Die grüne Kurve ist (das Verwenden von zehn interpolierenden Punkten ebenso unter Drogeneinfluss).At die interpolierenden Punkte, der Fehler zwischen der Funktion und dem interpolierenden Polynom ist (definitionsgemäß) Null. Zwischen den interpolierenden Punkten (besonders im Gebiet in der Nähe von den Endpunkten 1 und 1), der Fehler zwischen der Funktion und dem interpolierenden Polynom wird schlechter für höherwertige Polynome.]]

Im mathematischen Feld der numerischen Analyse ist das Phänomen von Runge ein Problem der Schwingung an den Rändern eines Zwischenraums, der vorkommt, wenn er polynomische Interpolation mit Polynomen des hohen Grads verwendet. Es wurde von Carl David Tolmé Runge entdeckt, als man das Verhalten von Fehlern erforscht hat, als man polynomische Interpolation verwendet hat, um bestimmten Funktionen näher zu kommen.

Die Entdeckung war wichtig, weil sie zeigt, dass das Gehen zu höheren Graden Genauigkeit nicht immer verbessert. Das Phänomen ist dem Phänomen von Gibbs in Reihe-Annäherungen von Fourier ähnlich.

Einführung

Der Weierstrass Annäherungslehrsatz stellt fest, dass jeder dauernden Funktion f (x) definiert auf einem Zwischenraum [a, b] so nah gleichförmig näher gekommen werden kann wie gewünscht nach einer polynomischen Funktion P (x) des Grads ≤ n, d. h.,

Die Interpolation an gleich weit entfernten Punkten ist eine natürliche und wohl bekannte Annäherung, um näher kommende Polynome zu bauen.

Das Phänomen von Runge demonstriert jedoch, dass Interpolation auf auseinander gehende Annäherungen leicht hinauslaufen kann.

Problem

Denken Sie die Funktion:

Runge hat das gefunden, wenn diese Funktion an gleich weit entfernten Punkten x zwischen −1 und 1 solcher dass interpoliert wird:

mit einem Polynom P (x) des Grads ≤ n schwingt die resultierende Interpolation zum Ende des Zwischenraums, d. h. in der Nähe von −1 und 1. Es kann sogar bewiesen werden, dass der Interpolationsfehler zur Unendlichkeit neigt, wenn der Grad des Polynoms zunimmt:

Das zeigt, dass die Polynom-Interpolation des hohen Grads an gleich weit entfernten Punkten lästig sein kann.

Grund

Der Fehler zwischen der Erzeugen-Funktion und dem interpolierenden Polynom des Auftrags n wird durch gegeben

für einige in (−1, 1). So,

\max_ {-1 \leq x \leq 1} \frac {(n+1)!}

\max_ {-1 \leq x \leq 1} \prod_ {i=0} ^n |x-x_i |. </Mathematik>

Für den Fall der Funktion von Runge, die an gleich weit entfernten Punkten, interpoliert ist

jeder der zwei Vermehrer im für den Annäherungsfehler gebundenen oberen wächst zur Unendlichkeit mit n.

Obwohl häufig verwendet, das Phänomen von Runge zu erklären, tut die Tatsache, dass das des Fehlers gebundene obere zur Unendlichkeit geht, nicht notwendigerweise

deuten Sie natürlich an, dass der Fehler selbst auch mit n abweicht.

Milderungen zum Problem

Änderung von Interpolationspunkten

Die Schwingung kann durch das Verwenden von Knoten minimiert werden, die dichter zu den Rändern des Zwischenraums, spezifisch, mit der asymptotischen Dichte (auf dem Zwischenraum [1,1]) gegeben durch die Formel verteilt werden

1/\sqrt {1-x^2 }\

</Mathematik>.

Ein Standardbeispiel solch eines Satzes von Knoten ist Knoten von Tschebyscheff, für die, wie man versichert, sich der maximale Fehler im Approximieren der Funktion von Runge mit der Erhöhung polynomischer Ordnung vermindert. Das Phänomen demonstriert, dass hohe Grad-Polynome für die Interpolation mit gleich weit entfernten Knoten allgemein unpassend sind.

Gebrauch von piecewise Polynomen

Das Problem kann durch das Verwenden von Spline-Kurven vermieden werden, die piecewise Polynome sind. Wenn man versucht, den Interpolationsfehler zu vermindern, kann man die Zahl von polynomischen Stücken steigern, die verwendet werden, um das Fugenbrett zu bauen, anstatt den Grad der verwendeten Polynome zu vergrößern.

Gezwungene Minimierung

Man kann auch ein Polynom des höheren Grads (zum Beispiel statt) passen, und ein interpolierendes Polynom passen, dessen zuerst (oder zweit) Ableitung minimale Norm hat.

Kleinste Quadratanprobe

Eine andere Methode passt ein Polynom des niedrigeren Grads mit der Methode von kleinsten Quadraten. Allgemein, wenn man M gleich weit entfernte Punkte, wenn verwendet

Zusammenhängende Behauptungen aus der Annäherungstheorie

Für jeden vorherbestimmten Tisch von Interpolationsknoten gibt es eine dauernde Funktion, für die der Interpolationsprozess auf jenen Knoten abweicht. Für jede dauernde Funktion gibt es einen Tisch von Knoten, auf denen der Interpolationsprozess zusammenläuft. Interpolation von Tschebyscheff (d. h., auf Knoten von Tschebyscheff) läuft gleichförmig für jede absolut dauernde Funktion zusammen.

Siehe auch

• Vergleichen Sie sich mit dem Phänomen von Gibbs für sinusförmige Basisfunktionen
• Reihe von Taylor
• Knoten von Tschebyscheff
• Stein-Weierstrass Lehrsatz