Das Problem von Burnside, das von William Burnside 1902 und einer der ältesten und einflussreichsten Fragen in der Gruppentheorie aufgeworfen ist, fragt, ob eine begrenzt erzeugte Gruppe, in der jedes Element begrenzte Ordnung hat, eine begrenzte Gruppe notwendigerweise sein muss. Unmissverständlich, wenn, indem wir auf individuelle Elemente einer Gruppe schauen, wir vermuten, dass die ganze Gruppe begrenzt ist, muss es tatsächlich wahr sein? Das Problem hat viele Varianten (sieh begrenzt und eingeschränkt unten), die sich in den zusätzlichen den Ordnungen der Gruppenelemente auferlegten Bedingungen unterscheiden.

Kurze Geschichte

Anfängliche Arbeit hat zur bejahenden Antwort hingewiesen. Zum Beispiel, wenn eine Gruppe G durch die M Elemente erzeugt wird und die Ordnung jedes Elements von G ein Teiler 4 ist, dann ist G begrenzt. Außerdem hat A. I. Kostrikin (für den Fall einer Haupthochzahl) und Efim Zelmanov (im Allgemeinen) bewiesen, dass, unter den begrenzten Gruppen mit der gegebenen Zahl von Generatoren und Hochzahl, dort eine größte besteht. Issai Schur hat gezeigt, dass jede begrenzt erzeugte periodische Gruppe, die eine Untergruppe der Gruppe von invertible n x n Komplex matrices war, begrenzt war; er hat diesen Lehrsatz verwendet, um den Lehrsatz des Jordans-Schur zu beweisen.

Dennoch hat sich die allgemeine Antwort auf das Problem von Burnside erwiesen, negativ zu sein. 1964 haben Golod und Shafarevich eine unendliche Gruppe des Typs Burnside gebaut ohne anzunehmen, dass alle Elemente Ordnung gleichförmig begrenzt haben. 1968 haben Pyotr Novikov und Sergei Adian eine negative Lösung des begrenzten Hochzahl-Problems für alle sonderbaren Hochzahlen geliefert, die größer sind als 4381. 1982, A. Yu. Ol'shanskii hat einige bemerkenswerte Gegenbeispiele für genug große sonderbare Hochzahlen (größer gefunden als 10), und hat einen beträchtlich einfacheren auf geometrischen Ideen gestützten Beweis geliefert.

Der Fall von sogar Hochzahlen hat sich erwiesen, viel härter zu sein, sich niederzulassen. 1992 hat S. V. Ivanov die negative Lösung für genug große gleiche Hochzahlen bekannt gegeben, die durch eine große Macht 2 teilbar sind (ausführlich berichtete Beweise wurden 1994 veröffentlicht und haben ungefähr 300 Seiten besetzt). Später hat die gemeinsame Arbeit von Ol'shanskii und Ivanov eine negative Lösung einer Entsprechung des Problems von Burnside für Hyperbelgruppen gegründet, vorausgesetzt dass die Hochzahl genug groß ist. Im Vergleich, wenn die Hochzahl klein und von 2,3,4 und 6 verschieden ist, ist sehr wenig bekannt.

Problem von General Burnside

Eine Gruppe G wird periodisch genannt, wenn jedes Element begrenzte Ordnung hat; mit anderen Worten, für jeden g in G, dort besteht eine positive ganze Zahl n solch dass g = 1. Klar ist jede begrenzte Gruppe periodisch. Dort bestehen Sie leicht definierte Gruppen wie die P-Gruppe, die unendliche periodische Gruppen sind; aber die letzte Gruppe kann nicht begrenzt erzeugt werden.

Das Problem von General Burnside kann wie folgt aufgeworfen werden:

: Wenn G eine periodische Gruppe ist, und G begrenzt erzeugt wird, dann muss G, notwendigerweise eine begrenzte Gruppe sein?

Diese Frage wurde 1964 von Evgeny Golod und Igor Shafarevich verneint, der ein Beispiel einer unendlichen P-Gruppe angeführt hat, die begrenzt erzeugt wird (sieh Lehrsatz von Golod-Shafarevich). Jedoch werden die Ordnungen der Elemente dieser Gruppe durch eine einzelne Konstante nicht a priori begrenzt.

Begrenztes Burnside Problem

Ein Teil der Schwierigkeit mit dem Problem von General Burnside ist, dass die Voraussetzungen, begrenzt erzeugt zu werden, und periodisch sehr wenig Information über die mögliche Struktur einer Gruppe geben. Denken Sie eine periodische Gruppe G mit dem zusätzlichen Eigentum, dass dort eine einzelne ganze Zahl n solch das für den ganzen g in G, g = 1 besteht. Wie man sagt, ist eine Gruppe mit diesem Eigentum mit der begrenzten Hochzahl n, oder gerade einer Gruppe mit der Hochzahl n periodisch. Das Problem von Burnside für Gruppen mit der begrenzten Hochzahl fragt:

: Wenn G eine begrenzt erzeugte Gruppe mit der Hochzahl n ist, ist G notwendigerweise begrenzt?

Es stellt sich heraus, dass dieses Problem als eine Frage über die Endlichkeit von Gruppen in einer besonderen Familie neu formuliert werden kann. Die freie Gruppe von Burnside der Reihe M und Hochzahl n, angezeigter B (M, n), ist eine Gruppe mit der M, haben Generatoren x, …, x unterschieden, in dem die Identität x = 1 für alle Elemente x hält, und der die "größte" Gruppe ist, die diese Voraussetzungen befriedigt. Genauer besteht das charakteristische Eigentum von B (M, n) darin, dass, in Anbetracht jeder Gruppe G mit der M Generatoren g, …, g und der Hochzahl n, es einen einzigartigen Homomorphismus von B (M, n) zu G gibt, der den ith Generator x B (M, n) in den ith Generator g G kartografisch darstellt. Auf der Sprache von Gruppenpräsentationen hat freie Gruppe von Burnside B (M, n) M Generatoren x, …, x und die Beziehungen x = 1 für jedes Wort x in x, …, x, und jede Gruppe G mit der M Generatoren der Hochzahl n wird dabei erhalten, indem sie zusätzliche Beziehungen auferlegt. Die Existenz der freien Gruppe von Burnside und seiner Einzigartigkeit bis zu einem Isomorphismus wird durch Standardtechniken der Gruppentheorie gegründet. So, wenn G eine begrenzt erzeugte Gruppe der Hochzahl n ist, dann kann G ein homomorphic Image von B (M, n), wo M die Zahl von Generatoren des Problems von G. Burnside ist, jetzt wie folgt neu formuliert werden:

: Für welche positive ganze Zahlen M, n die freie Gruppe von Burnside B (M, n) begrenzt ist?

Die volle Lösung des Problems von Burnside in dieser Form ist nicht bekannt. Burnside hat einige leichte Fälle in seiner ursprünglichen Zeitung in Betracht gezogen:

• Für die M = 1 und jeder positive n, B (1, n) ist die zyklische Gruppe des Auftrags n.
• B (M, 2) ist das direkte Produkt der M Kopien der zyklischen Gruppe des Auftrags 2. Der Schlüsselschritt ist zu bemerken, dass die Identität = b = (ab) = 1 zusammen andeutet, dass ab = ba, so dass eine freie Gruppe von Burnside der Hochzahl zwei notwendigerweise abelian ist.

Die folgenden zusätzlichen Ergebnisse sind (Burnside, Sanov, M Saal) bekannt:

• B (M, 3), B (M, 4), und B (M, 6) sind für die ganze M begrenzt.

Der besondere Fall von B (2, 5) bleibt offen: Es war nicht bekannt, ob diese Gruppe begrenzt ist.

Der Durchbruch im Problem von Burnside wurde von Pyotr Novikov und Sergei Adian 1968 erreicht.

Mit einem komplizierten kombinatorischen Argument haben sie demonstriert, dass für jede ungerade Zahl n mit n> 4381, dort unendlich, begrenzt erzeugte Gruppen der Hochzahl n bestehen Sie. Adian hat später das gebundene die sonderbare Hochzahl zu 665 verbessert. Der Fall sogar der Hochzahl hat sich erwiesen, beträchtlich schwieriger zu sein. Es war nur 1992, dass Sergei Vasilievich Ivanov im Stande gewesen ist, eine Entsprechung des Novikov-Adian Lehrsatzes zu beweisen: Für jeden m> 1 und sogar n  2, n teilbar durch 2, ist die Gruppe B (M, n) unendlich. Sowohl Novikov-Adian als auch Ivanov haben beträchtlich genauere Ergebnisse auf der Struktur der freien Gruppen von Burnside eingesetzt. Im Fall von der sonderbaren Hochzahl, wie man zeigte, waren alle begrenzten Untergruppen der freien Gruppen von Burnside zyklische Gruppen. Im gleichen Hochzahl-Fall wird jede begrenzte Untergruppe in einem Produkt von zwei zweiflächigen Gruppen enthalten, und dort bestehen Sie nichtzyklische begrenzte Untergruppen. Außerdem, wie man zeigte, waren das Wort und die conjugacy Probleme in B (M, n) beide für die Fälle von geraden und ungeraden Hochzahlen n effektiv lösbar.

Eine berühmte Klasse von Gegenbeispielen zum Problem von Burnside wird von begrenzt erzeugten nichtzyklischen unendlichen Gruppen gebildet, in denen jede nichttriviale richtige Untergruppe eine begrenzte zyklische Gruppe, die so genannten Ungeheuer von Tarski ist. Die ersten Beispiele solcher Gruppen wurden von A. Yu gebaut. Ol'shanskii 1979 mit geometrischen Methoden, so bejahend O. Yu lösend. Das Problem von Schmidt. 1982 ist Ol'shanskii im Stande gewesen, seine Ergebnisse zu stärken, Existenz, für jede genug große Primzahl p zu gründen (man kann p> 10 nehmen) einer begrenzt erzeugten unendlichen Gruppe, in der jede nichttriviale richtige Untergruppe eine zyklische Gruppe des Auftrags p ist. In einer 1996 veröffentlichten Zeitung haben Ivanov und Ol'shanskii eine Entsprechung des Problems von Burnside in einer willkürlichen Hyperbelgruppe für genug große Hochzahlen gelöst.

Eingeschränktes Burnside Problem

Das eingeschränkte Problem von Burnside, formuliert in den 1930er Jahren, fragt einen anderen, verbunden, Frage:

: Wenn es bekannt ist, dass eine Gruppe G mit der M Generatoren und Hochzahl n begrenzt ist, kann man beschließen, dass die Ordnung von G durch eine Konstante begrenzt wird, die nur von der M und n abhängt? Gleichwertig gibt es nur begrenzt viele begrenzte Gruppen mit der M Generatoren der Hochzahl n bis zum Isomorphismus?

Diese Variante des Problems von Burnside kann auch in Bezug auf bestimmte universale Gruppen mit der M Generatoren und Hochzahl n festgesetzt werden. Durch grundlegende Ergebnisse der Gruppentheorie ist die Kreuzung von zwei Untergruppen des begrenzten Index in jeder Gruppe selbst eine Untergruppe des begrenzten Index. Lassen Sie M die Kreuzung aller Untergruppen der freien Gruppe von Burnside B sein (M, n), die begrenzten Index haben, dann ist M eine normale Untergruppe von B (M, n) (sonst, dort besteht eine Untergruppe gMg mit dem begrenzten Index, der Elemente nicht in M enthält). Man kann deshalb eine Gruppe B (M, n) definieren, um die Faktor-Gruppe B (M, n)/M zu sein. Jede begrenzte Gruppe der Hochzahl n mit der M Generatoren ist ein homomorphic Image von B (M, n).

Das eingeschränkte Problem von Burnside fragt dann, ob B (M, n) eine begrenzte Gruppe ist.

Im Fall von der Haupthochzahl p wurde dieses Problem von A. I. Kostrikin während der 1950er Jahre vor der negativen Lösung des Problems von General Burnside umfassend studiert. Seine Lösung, die Endlichkeit von B gründend (M, p), hat eine Beziehung mit tiefen Fragen über die Identität in Lüge-Algebra in der begrenzten Eigenschaft verwendet. Der Fall der willkürlichen Hochzahl ist bejahend von Efim Zelmanov völlig gesetzt worden, dem dem Feldorden 1994 für seine Arbeit verliehen wurde.

Zeichen

• S. Ich. Adian (1979) Das Burnside Problem und die Identität in Gruppen. Übersetzt aus dem Russen durch John Lennox und James Wiegold. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete [Läuft auf Mathematik und Zusammenhängende Gebiete], 95 hinaus. Springer-Verlag, Berlin-New-York. Internationale Standardbuchnummer 3-540-08728-1.
• S. V. Ivanov (1994) "Die freien Gruppen von Burnside von genug großen Hochzahlen," Internat. J. Algebra Comput. 4.
• S. V. Ivanov, A. Yu. Ol'shanskii (1996) "Hyperbelgruppen und ihre Quotienten von begrenzten Hochzahlen," Trans. Amer. Mathematik. Soc. 348: 2091-2138.
• A. Ich. Kostrikin (1990) Um Burnside. Übersetzt aus dem Russen und mit einer Einleitung durch James Wiegold. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Läuft auf Mathematik und Zusammenhängende Gebiete (3)], 20 hinaus. Springer-Verlag, Berlin. Internationale Standardbuchnummer 3-540-50602-0.
• A. Yu. Ol'shanskii (1989) Geometrie, Beziehungen in Gruppen zu definieren. Übersetzt aus dem durch Yu ursprünglichen 1989-Russen. A. Bakhturin (1991) Mathematik und seine Anwendungen (sowjetische Reihe), 70. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group. Internationale Standardbuchnummer 0-7923-1394-1.

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Außenverbindungen

• Die Geschichte des Burnside Problems an der Geschichte von MacTutor der Mathematik archiviert