In der Rechnung ist Linearität ein grundsätzliches Eigentum des Integrals, das aus der Summe-Regel in der Integration und der unveränderlichen Faktor-Regel in der Integration folgt. Die Linearität der Integration ist mit der Linearität der Summierung verbunden, da von Integralen als unendliche Summen gedacht wird.

Lassen Sie ƒ und g, Funktionen sein. Ziehen Sie jetzt in Betracht:

Durch die Summe-Regel in der Integration ist das

Durch die unveränderliche Faktor-Regel in der Integration nimmt das zu ab

Folglich haben wir

Maschinenbediener-Notation

Der Differenzialoperator ist geradlinig - wenn wir den Heaviside D Notation verwenden, um das anzuzeigen, können wir D erweitern, um das erste Integral zu bedeuten. Zu sagen, dass D deshalb geradlinig ist, verlangt, dass ein Moment die willkürliche Konstante der Integration bespricht; D würde aufrichtig sein, um sich geradlinig zu zeigen, wenn die willkürliche Konstante der Integration auf die Null gesetzt werden konnte.

Abstrakt können wir sagen, dass D eine geradlinige Transformation von einem Vektorraum V zu einem anderem, W ist. Wir wissen dass D (c) = 0 für jede unveränderliche Funktion c. Wir können durch die allgemeine Theorie (Mittelwertlehrsatz) identifizieren den Subraum C V, aus allen unveränderlichen Funktionen als der ganze Kern von D bestehend. Dann durch die geradlinige Algebra können wir feststellen, dass D eine bestimmte geradlinige Transformation ist, die auf Im D bijektiv ist und Werte in V/C nimmt.

D. h. wir behandeln die willkürliche Konstante der Integration als eine Notation für einen coset f + C; und alles ist gut mit dem Argument.