In der Mathematik ist der Eintönigkeitskonvergenz-Lehrsatz einige von mehreren Lehrsätzen. Einige Hauptbeispiele werden hier präsentiert.

Konvergenz einer Eintönigkeitsfolge von reellen Zahlen

Lehrsatz

Wenn einer Eintönigkeitsfolge von reellen Zahlen (z.B, wenn ein  a) zu sein, dann hat diese Folge eine begrenzte Grenze, wenn, und nur wenn die Folge begrenzt wird.

Beweis

Wir beweisen, dass, wenn eine zunehmende Folge oben begrenzt wird, dann ist es konvergent und die Grenze ist.

Seitdem ist nichtleer und durch die Annahme, sie wird oben deshalb durch das Am wenigsten obere bestimmte Eigentum von reellen Zahlen begrenzt, besteht und ist begrenzt. Jetzt für jeden, dort besteht solch, dass, seitdem sonst ein oberer ist, der dessen gebunden ist, der dazu widerspricht, zu sein. Dann seitdem nimmt zu,

Bemerkung

Wenn eine Folge von reellen Zahlen abnimmt und begrenzt unten, dann ist sein infimum die Grenze.

Konvergenz einer Eintönigkeitsreihe

Lehrsatz

Wenn für alle natürlichen Zahlen j und k, einer nichtnegativen reellen Zahl und eines  a, dann zu sein (sieh zum Beispiel Seite 168)

,:

Der Lehrsatz stellt das fest, wenn Sie eine unendliche Matrix von nichtnegativen solchen reellen Zahlen dass haben

1. die Säulen nehmen schwach zu und begrenzt, und
2. für jede Reihe hat die Reihe, deren Begriffe durch diese Reihe gegeben werden, eine konvergente Summe,

dann ist die Grenze der Summen der Reihen der Summe der Reihe gleich, deren Begriff k durch die Grenze der Spalte k gegeben wird (der auch sein Supremum ist). Die Reihe hat eine konvergente Summe, wenn, und nur wenn (schwach zunehmend) die Folge von Reihe-Summen begrenzt und deshalb konvergent wird.

Als ein Beispiel, denken Sie die unendliche Reihe von Reihen

::

wo N-Annäherungsunendlichkeit (ist die Grenze dieser Reihe e). Hier ist der Matrixzugang in der Reihe n und Spalte k

:

die Säulen (hat k befestigt), nehmen tatsächlich mit n und begrenzt schwach zu (durch 1/k!), während die Reihen nur begrenzt viele Nichtnullbegriffe haben, so ist Bedingung 2 zufrieden; der Lehrsatz sagt jetzt, dass Sie die Grenze der Reihe-Summen schätzen können, indem Sie die Summe der Säulengrenzen nämlich nehmen.

Der Eintönigkeitskonvergenz-Lehrsatz von Lebesgue

Dieser Lehrsatz verallgemeinert den vorherigen, und ist wahrscheinlich der wichtigste Eintönigkeitskonvergenz-Lehrsatz. Es ist auch bekannt als der Lehrsatz von Beppo Levi.

Lehrsatz

Lassen Sie (X, Σ, μ), ein Maß-Raum zu sein. Lassen Sie, ein pointwise nichtabnehmende Folge [0 zu sein, ) - hat Σ-Measurable-Funktionen, d. h. für jeden k  1 und jeder x in X, geschätzt

:

Dann legen Sie die pointwise Grenze der Folge fest, um f zu sein. D. h. für jeden x in X,

:

Dann ist f Σ-measurable (sieh zum Beispiel Abschnitt 21.38), und

:

Bemerkung. Wenn die Folge die Annahmen μ-almost überall befriedigt, kann man einen Satz N  Σ mit μ (N) = 0 solches finden, dass die Folge für jeden nichtabnimmt. Das Ergebnis bleibt wahr weil für jeden k,

:

Beweis

Wir werden zuerst zeigen, dass f Σ-measurable ist. Um das zu tun, ist es genügend zu zeigen, dass das umgekehrte Image eines Zwischenraums [0, t] unter f ein Element der Sigma-Algebra Σ auf X ist, weil (geschlossene) Zwischenräume die Sigma-Algebra von Borel auf dem reals erzeugen. Lassen Sie mich = [0, t] solch ein Subzwischenraum [0, ] sein. Lassen Sie

:

Da ich ein geschlossener Zwischenraum und, bin

:

So,

:

Bemerken Sie, dass jeder Satz in der zählbaren Kreuzung ein Element von Σ ist, weil es das umgekehrte Image einer Teilmenge von Borel unter einer Σ-Measurable-Funktion ist. Da Sigma-Algebra definitionsgemäß unter zählbaren Kreuzungen geschlossen werden, zeigt das, dass f Σ-measurable ist. Im Allgemeinen ist das Supremum jeder zählbaren Familie von messbaren Funktionen auch messbar.

Jetzt werden wir den Rest des Eintönigkeitskonvergenz-Lehrsatzes beweisen. Die Tatsache, dass f Σ-measurable ist, deutet an, dass der Ausdruck gut definiert wird.

Wir werden anfangen, indem wir dem zeigen

werden

Durch die Definition von Lebesgue integriert,

:

wo SF der Satz von Σ-measurable einfachen Funktionen auf X ist. Seitdem an jedem x  X haben wir das

:

Folglich, da das Supremum einer Teilmenge nicht größer sein kann als dieser des ganzen Satzes, haben wir das:

:

und die Grenze besteht rechts, da die Folge monotonisch ist.

Wir beweisen jetzt die Ungleichheit in der anderen Richtung (der auch aus dem Lemma von Fatou folgt), der ist, bemühen wir uns, dem zu zeigen

:

Es folgt aus der Definition des Integrals, dass es eine nichtabnehmende Folge (g) von nichtnegativen einfachen solchen Funktionen dass g  f und solch dass gibt

:

Es genügt, um das für jeden, zu beweisen

:

weil, wenn das für jeden k wahr ist, dann wird die Grenze der linken Seite auch weniger sein als oder gleich der Rechte.

Wir werden das zeigen, wenn g eine einfache Funktion und ist

:

für jeden x, dann

:

Da das Integral geradlinig ist, können wir die Funktion in seine unveränderlichen Wertteile zerbrechen, zum Fall abnehmend, in dem die Anzeigefunktion eines Elements B von der Sigma-Algebra Σ ist. In diesem Fall nehmen wir an, dass das eine Folge von messbaren Funktionen ist, deren Supremum an jedem Punkt von B größer oder gleich einem ist.

Um dieses Ergebnis zu beweisen, befestigen Sie ε> 0 und definieren Sie die Folge von messbaren Mengen

:

Durch den Monomuskeltonus des Integrals, hieraus folgt dass für irgendwelchen,

:

Durch die Annahme, dass jeder x in B in für genug hohe Werte von n, und deshalb sein wird

:

So haben wir das

:

Mit dem Monomuskeltonus-Eigentum von Maßnahmen können wir die obengenannten Gleichheiten wie folgt fortsetzen:

:Wenn es

k  , und mit der Tatsache nimmt, dass das für jeden positiven ε wahr ist, folgt das Ergebnis.

Siehe auch

• Unendliche Reihe
• Beherrschter Konvergenz-Lehrsatz

Referenzen