In der Kategorie-Theorie und seinen Anwendungen auf die Mathematik, einen normalen monomorphism oder conormal ist epimorphism ein besonders wohl erzogener Typ von morphism.

Eine normale Kategorie ist eine Kategorie, in der jeder monomorphism normal ist. Eine conormal Kategorie ist diejenige, in der jeder epimorphism conormal ist.

Definition

Ein monomorphism ist normal, wenn es der Kern von einem morphism ist, und ein epimorphism conormal ist, wenn es der cokernel von einem morphism ist.

Eine Kategorie C ist binormal, wenn es sowohl normal ist als auch conormal.

Aber bemerken Sie, dass einige Autoren nur das Wort verwenden werden, das "normal" ist, um anzuzeigen, dass C wirklich binormal ist.

Beispiele

In der Kategorie von Gruppen ist ein monomorphism f von H bis G normal, wenn, und nur wenn sein Image eine normale Untergruppe von G ist. Insbesondere wenn H eine Untergruppe von G ist, dann ist die Einschließungskarte i von H bis G ein monomorphism und wird normal sein, wenn, und nur wenn H eine normale Untergruppe von G ist. Tatsächlich ist das der Ursprung des Begriffes "normaler" für monomorphisms.

Andererseits ist jeder epimorphism in der Kategorie von Gruppen normal (da es der cokernel seines eigenen Kerns ist), so ist diese Kategorie conormal.

In einer abelian Kategorie ist jeder monomorphism der Kern seines cokernel, und jeder epimorphism ist der cokernel seines Kerns.

So, abelian Kategorien sind immer binormal.

Die Kategorie von abelian Gruppen ist das grundsätzliche Beispiel einer abelian Kategorie, und entsprechend ist jede Untergruppe einer abelian Gruppe eine normale Untergruppe.

• Abschnitt I.14