In der Physik sind das Zentrum der Masse oder barycenter eines Körpers ein Punkt im Raum, wo, zum Zweck von verschiedenen Berechnungen, wie man annehmen kann, die komplette Masse eines Körpers konzentriert wird. (In Wirklichkeit kann keine der Masse des Gegenstands an diesem Punkt bezüglich des Beispiels in einem Reifen oder einem leeren Kasten sein.)

Das Zentrum der Masse eines Körpers kann als die Position des gewogenen Mittelwertes der Massenpartikeln des Körpers definiert werden. Im Fall von einem starren Körper wird das Zentrum der Masse in Bezug auf den Körper befestigt, und es kann oder kann mit dem geometrischen Zentrum nicht zusammenfallen. Im Fall von einem losen Vertrieb von Massen, wie die Planeten des Sonnensystems, kann das Zentrum der Masse der Position keiner individuellen Masse entsprechen.

Das Massenzentrum folgt häufig einfachen Gleichungen der Bewegung, und es ist ein günstiger Bezugspunkt für viele andere Berechnungen in der Mechanik, wie winkeliger Schwung und Moment der Trägheit. In vielen Anwendungen, wie Augenhöhlenmechanik, können Gegenstände durch Punkt-Massen ersetzt werden, die an ihren Massenzentren zu den Zwecken von mehreren Typen der Analyse gelegen sind. Das Zentrum des Massenrahmens ist ein Trägheitsrahmen, in dem das Zentrum der Masse eines Systems am Ursprung des Koordinatensystems beruhigt ist.

Ernst

Das Zentrum der Masse wird häufig das Zentrum des Ernstes genannt, weil jedes gleichförmige Schwerefeld g einem System folgt, als ob die MassenM des Systems am Zentrum der Masse R konzentriert wurde. Spezifisch ist die potenzielle Gravitationsenergie der potenziellen Energie einer Punkt-Masse M an R gleich, und das Gravitationsdrehmoment ist dem Drehmoment eines Kraft-Mg gleich, das an R handelt. In einem gleichförmigen Schwerefeld ist das Zentrum der Masse ein Zentrum des Ernstes, und im allgemeinen Gebrauch, die zwei Ausdrücke werden als Synonyme verwendet.

In einem ungleichförmigen Feld können Gravitationseffekten wie potenzielle Energie, Kraft und Drehmoment mit dem Zentrum der Masse allein nicht mehr berechnet werden. Insbesondere ein ungleichförmiges Schwerefeld kann ein Drehmoment auf einem Gegenstand erzeugen, es veranlassend, zu rotieren. Das Zentrum des Ernstes, ein Anwendungspunkt der resultierenden Gravitationskraft, kann nicht bestehen oder nicht einzigartig sein; sieh Zentren des Ernstes in ungleichförmigen Feldern.

Definition

Das Zentrum der Masse eines Systems von Partikeln der Gesamtmasse wird als der Durchschnitt ihrer Positionen definiert durch ihre Massen beschwert:

Für einen dauernden Vertrieb mit der Massendichte wird die Summe ein Integral:

Wenn ein Gegenstand gleichförmige Dichte dann hat, ist sein Zentrum der Masse dasselbe als der centroid seiner Gestalt.

Beispiele

• Das Zentrum der Masse eines Zwei-Partikeln-Systems liegt auf der Linie, die die Partikeln (oder, genauer, ihre individuellen Zentren der Masse) verbindet. Das Zentrum der Masse ist am massiveren Gegenstand näher; für Details, sieh unten.
• Das Zentrum der Masse eines gleichförmigen Rings ist am Zentrum des Rings; außerhalb des Materials, das den Ring zusammensetzt.
• Das Zentrum der Masse eines gleichförmigen festen Dreiecks liegt auf allen drei Mittellinien und deshalb am centroid, der auch der Durchschnitt der drei Scheitelpunkte ist.
• Das Zentrum der Masse eines gleichförmigen Rechtecks ist an der Kreuzung der zwei Diagonalen.
• In einem kugelförmig symmetrischen Körper ist das Zentrum der Masse am geometrischen Zentrum. Das gilt ungefähr für die Erde: Die Dichte ändert sich beträchtlich, aber sie hängt hauptsächlich von Tiefe und weniger auf der Breite und den Länge-Koordinaten ab.

Mehr allgemein, für jede Symmetrie eines Körpers, wird sein Zentrum der Masse ein fester Punkt dieser Symmetrie sein.

Eigenschaften

Schwung

Für jedes System ohne Außenkräfte, das Zentrum von Massenbewegungen mit der unveränderlichen Geschwindigkeit. Das bewirbt sich um alle Systeme mit klassischen inneren Kräften, einschließlich magnetischer Felder, elektrischer Felder, chemischer Reaktionen und so weiter. Mehr formell ist das für irgendwelche inneren Kräfte wahr, die das Dritte Gesetz des Newtons befriedigen.

Der Gesamtschwung für jedes System von Partikeln wird durch gegeben

wo M die Gesamtmasse anzeigt, und v die Geschwindigkeit des Zentrums der Masse ist. Diese Geschwindigkeit kann durch die Einnahme der Zeitableitung der Position des Zentrums der Masse geschätzt werden. Eine Entsprechung dem Zweiten Gesetz des Newtons ist

wo F die Summe aller Außenkräfte auf dem System und ein Anzeigen der Beschleunigung des Zentrums der Masse anzeigt. Es ist dieser Grundsatz, der genauen Ausdruck dem intuitiven Begriff gibt, dass sich das System als Ganzes wie eine Masse der an R gelegten M benimmt.

Der winkelige Schwung-Vektor für ein System ist dem winkeligen Schwung aller Partikeln um das Zentrum der Masse plus der winkelige Schwung des Zentrums der Masse gleich, als ob es eine einzelne Partikel der Masse war:

Das ist eine Folgeerscheinung des parallelen Achse-Lehrsatzes.

Geschichte

Das Konzept eines Zentrums des Ernstes wurde zuerst vom alten griechischen Physiker, Mathematiker und Ingenieur Archimedes von Syracuse eingeführt. Er hat mit vereinfachten Annahmen über den Ernst gearbeitet, die sich auf ein gleichförmiges Feld belaufen, so die mathematischen Eigenschaften dessen erreichend, was wir jetzt das Zentrum der Masse nennen. Archimedes hat gezeigt, dass das Drehmoment, das auf einen Hebel durch Gewichte ausgeübt ist, die sich an verschiedenen Punkten entlang dem Hebel ausruhen, dasselbe als ist, was es sein würde, wenn alle Gewichte zu einem einzelnen Punkt — ihr Zentrum der Masse bewegt würden. In der Arbeit an Schwimmkörpern hat er demonstriert, dass die Orientierung eines Schwimmgegenstands diejenige ist, die sein Zentrum der Masse so niedrig macht wie möglich. Er hat mathematische Techniken entwickelt, für die Zentren der Masse von Gegenständen der gleichförmigen Dichte von verschiedenen bestimmten Gestalten zu finden.

Spätere Mathematiker, die die Theorie des Zentrums der Masse entwickelt haben, schließen Pappus Alexandrias, Guido Ubaldi, ein

Francesco Maurolico,

Federico Commandino,

Simon Stevin,

Luca Valerio, Jean-Charles de la Faille, Paul Guldin, John Wallis, Louis Carré, Pierre Varignon und Alexis Clairaut.

Das zweite Gesetz des Newtons wird in Bezug auf das Zentrum der Masse im ersten Gesetz von Euler wiederformuliert.

Das Auffinden des Zentrums der Masse

Eine experimentelle Methode, für das Zentrum der Masse ausfindig zu machen, soll den Gegenstand von zwei Positionen aufheben und Senklote von den Anschlagpunkten fallen zu lassen. Die Kreuzung der zwei Linien ist das Zentrum der Masse.

Die Gestalt eines Gegenstands könnte bereits mathematisch bestimmt werden, aber es kann zu kompliziert sein, um eine bekannte Formel zu verwenden. In diesem Fall kann man die komplizierte Gestalt in einfachere, elementarere Gestalten unterteilen, deren Zentren der Masse leicht sind zu finden. Wenn die Gesamtmasse und das Zentrum der Masse für jedes Gebiet bestimmt werden können, dann ist das Zentrum der Masse des Ganzen der gewogene Mittelwert der Zentren. Diese Methode kann sogar für Gegenstände mit Löchern arbeiten, die als negative Massen verantwortlich gewesen werden können.

Eine direkte Entwicklung des planimeter bekannt als ein integraph oder integerometer, kann verwendet werden, um die Position des centroid oder das Zentrum der Masse einer unregelmäßigen zweidimensionalen Gestalt zu gründen. Diese Methode kann auf eine Gestalt mit einer unregelmäßigen, glatten oder komplizierten Grenze angewandt werden, wo andere Methoden zu schwierig sind. Es wurde regelmäßig von Schiff-Baumeistern verwendet, um sicherzustellen, dass das Schiff nicht kentern würde.

Anwendungen

Ingenieure versuchen, ein Zentrum eines Sportwagens der Masse so niedrig zu entwerfen, wie möglich, um das Auto besser behandeln zu lassen. Wenn hohe Springer einen Fosbury "Misserfolg" durchführen, biegen sie ihren Körper auf solche Art und Weise, dass er die Bar klärt, während sein Zentrum der Masse nicht tut.

Luftfahrt

Das Zentrum der Masse ist ein wichtiger Punkt auf einem Flugzeug, das bedeutsam die Stabilität des Flugzeuges betrifft. Das Flugzeug zu sichern, ist stabil genug, um sicher zu sein, zu fliegen, das Zentrum der Masse muss innerhalb von angegebenen Grenzen fallen. Wenn das Zentrum der Masse vor der Vorwärtsgrenze ist, wird das Flugzeug vielleicht zum Punkt weniger manövrierfähig sein, unfähig zu sein, für das Take-Off oder Aufflackern für die Landung zu rotieren. Wenn das Zentrum der Masse hinten achtern Grenze ist, wird das Flugzeug mehr manövrierfähig, sondern auch weniger stabil, und vielleicht so nicht stabil sein, dass es unmöglich ist zu fliegen. Der Moment-Arm des Aufzugs wird auch reduziert, der es schwieriger macht, sich von einer eingestellten Bedingung zu erholen.

Für Hubschrauber darin schwanken, das Zentrum der Masse ist immer direkt unter dem rotorhead. Im Vorwärtsflug wird sich das Zentrum der Masse achtern bewegen, um das negative erzeugte Wurf-Drehmoment durch die Verwendung zyklischer Kontrolle zu erwägen, um den Hubschrauber vorwärts anzutreiben; folglich fliegt ein Reisehubschrauber "Nase unten" im Horizontalflug.

Astronomie

Das Zentrum der Masse spielt eine wichtige Rolle in der Astronomie und Astrophysik, wo es allgemein den barycenter genannt wird. Der barycenter ist der Punkt zwischen zwei Gegenständen, wo sie einander erwägen; es ist das Zentrum der Masse wo zwei oder mehr Himmelskörper-Bahn einander. Wenn Mondbahnen ein Planet oder ein Planet einen Stern umkreist, umkreisen beide Körper wirklich um einen Punkt, der weg vom Zentrum des primären (größeren) Körpers liegt. Zum Beispiel umkreist der Mond das genaue Zentrum der Erde, aber einen Punkt auf einer Linie zwischen dem Zentrum der Erde und dem Mond, etwa 1,710 km um 1062 Meilen unter der Oberfläche der Erde nicht, wo ihre jeweiligen Massen balancieren. Das ist der Punkt, über den die Erd- und Mondbahn weil sie um die Sonne reisen. Wenn der Unterschied in der Masse, z.B Pluto und Charon kleiner ist, wird der barycenter außerhalb beider Körper fallen.

Siehe auch

• Zentrum des Schlagzeugs
• Zentrum des Drucks (flüssige Mechanik)
• Zentrum des Drucks (Landortsveränderung)
• Massenpunkt-Geometrie
• Höhe von Metacentric
• Rollenzentrum
• Gewicht-Vertrieb

Referenzen

Außenverbindungen

• Die Bewegung des Zentrums von Massenshows, dass die Bewegung des Zentrums der Masse eines Gegenstands im freien Fall dasselbe als die Bewegung eines Punkt-Gegenstands ist.
• Die barycenter Simulationen des Sonnensystems, der Wirkung jeden Planeten zeigend, tragen zum barycenter des Sonnensystems bei