In der Integralrechnung stellen teilweise Bruchteil-Vergrößerungen eine Annäherung an die Integrierung einer allgemeinen vernünftigen Funktion zur Verfügung. Jede vernünftige Funktion einer echten Variable kann als die Summe einer polynomischen Funktion und eine begrenzte Zahl von algebraischen Bruchteilen geschrieben werden. Jeder Bruchteil in der Vergrößerung hat als sein Nenner eine polynomische Funktion des Grads 1 oder 2, oder etwas positive Macht der ganzen Zahl solch eines Polynoms. (Im Fall von der vernünftigen Funktion einer komplizierten Variable werden alle Nenner ein Polynom des Grads 1, oder etwas positive Macht der ganzen Zahl solch eines Polynoms haben.), Wenn der Nenner ein Polynom des 1. Grads oder eine Macht solch eines Polynoms ist, dann ist der Zähler eine Konstante. Wenn der Nenner ein Polynom des 2. Grads oder eine Macht solch eines Polynoms ist, dann ist der Zähler ein Polynom des 1. Grads.

Der Beweis von Isaac Barrow des Integrals der schneidenden Funktion war der frühste Gebrauch von teilweisen Bruchteilen in der Integration. 1599 hat Edward Wright eine Lösung durch numerische Methoden gegeben - was heute wir Summen von Riemann nennen würden.

Ein Polynom des 1. Grads im Nenner

Der Ersatz u = Axt + b du = reduziert ein dx den integrierten

:

zu

:

Ein wiederholtes Polynom des 1. Grads im Nenner

Derselbe Ersatz reduziert solche Integrale wie

:zu:

Ein nicht zu vereinfachendes Polynom des 2. Grads im Nenner

Als nächstes denken wir solche Integrale wie

:

Die schnellste Weise, dass der Nenner x &minus zu sehen; 8x + 25 ist nicht zu vereinfachend soll bemerken, dass sein discriminant negativ ist. Wechselweise können wir das Quadrat vollenden:

:

und bemerken Sie, dass diese Summe von zwei Quadraten 0 nie sein kann, während x eine reelle Zahl ist.

Um vom Ersatz Gebrauch zu machen

:

\begin {richten }\aus

u & = x^2-8x+25 \\

du & = (2x-8) \, dx \\

du/2 & = (x-4) \, dx

\end {richten }\aus

</Mathematik>

wir würden x &minus finden müssen; 4 im Zähler. So zersetzen wir den Zähler x + 6 als (x &minus; 4) + 10, und schreiben wir das Integral als

:

Der Ersatz behandelt den ersten summand so:

:

{1 \over 2 }\\ln\leftu\right+C

{1 \over 2 }\\ln (X^2-8x+25) +C. </math>

Bemerken Sie, dass der Grund wir können das absolute Wertzeichen verwerfen, darin besteht, dass weil wir früher beobachtet haben, (x &minus; 4) + 9 kann nie negativ sein.

Als nächstes müssen wir den integrierten behandeln

:

Vollenden Sie erstens das Quadrat, dann tun Sie ein bisschen mehr Algebra:

:\begin {richten }\aus

& {} \quad \int {10 \over x^2-8x+25} \, dx

\int {10 \over (x-4) ^2+9} \, dx \\[9pt]

& = \int {10/9 \over \left ({x-4 \over 3 }\\Recht) ^2+1 }\\, dx

{10 \over 3} \int {1 \over \left ({x-4 \over 3 }\\Recht) ^2+1 }\\, \left ({dx \over 3 }\\Recht)

\end {richten }\aus</Mathematik>

Jetzt der Ersatz

::

gibt uns

:

{10 \over 3 }\\interne Nummer {dw \over w^2+1 }\

{10 \over 3} \arctan (w) +C

{10 \over 3} \arctan\left ({x-4 \over 3 }\\Recht) +C.

</Mathematik>

All das, zusammenstellend

:

{1 \over 2 }\\ln (x^2-8x+25) + {10 \over 3} \arctan\left ({x-4 \over 3 }\\Recht) + C. </math>

Das Verwenden komplizierter Erweiterung

In einigen Fällen, bestimmte Sachkenntnis habend, ist es günstiger, die komplizierte Zergliederung des Polynoms zu verwenden. Also, im Beispiel oben:

:

Die Erweiterung des Nenners im zwei komplizierten Vermehrer:

:

Dann nach der Vergrößerung des integrand in zwei Begriffe suchend

:

Das System von geradlinigen Gleichungen lösend, herrschen wir vor:

::

Nach der offensichtlichen Integration haben wir:

:

Die Gruppierung der getrennten echten und imaginären Begriffe:

:::

Wie es bekannt ist, kann der arctangent einer komplizierten Variable durch den Logarithmus ausgedrückt werden:

:

Das erlaubt uns, den zweiten Begriff im arctangent auszudrücken:

:

Ein wiederholtes nicht zu vereinfachendes Polynom des 2. Grads im Nenner

Dann denken Sie

:

Gerade als oben können wir x + 6 darin spalten (x &minus; 4) + 10, und Vergnügen der Teil, der x &minus enthält; 4 über den Ersatz

:\begin {richten }\aus

u & = x^2-8x+25, \\

du & = (2x-8) \, dx, \\

du/2 & = (x-4) \, dx.

\end {richten }\aus</Mathematik>

Das verlässt uns mit

:

Wie zuvor vollenden wir zuerst das Quadrat und tun dann ein wenig algebraisches Massieren, um zu bekommen

:

\int {10 \over ((x-4) ^2+9) ^ {8} }\\, dx

\int {10/9^ {8} \over \left (\left ({x-4 \over 3 }\\Recht) ^2+1\right) ^8 }\\, dx. </math>

Dann können wir einen trigonometrischen Ersatz verwenden:

:::

Dann wird das Integral

:

{30 \over 9^ {8} }\\int \cos^ {14} \theta \, d\theta. </math>

Durch wiederholte Anwendungen der Halbwinkelformel

:

man kann das auf ein integriertes Beteiligen keiner höheren Mächte weil θ höher reduzieren als die 1. Macht.

Dann steht man dem Problem der Ausdruck-Sünde (θ) und weil (θ) als Funktionen von x gegenüber. Rufen Sie das zurück

:

und diese Tangente = entgegengesetzt/angrenzend. Wenn die "entgegengesetzte" Seite Länge x &minus hat; 4 und die "angrenzende" Seite hat Länge 3, dann sagt der Pythagoreische Lehrsatz uns, dass die Hypotenuse Länge  hat ((x &minus; 4) + 3) =  (x &minus;8x + 25).

Deshalb haben wir

::

und

:

Zeichen und Verweisungen

Links

• Teilweiser Bruchteil-Expander
• Der mathematische Helfer im Web Online-Berechnung von Integralen, erlaubt, in kleine Schritte zu integrieren (schließt teilweise Bruchteile ein, die durch Maxima (Software) angetrieben sind)

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