In der Mathematik ist ein pseudometrischer Raum ein verallgemeinerter metrischer Raum, in dem die Entfernung zwischen zwei verschiedenen Punkten Null sein kann. Ebenso, da jeder normed Raum ein metrischer Raum ist, ist jeder seminormed Raum ein pseudometrischer Raum. Wegen dieser Analogie der Begriff wird halbmetrischer Raum (der eine verschiedene Bedeutung in der Topologie hat) manchmal als ein Synonym besonders in der Funktionsanalyse verwendet.

Wenn eine Topologie mit einer Familie der Pseudometrik erzeugt wird, wird der Raum einen Maß-Raum genannt.

Definition

Ein pseudometrischer Raum ist ein Satz zusammen mit einer nichtnegativen reellwertigen Funktion (hat einen pseudometrischen genannt) solch dass, für jeden,

1. (Symmetrie)
2. (Ungleichheit der Subadditivität/Dreiecks)

Verschieden von einem metrischen Raum, Punkten in einem pseudometrischen Raumbedürfnis nicht, unterscheidbar sein; d. h. man kann für verschiedene Werte haben.

Beispiele

Pseudometrik entsteht natürlich in der Funktionsanalyse. Denken Sie den Raum von reellwertigen Funktionen zusammen mit einem speziellen Punkt. Dieser Punkt veranlasst dann einen pseudometrischen auf dem Raum von Funktionen, die durch gegeben sind

für

Für Vektorräume V veranlasst eine Halbnorm p einen pseudometrischen auf V, als

Umgekehrt, ein homogener, veranlasst Übersetzung invariant pseudometrisch eine Halbnorm.

Topologie

Die pseudometrische Topologie ist die Topologie, die durch die offenen Bälle veranlasst ist

die eine Basis für die Topologie bilden. Wie man sagt, ist ein topologischer Raum ein pseudometrizable topologischer Raum, wenn der Raum ein pseudometrischer solcher gegeben werden kann, dass die pseudometrische Topologie mit der gegebenen Topologie auf dem Raum zusammenfällt.

Der Unterschied zwischen Pseudometrik und Metrik ist völlig topologisch. D. h. ein pseudometrischer ist ein metrischer, wenn, und nur wenn die Topologie es erzeugt, T ist (d. h. verschiedene Punkte topologisch unterscheidbar sind).

Metrische Identifizierung

Das Verschwinden des pseudometrischen veranlasst eine Gleichwertigkeitsbeziehung, genannt die metrische Identifizierung, die den pseudometrischen Raum in einen flüggen metrischen Raum umwandelt. Das wird durch das Definieren wenn getan. Lassen Sie und lassen Sie

Dann ist ein metrischer darauf und ist ein bestimmter metrischer Raum.

Die metrische Identifizierung bewahrt die veranlassten Topologien. D. h. eine Teilmenge ist (oder geschlossen) darin offen, wenn, und nur wenn (oder geschlossen) darin offen ist.

Referenzen