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Summe von Riemann

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In der Mathematik ist eine Summe von Riemann eine Methode, für dem Gesamtgebiet unter einer Kurve auf einem Graphen, sonst bekannt als ein Integral näher zu kommen. Es kann

werden Sie auch verwendet, um die Integrationsoperation zu definieren. Die Methode wurde nach dem deutschen Mathematiker Bernhard Riemann genannt.

Definition

Lässt f: D → R, eine Funktion sein, die auf einer Teilmenge D der echten Linie R definiert ist. Lassen Sie ich = [a, b], ein geschlossener Zwischenraum sein, habe in D enthalten, und P = {x, x), x, x)... [x, x]} eine Teilung von mir, wo = x. sein zu lassen.. = b.

Die Summe von Riemann von f über werde mich mit der Teilung P als definiert

wo x ≤ x  x. Die Wahl von x in diesem Zwischenraum ist willkürlich. Wenn x = x für alles ich, dann wird S eine linke Summe von Riemann genannt. Wenn x = x, dann wird S ein Recht Summe von Riemann genannt. Wenn x = (x+x), dann wird S eine Mitte Summe von Riemann genannt. Der Durchschnitt des verlassenen und Rechts Summe von Riemann ist die trapezoide Summe.

Wenn es vorausgesetzt, dass ist

wo v das Supremum von f über [x, x] ist, dann wird S definiert, um eine obere Summe von Riemann zu sein. Ähnlich, wenn v der infimum von f über [x, x] ist, dann ist S eine niedrigere Summe von Riemann.

Jede Summe von Riemann auf einer gegebenen Teilung (d. h. für jede Wahl von x zwischen x und x) wird zwischen tiefer und die oberen Summen von Riemann enthalten. Eine Funktion wird definiert, um Riemann integrable zu sein, wenn der niedrigere und obere Riemann resümiert, werden jemals näher, wie die Teilung feiner und feiner wird. Diese Tatsache kann auch für die numerische Integration verwendet werden.

Methoden

Den vier Methoden der Summierung von Riemann wird gewöhnlich am besten mit Teilungen der gleichen Größe genähert. Der Zwischenraum wird deshalb in Subzwischenräume, jede der Länge geteilt. Die Punkte in der Teilung werden dann sein

Verlassene Summe

Für die linke Summe von Riemann, der Funktion durch seinen Wert am nach Linksendpunkt näher kommend, gibt vielfache Rechtecke mit der Basis Δx und Höhe f (+ iΔx). Das weil ich = 0, 1..., n &minus tuend; 1, und das Zusammenzählen der resultierenden Gebiete gibt

Die linke Summe von Riemann beläuft sich auf eine Überschätzung, wenn f monotonically ist, der auf diesem Zwischenraum und einer Unterschätzung abnimmt, wenn es Monotonically-Erhöhung ist.

Richtige Summe

f wird hier durch den Wert am richtigen Endpunkt näher gekommen. Das gibt vielfache Rechtecke mit der Basis und Höhe. Das Tun davon für und das Zusammenzählen der resultierenden Gebiete erzeugen

Die Recht-Summe von Riemann beläuft sich auf eine Überschätzung, wenn Monotonically-Erhöhung und eine Unterschätzung ist, wenn es das Monotonically-Verringern ist.

Mittlere Summe

Das Approximieren f am Mittelpunkt von Zwischenräumen gibt f (+ Q/2) für den ersten Zwischenraum, für den folgenden f (+ 3Q/2), und so weiter bis f (b − Q/2). Das Summieren der Gebiete gibt

Der Fehler dieser Formel wird sein

wo der maximale Wert des absoluten Werts auf dem Zwischenraum ist.

Trapezoide Regel

In diesem Fall wird den Werten der Funktion f auf einem Zwischenraum durch den Durchschnitt der Werte am verlassenen und den richtigen Endpunkten näher gekommen. Auf dieselbe Weise wie oben erzeugt eine einfache Berechnung mit der Bereichsformel für ein Trapez mit parallelen Seiten b, b und Höhe h

wo der maximale Wert des absoluten Werts von ist

Beispiel

Ein Beispiel nehmend, kann das Gebiet unter der Kurve zwischen 0 und 2 mit der Methode von Riemann verfahrensrechtlich geschätzt werden.

Der Zwischenraum von 0 bis 2 wird in n Subzwischenräume erstens geteilt, von denen jeder eine Breite dessen gegeben wird; das sind die Breiten der Rechtecke von Riemann. Weil das Recht Summe von Riemann, soll die Folge von X-Koordinaten für die Kästen verwendet werden, sein wird. Deshalb wird die Folge der Höhen der Kästen sein. Es ist eine wichtige Tatsache das, und.

Das Gebiet jedes Kastens wird sein und deshalb das n-te Recht, das Summe von Riemann sein wird:.

Folglich:

S &= \frac {8} {N^3} \left (1 + \cdots + i^2 + \cdots + n^2\right) \\

S &= \frac {8} {N^3} \left (\frac {n (n+1) (2n+1)} {6 }\\Recht) \\

S &= \frac {8} {N^3} \left (\frac {2n^3+3n^2+n} {6 }\\Recht) \\

S &= \frac {8} {3} + \frac {4} {n} + \frac {4} {3n^2 }\

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Wenn die Grenze als angesehen wird, kann es beschlossen werden, dass sich die Annäherung dem Ist-Wert des Gebiets unter der Kurve als die Zahl von Kasten-Zunahmen nähert. Folglich:

S &= \lim_ {n \rightarrow \infty }\\verlassen (\frac {8} {3} + \frac {4} {n} + \frac {4} {3n^2 }\\Recht) \\

S &= \frac {8} {3 }\

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Diese Methode stimmt mit dem bestimmten Integral, wie berechnet, auf mechanischere Weisen überein: