Holomorphic-Funktion durch die Einnahme seines Arguments gemacht werden, um eine komplizierte Variable zu sein. Der Radius der Konvergenz kann durch den folgenden Lehrsatz charakterisiert werden:

Der:The-Radius der Konvergenz einer Macht-Reihe f hat auf einen Punkt in den Mittelpunkt gestellt gleich der Entfernung von bis den nächsten Punkt zu sein, wo f in einem Weg nicht definiert werden kann, der es holomorphic macht.

Der Satz aller Punkte, deren Entfernung dazu, ausschließlich weniger zu sein, als der Radius der Konvergenz die Platte der Konvergenz genannt wird.

Der nächste Punkt bedeutet den nächsten Punkt im komplizierten Flugzeug, nicht notwendigerweise auf der echten Linie, selbst wenn das Zentrum und alle Koeffizienten echt sind. Zum Beispiel, die Funktion

:

hat keine Eigenartigkeiten auf der echten Linie, da keine echten Wurzeln hat. Seine Reihe von Taylor werden ungefähr 0 durch gegeben

:

Der Wurzeltest zeigt, dass sein Radius der Konvergenz 1 ist. In Übereinstimmung damit, die Funktion ƒ (z) hat Eigenartigkeiten an ±i, die in einer Entfernung 1 von 0 sind.

Für einen Beweis dieses Lehrsatzes, sieh analyticity von Holomorphic-Funktionen.

Ein einfaches Beispiel

Die arctangent Funktion der Trigonometrie kann in einer für Rechnungsstudenten vertrauten Macht-Reihe ausgebreitet werden:

:

Es ist leicht, den Wurzeltest in diesem Fall anzuwenden, um zu finden, dass der Radius der Konvergenz 1 ist.

Ein mehr kompliziertes Beispiel

Denken Sie diese Macht-Reihe:

:

wo die rationalen Zahlen B die Zahlen von Bernoulli sind. Es kann beschwerlich sein, um zu versuchen, den Verhältnis-Test anzuwenden, um den Radius der Konvergenz dieser Reihe zu finden. Aber der Lehrsatz der komplizierten Analyse angegeben behebt schnell das Problem. An z = 0 gibt es tatsächlich keine Eigenartigkeit, da die Eigenartigkeit absetzbar ist. Die einzigen nichtabsetzbaren Eigenartigkeiten werden deshalb an den anderen Punkten gelegen, wo der Nenner Null ist. Wir lösen

:

durch das Zurückrufen davon wenn z = x + iy und e =, weil (y) + ich (y) dann sündige

:

und dann nehmen Sie x und y, um echt zu sein. Da y, der absolute Wert dessen echt ist, weil (y) + ich (y) sündige, ist notwendigerweise 1. Deshalb kann der absolute Wert von e 1 nur sein, wenn e 1 ist; da x echt ist, der nur wenn x = 0 geschieht. Deshalb ist z imaginär rein, und weil (y) + ich (y) = 1 sündige. Da y echt ist, der nur geschieht, wenn weil (y) = 1 und Sünde (y) = 0, so dass y ein integriertes Vielfache 2π ist. Folglich kommen die einzigartigen Punkte dieser Funktion an vor

:z = eine ganze Nichtnullzahl, die 2πi vielfach ist.

Die Eigenartigkeiten am nächsten 0, der das Zentrum der Macht-Reihenentwicklung ist, sind an ±2πi. Die Entfernung vom Zentrum bis jeden jener Punkte ist 2π, so ist der Radius der Konvergenz 2π.

Konvergenz an der Grenze

Wenn die Macht-Reihe um den Punkt a ausgebreitet wird und der Radius der Konvergenz r, dann der Satz aller Punkte z solch dass |z &minus ist; = ist r ein Kreis genannt die Grenze der Platte der Konvergenz. Eine Macht-Reihe kann an jedem Punkt an der Grenze abweichen, oder auf einigen Punkten abweichen und an anderen Punkten zusammenlaufen, oder an allen Punkten an der Grenze zusammenlaufen. Außerdem, selbst wenn die Reihe an der Grenze zusammenläuft, läuft sie absolut nicht notwendigerweise zusammen.

Beispiel 1: Die Macht-Reihe für den Funktions-ƒ (z) = (1 − z), ausgebreitet um z = 0, hat Radius der Konvergenz 1 und weicht an jedem Punkt an der Grenze ab.

Beispiel 2: Die Macht-Reihe für g (z) = ln (1 − z) hat Radius der Konvergenz r = 1 ausgebreiteter um z = 0, und weicht für z = 1 ab, aber läuft für alle anderen Punkte an der Grenze zusammen. ƒ (z) im Beispiel 1 ist die Ableitung der Verneinung von g (z).

Beispiel 3: Die Macht-Reihe

:

hat Radius der Konvergenz 1 und läuft überall an der Grenze zusammen. Wenn h (z) die durch diese Reihe vertretene Funktion ist, dann ist die Ableitung von h (z) g (z) geteilt durch z im Beispiel 2. Es stellt sich heraus, dass h (z) die Dilogarithm-Funktion ist.

Beispiel 4: Die Macht-Reihe

:

hat Radius der Konvergenz 1 und läuft gleichförmig an der Grenze ''z = 1\zusammen, aber läuft absolut an der Grenze nicht zusammen.

Kommentare zu Rate der Konvergenz

Wenn wir die Funktion ausbreiten

:

um den Punkt x = 0 finden wir heraus, dass der Radius der Konvergenz dieser Reihe bedeutet, dass diese Reihe für alle komplexen Zahlen zusammenläuft. Jedoch, in Anwendungen, interessiert man sich häufig für die Präzision einer numerischen Antwort. Sowohl die Zahl von Begriffen als auch der Wert, an dem die Reihe bewertet werden soll, betreffen die Genauigkeit der Antwort. Zum Beispiel, wenn wir ƒ (0.1) = Sünde (0.1) genau bis zu fünf dezimale Plätze berechnen wollen, brauchen wir nur die ersten zwei Begriffe der Reihe. Jedoch, wenn wir dieselbe Präzision für x = 1 wollen, müssen wir bewerten und die ersten fünf Begriffe der Reihe summieren. Für den ƒ (10) verlangt man die ersten 18 Begriffe der Reihe, und für den ƒ (100), wir müssen die ersten 141 Begriffe bewerten.

So ist die schnellste Konvergenz einer Macht-Reihenentwicklung am Zentrum, und als man vom Zentrum der Konvergenz abrückt, verlangsamt sich die Rate der Konvergenz, bis Sie die Grenze erreichen (wenn es besteht) und gehen Sie hinüber, in welchem Fall die Reihe abweichen wird.

Ein grafisches Beispiel

Denken Sie die Funktion 1 / (z + 1).

Diese Funktion hat Pole an z = ±i.

Wie gesehen, im ersten Beispiel, dem Radius der Konvergenz der Reihe dieser Funktion in Mächten (z − 0) ist 1, wie die Entfernung von 0 bis jeden jener Pole 1 ist.

Dann wird die Reihe von Taylor dieser Funktion um z = 0 nur wenn |z zusammenlaufen

Solch eine Reihe läuft zusammen, wenn der echte Teil von s größer ist als eine besondere Zahl abhängig von den Koeffizienten a: die Abszisse der Konvergenz.

Referenzen

Links

• Was ist Radius der Konvergenz?