In der Mathematik wird eine Funktion auf den reellen Zahlen eine Schritt-Funktion genannt (oder Treppe-Funktion), wenn es als eine begrenzte geradlinige Kombination von Anzeigefunktionen von Zwischenräumen geschrieben werden kann. Informell sprechend, ist eine Schritt-Funktion eine piecewise unveränderliche Funktion, die nur begrenzt viele Stücke hat.

Definition und die ersten Folgen

Eine Funktion wird eine Schritt-Funktion genannt, wenn sie als geschrieben werden kann

: für alle reellen Zahlen

wo reelle Zahlen sind, Zwischenräume sind, und die Anzeigefunktion ist:

:

\begin {Fälle }\

1 & \mbox {wenn} x \in A, \\

0 & \mbox {wenn} x \notin A. \\

\end {Fälle }\

</Mathematik>

In dieser Definition, wie man annehmen kann, haben die Zwischenräume die folgenden zwei Eigenschaften:

1. Die Zwischenräume sind für zusammenhanglos
2. Die Vereinigung der Zwischenräume ist die komplette echte Linie,

Tatsächlich, wenn das nicht der Fall ist, um damit anzufangen, kann ein verschiedener Satz von Zwischenräumen aufgepickt werden, für den diese Annahmen halten. Zum Beispiel, die Schritt-Funktion

:

kann als geschrieben werden

:

Beispiele

• Eine unveränderliche Funktion ist ein triviales Beispiel einer Schritt-Funktion. Dann gibt es nur einen Zwischenraum,
• Die Heaviside-Funktion H (x) ist eine wichtige Schritt-Funktion. Es ist das mathematische Konzept hinter einigen Testsignalen, wie diejenigen, die verwendet sind, um die Schritt-Antwort eines dynamischen Systems zu bestimmen.
• Die rechteckige Funktion, die normalisierte Frachtwaggon-Funktion, ist die folgende einfachste Schritt-Funktion und wird verwendet, um einen Einheitspuls zu modellieren.

Nichtbeispiele

• Die Teil-Funktion der ganzen Zahl ist nicht eine Schritt-Funktion gemäß der Definition dieses Artikels, da es eine unendliche Zahl von Zwischenräumen hat. Jedoch definieren einige Autoren Schritt-Funktionen auch mit einer unendlichen Zahl von Zwischenräumen.

Eigenschaften

• Die Summe und das Produkt von zwei Schritt-Funktionen sind wieder eine Schritt-Funktion. Das Produkt einer Schritt-Funktion mit einer Zahl ist auch eine Schritt-Funktion. Als solcher bilden die Schritt-Funktionen eine Algebra über die reellen Zahlen.
• Eine Schritt-Funktion nimmt nur eine begrenzte Zahl von Werten. Wenn die Zwischenräume in der obengenannten Definition der Schritt-Funktion zusammenhanglos sind und ihre Vereinigung die echte Linie, dann für den ganzen ist
• Das Lebesgue Integral einer Schritt-Funktion ist, wo die Länge des Zwischenraums ist und es hier angenommen wird, dass alle Zwischenräume begrenzte Länge haben. Tatsächlich kann diese Gleichheit (angesehen als eine Definition) der erste Schritt im Konstruieren von integriertem Lebesgue sein.

Siehe auch

• Einfache Funktion
• Piecewise hat Funktion definiert
• Sigmoid fungieren
• Schritt-Entdeckung