In der Mathematik ist eine Funktion eine Beziehung zwischen einer Reihe von Eingängen und einer Reihe potenzieller Produktionen mit dem Eigentum, dass jeder Eingang mit genau einer Produktion verbunden ist. Ein Beispiel solch einer Beziehung wird durch die Regel f (x) = x definiert, der einen Eingang x mit seinem Quadrat verbindet, die beide reelle Zahlen sind. Die Produktion der Funktion f entsprechend einem Eingang x wird durch f (x) (gelesen "f x") angezeigt. Wenn der Eingang-3 ist, dann ist die Produktion 9, und wir können f (-3) = 9 schreiben.

Der Eingang zu einer Funktion wird häufig das Argument genannt, und die Produktion wird häufig den Wert genannt. Eingänge und Produktionen brauchen nicht Zahlen zu sein - sie können Elemente jedes Satzes, zum Beispiel geometrische Zahlen sein. Zum Beispiel konnte eine Funktion ein Dreieck mit der Nummer 3, ein Quadrat mit der Nummer 4 und so weiter vereinigen.

Es gibt viele Weisen, eine Funktion zu beschreiben oder zu vertreten. Einige Funktionen können durch eine Formel oder Algorithmus beschrieben werden, der erzählt, wie man die Produktion für einen gegebenen Eingang schätzt. Andere werden durch ein Bild, genannt den Graphen der Funktion gegeben. In der Wissenschaft werden viele Funktionen durch einen Tisch gegeben, der die Produktionen für ausgewählte Eingänge gibt. Eine Funktion kann durch seine Beziehung mit anderen Funktionen zum Beispiel als eine umgekehrte Funktion oder als eine Lösung einer Differenzialgleichung beschrieben werden. In der Analogie mit der Arithmetik ist es möglich, Hinzufügung, Subtraktion, Multiplikation und Abteilung von Funktionen zu definieren. Eine andere wichtige auf Funktionen definierte Operation ist Funktionszusammensetzung, wo die Produktion von einer Funktion der Eingang für eine andere Funktion wird.

Der Eingang und die Produktion werden häufig als ein befohlenes Paar ausgedrückt. Im Beispiel oben haben wir das befohlene Paar

Intuitive Beschreibung

Funktionen sind "die Hauptgegenstände der Untersuchung" in den meisten Feldern der modernen Mathematik. Weil Funktionen so weit verwendet werden, sind viele Traditionen um ihren Gebrauch aufgewachsen. Informell werden Funktionen häufig als Maschinen beschrieben, die einen Eingang nehmen und ihn in eine Produktion ändern. Der Eingang wird häufig durch den Brief x vertreten oder, wenn der Eingang eine bestimmte Zeit durch den Brief t ist. Die Produktion wird häufig durch den Brief y vertreten. Die Funktion selbst wird häufig f genannt. Die Notation zeigt an, dass genannter f einer Funktion genannten x eines Eingangs hat und eine Produktion y genannt hat.

Wenn eine Funktion häufig verwendet wird, kann ihr ein spezieller Name als, zum Beispiel, die Signum-Funktion einer reellen Zahl x gegeben, wie folgt definiert werden:

:

- 1 & \text {wenn} x

Der Satz aller erlaubten Eingänge zu einer gegebenen Funktion wird das Gebiet der Funktion genannt. Der Satz aller resultierenden Produktionen wird das Image oder die Reihe der Funktion genannt. Das Image ist häufig eine Teilmenge von einer Reihe von permissable Produktionen, genannt den codomain der Funktion. So, zum Beispiel, konnte die Funktion als sein Gebiet den Satz aller reellen Zahlen, als sein Image der Satz aller nichtnegativen reellen Zahlen, und als sein codomain der Satz aller reellen Zahlen nehmen. In diesem Fall würden wir f als eine reellwertige Funktion einer echten Variable beschreiben. Es ist nicht genug, "f zu sagen, ist eine Funktion", ohne das Gebiet und den codomain anzugeben, wenn diese vom Zusammenhang nicht bekannt sind. Eine Formel, die nicht eine richtig definierte Funktion selbstständig ist; jedoch ist es normal, um die größtmögliche Teilmenge von R als das Gebiet (in diesem Fall x  2 oder x  3) und R als der codomain zu nehmen.

Verschiedene Formeln oder Algorithmen können dieselbe Funktion beschreiben. Zum Beispiel ist genau dieselbe Funktion wie.

Außerdem muss eine Funktion nicht durch eine Formel, Ausdruck oder Algorithmus beschrieben werden, noch es Geschäft mit Zahlen überhaupt brauchen: Das Gebiet und codomain einer Funktion können willkürliche Sätze sein. Ein Beispiel einer Funktion, die nichtnumerischen Eingängen folgt, nimmt englische Wörter als Eingänge und gibt den ersten Brief des Eingangswortes als Produktion zurück.

Intuitiv ist eine Funktion eine Regel, die jedem Element x in einem Satz X ein einzigartiges Element y in einem Satz Y zuteilt. Jedoch ist es nicht ziemlich genau, von einer Funktion als seiend eine Regel zu sprechen. Eine Schwierigkeit, eine Funktion zu definieren, besteht auf diese Weise darin, dass die Begriffe "Regel" und "zuteilen", werden früher, und deshalb diese Definition nicht definiert, obwohl intuitiv appellierend, nicht logisch genau ist; oder diese Definieren-Funktion in der Regel der Anweisung führt zum Hineingehen in Kreise.. Dennoch wird diese informelle Definition umfassend von vielen Autoren besonders in Lehrbüchern verwendet; der springende Punkt ist, dass die Eingänge und Produktionen "irgendwie" paarweise angeordnet werden.

Eine Funktion kann mehr formell als eine Sammlung von Paaren von Elementen mit dem folgenden Eigentum beschrieben werden: Wenn und beide in der Sammlung, dann b = c sind. So enthält die Sammlung zwei verschiedene Paare mit demselben ersten Element nicht. Wenn x im Gebiet von f ist, dann muss es einen einzigartigen y, solch geben, der ein befohlenes Paar in f ist. Dieser einzigartige y wird dadurch angezeigt.

Formelle Definition

Gegebene Sätze X und Y, eine Funktion von X bis Y ist eine Reihe von befohlenen Paaren F von Mitgliedern dieser solcher Sätze dass für jeden x in X es gibt einen einzigartigen y in Y, für den das Paar im F.An Beispiel einer Funktion vom reals bis den reals ist, wird durch den Satz von befohlenen Paaren gegeben, wo x eine reelle Zahl ist. Diese Quadrieren-Funktion vom reals bis den reals wird dasselbe als die Funktion vom reals bis den nichtnegativen reals nicht betrachtet, weil sie zwei verschiedene Typen von Entitäten sind.

Die obengenannte Definition "einer Funktion von X bis Y" wird allgemein vereinbart, jedoch gibt es zwei verschiedene Weisen, wie eine "Funktion" normalerweise definiert wird, wo das Gebiet X und codomain Y nicht ausführlich oder implizit angegeben werden. Gewöhnlich ist das nicht ein Problem als das Gebiet und codomain werden normalerweise bekannt sein. Mit einer Definition, die Funktion sagend, die durch auf dem reals definiert ist, gibt keine Funktion völlig an, weil der codomain nicht angegeben wird, und im anderen es eine gültige Definition ist.

In einer Definition ist eine Funktion ein bestellter dreifache von Sätzen, schriftlich (X, Y, F), wo X das Gebiet ist, ist Y der codomain, und F ist eine Reihe von befohlenen Paaren. In jedem der befohlenen Paare ist das erste Element x vom Gebiet, das zweite Element y ist vom codomain, und eine notwendige Bedingung besteht darin, dass jedes Element im Gebiet das erste Element in genau einem befohlenem Paar ist.

In der anderen Definition wird eine Funktion als eine Reihe von befohlenen Paaren definiert, wo jedes erste Element nur einmal vorkommt. Das Gebiet ist der Satz aller ersten Elemente eines Paares, und es gibt keinen ausführlichen vom Image getrennten codomain. Konzepte wie surjective gelten für solche Funktionen nicht, ein codomain muss ausführlich angegeben werden.

Funktionen werden als ein Typ der Beziehung allgemein definiert. Eine Beziehung von X bis Y ist eine Reihe von befohlenen Paaren mit und. Eine Funktion von X bis Y kann als eine Beziehung von X bis Y beschrieben werden, der nach links ganz und richtig-einzigartig ist. Jedoch, wenn X und Y nicht angegeben werden, gibt es eine Unstimmigkeit über die Definition einer Beziehung, die dem für Funktionen anpasst. Normalerweise wird eine Beziehung gerade als eine Reihe von befohlenen Paaren definiert, und eine Ähnlichkeit wird als ein dreifacher definiert, jedoch wird die Unterscheidung zwischen den zwei häufig verschmiert, oder auf eine Beziehung wird nie verwiesen, ohne die zwei Sätze anzugeben. Die Definition einer Funktion als ein dreifacher definiert eine Funktion als ein Typ der Ähnlichkeit, wohingegen die Definition einer Funktion als ein befohlenes Paar eine Funktion als ein Typ der Beziehung definiert.

Die Notation zeigt an, dass f eine Funktion mit dem Gebiet X und codomain Y ist, und, wie man sagt, die Funktion f kartografisch darstellt oder Elemente X zu Elementen von Y vereinigt. Der Satz des ganzen y ist als das Image der Funktion bekannt, und braucht nicht der ganze der codomain zu sein. Der Begriff Reihe bezieht sich gewöhnlich auf das Image, aber manchmal bezieht es sich auf den codomain. Ein spezifischer Eingang in einer Funktion wird ein Argument der Funktion genannt. Weil jedes Argument x schätzt, wird der entsprechende einzigartige y im codomain den Funktionswert an x, Produktion von ƒ für ein Argument x oder dem Image von x unter dem ƒ genannt. Das Image von x kann als (x) ƒ oder als y geschrieben werden.

Der Graph einer Funktion ist sein Satz von befohlenen Paaren F. Das ist eine Abstraktion der Idee von einem Graphen als ein Bild, die auf einem Paar von Koordinatenäxten geplante Funktion zeigend; zum Beispiel, der Punkt oben 3 auf der horizontalen Achse und rechts von 9 auf der vertikalen Achse, liegt auf dem Graphen von

Wenn das Gebiet und codomain beide der Satz von reellen Zahlen sind, wie allgemein der Fall ist, sagen wir, dass f eine echte geschätzte Funktion einer echten Variable ist, und die Studie solcher Funktionen echte Variablen genannt wird. Wenn das Gebiet und codomain beide der Satz von komplexen Zahlen sind, dann sagen wir, dass f geschätzte Funktion eines Komplexes einer komplizierten Variable ist. Die Studie dieser Funktionen wird komplizierte Variablen genannt. In den meisten Situationen werden das Gebiet und codomain vom Zusammenhang verstanden, und nur die Beziehung zwischen dem Eingang und der Produktion wird gegeben, aber wenn, dann in echten Variablen wird das Gebiet auf nichtnegative Zahlen beschränkt, während in komplizierten Variablen das Gebiet alle komplexen Zahlen ist.

Das Gebiet X, kann aber wenn X =  dann F =  leer sein. Der codomain Y kann auch, aber wenn Y =  dann X =  und F =  leer sein. Solche leeren Funktionen sind nicht üblich, aber die Theorie sichert ihre Existenz.

Notation

Die formelle Beschreibung einer Funktion schließt normalerweise den Namen der Funktion, sein Gebiet, seinen codomain und eine Regel der Ähnlichkeit ein. So sehen wir oft eine zweiteilige Notation, ein Beispiel, das ist

:

f\colon \mathbf {N} &\\zu \mathbf {R} \\

n &\\mapsto \frac {n} {\\Pi }\

\end {richten} </Mathematik> {aus}

wo der erste Teil gelesen wird:

• "ƒ ist eine Funktion von N bis R" (man schreibt häufig informell "Lassen ƒ: X  Y", um zu bedeuten, "Lassen ƒ eine Funktion von X bis Y" sein), oder
• "ƒ ist eine Funktion auf N in R" oder
• "ƒ ist eine R-valued Funktion einer N-valued Variable",

und der zweite Teil wird gelesen:

• Karten zu

Hier hat die Funktion "ƒ" genannt hat die natürlichen Zahlen als Gebiet, die reellen Zahlen als codomain, und stellt n zu sich geteilt durch π kartografisch dar. Weniger formell könnte diese lange Form abgekürzt werden

:

wo f (n) als "f als Funktion von n" oder "f von n" gelesen wird. Es gibt einen Verlust der Information: Uns werden nicht mehr das Gebiet N und codomain R ausführlich gegeben.

Es ist üblich, die Parenthesen um das Argument wegzulassen, wenn es wenig Chance der Verwirrung so gibt:; Das ist als Präfix-Notation bekannt. Wenn man die Funktion nachdem schreibt, ist sein Argument, als darin, als Notation der postüblen Lage bekannt; zum Beispiel wird die Factorial-Funktion gewöhnlich n geschrieben!, wenn auch seine Generalisation, die Gammafunktion, Γ (n) geschrieben wird. Parenthesen werden noch verwendet, um Zweideutigkeiten aufzulösen und Priorität anzuzeigen, obwohl in einigen formellen Einstellungen der konsequente Gebrauch entweder des Präfixes oder der Notation der postüblen Lage das Bedürfnis nach irgendwelchen Parenthesen beseitigt.

Um eine Funktion manchmal zu definieren, wird eine Punktnotation verwendet, um die funktionelle Natur eines Ausdrucks zu betonen, ohne ein spezielles Symbol der Variable zuzuteilen. Zum Beispiel, tritt für die Funktion ein, tritt für die integrierte Funktion und so weiter ein.

Typen von Funktionen

Injective und Surjective-Funktionen

Drei wichtige Arten von Funktionen sind die Einspritzungen (oder isomorphe Funktionen), die das Eigentum dass wenn ƒ (a) = ƒ (b) dann ein Müssen in gleichen b haben; die Surjektionen (oder auf Funktionen), die das Eigentum haben, dass für jeden y im codomain es einen x im solchem Gebiet dass (x) ƒ = y gibt; und die Bijektionen, die sowohl isomorph sind als auch darauf. Diese Nomenklatur wurde von der Gruppe von Bourbaki eingeführt.

Wenn die Definition einer Funktion durch seinen Graphen nur verwendet wird, da der codomain nicht definiert wird, muss die "Surjektion" mit einer Behauptung über den Satz die Funktionskarten darauf begleitet werden. Zum Beispiel könnten wir ƒ-Karten auf den Satz aller reellen Zahlen sagen.

Funktionen mit vielfachen Eingängen und Produktionen

Das Konzept der Funktion kann zu einem Gegenstand erweitert werden, der eine Kombination zwei nimmt (oder mehr), schätzt Argument zu einem einzelnen Ergebnis. Dieses intuitive Konzept wird durch eine Funktion formalisiert, deren Gebiet das Kartesianische Produkt von zwei oder mehr Sätzen ist.

Denken Sie zum Beispiel die Funktion, die zwei ganze Zahlen zu ihrem Produkt vereinigt: ƒ (x, y) = x · y. Diese Funktion kann formell definiert werden als, Gebiet Z&times;Z, der Satz aller Paare der ganzen Zahl zu haben; codomain Z; und, für den Graphen, den Satz aller Paare ((x, y), x · y). Bemerken Sie, dass der erste Bestandteil jedes solchen Paares selbst ein Paar ist (ganzer Zahlen), während der zweite Bestandteil eine einzelne ganze Zahl ist.

Der Funktionswert des Paares (x, y) ist ƒ ((x, y)). Jedoch ist es üblich, um einen Satz von Parenthesen fallen zu lassen und ƒ (x, y) als eine Funktion von zwei Variablen, x und y zu betrachten. Funktionen von zwei Variablen können auf dem dreidimensionalen Kartesianer geplant werden, wie bestellt, verdreifacht sich der Form (x, y, f (x, y)).

Das Konzept kann noch weiter durch das Betrachten einer Funktion erweitert werden, die auch Produktion erzeugt, die als mehrere Variablen ausgedrückt wird. Denken Sie zum Beispiel, dass die ganze Zahl Funktion, mit dem Gebiet Z&times;N und codomain Z&times;N teilt. Das Endergebnis (Quotient, Rest) Paar ist ein einzelner Wert im als ein Kartesianisches Produkt gesehenen codomain.

Mit Currysoße zuzubereiten

Eine alternative Annäherung an das Berühren von Funktionen mit vielfachen Argumenten soll sie in eine Kette von Funktionen umgestalten, dass jeder ein einzelnes Argument nimmt. Zum Beispiel kann man dolmetschen Tragen (3,5) Bei, um zu bedeuten, "zuerst erzeugen eine Funktion, die 3 zu seinem Argument beiträgt, und dann wenden Sie sich, '3' Funktion zu 5 Hinzufügen Sie". Diese Transformation wird genannt mit Currysoße zubereitend: Tragen Sie 3 bei ist Curry (Tragen) angewandt auf 3 (Bei). Es gibt eine Bijektion zwischen den Funktionsräumen C und (dem C).

Wenn

man mit mit Currysoße zubereiteten Funktionen arbeitet, ist es üblich, um Präfix-Notation mit der Funktionsanwendung betrachtet nach links assoziativ zu verwenden, da die Nebeneinanderstellung von vielfachen Argumenten — als in (ƒ x y) — natürlich zur Einschätzung einer mit Currysoße zubereiteten Funktion kartografisch darstellt. Umgekehrt, wie man betrachtet, sind der  und die  Symbole richtig-assoziativ, so dass mit Currysoße zubereitete Funktionen durch eine Notation wie ƒ definiert werden können: Z  Z  Z = x  y  x · y.

Binäre Operationen

Die vertrauten binären Operationen der Arithmetik, Hinzufügung und Multiplikation, können als Funktionen von R&times;R bis R angesehen werden. Diese Ansicht wird in der abstrakten Algebra verallgemeinert, wo n-stufige Funktionen verwendet werden, um die Operationen von willkürlichen algebraischen Strukturen zu modellieren. Zum Beispiel wird eine abstrakte Gruppe als ein Satz X und ein Funktions-ƒ von X&times;X bis X definiert, der bestimmte Eigenschaften befriedigt.

Traditionell werden Hinzufügung und Multiplikation in der klammerlosen Darstellung geschrieben: x+y und x&times;y statt + (x, y) und &times; (x, y).

Funktionszusammensetzung

Die Funktionszusammensetzung von zwei oder mehr Funktionen nimmt die Produktion von einer oder mehr Funktionen als der Eingang von anderen. Der Funktions-ƒ: X  Y und g: Y  kann Z durch den ersten geltenden ƒ zu einem Argument x zusammengesetzt werden, um y = (x) ƒ und dann Verwendung g zu y zu erhalten, um z = g (y) zu erhalten. Die zerlegbare Funktion gebildet auf diese Weise vom allgemeinen ƒ und g kann geschrieben werden

:

g\circ f\colon X &\\zu Z \\

x&\\mapsto g (f (x)).

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Diese Notation folgt der solcher Form dass

:

Die Funktion auf dem Recht handelt zuerst und die Funktion auf den linken Taten die zweite, umkehrende englische Lesen-Ordnung. Wir erinnern uns an die Ordnung, indem wir die Notation als "g des ƒ" lesen. Die Ordnung ist wichtig, weil selten tun, bekommen wir dasselbe Ergebnis beide Wege. Nehmen Sie zum Beispiel (x) ƒ = x und g (x) = x+1 an. Dann g ((x) ƒ) = x+1, während ƒ (g (x)) = (x+1), der x+2x+1, eine verschiedene Funktion ist.

Auf eine ähnliche Weise kann die Funktion, die oben durch die Formel y = 5x20x+16x gegeben ist, durch das Bestehen mehrerer Funktionen, nämlich die Hinzufügung, Ablehnung und Multiplikation von reellen Zahlen erhalten werden.

Eine Alternative zur Doppelpunkt-Notation, günstig, wenn Funktionen zusammengesetzt werden, schreibt den Funktionsnamen über dem Pfeil. Zum Beispiel, wenn ƒ von g gefolgt wird, wo g die komplexe Zahl e erzeugt, können wir schreiben

:

Eine mehr wohl durchdachte Form davon ist das Ersatzdiagramm.

Identitätsfunktion

Die einzigartige Funktion über einen Satz X, der jedes Element zu sich kartografisch darstellt, wird die Identitätsfunktion nach X genannt, und normalerweise durch id angezeigt. Jeder Satz hat seine eigene Identitätsfunktion, so kann die Subschrift nicht weggelassen werden, wenn der Satz aus dem Zusammenhang nicht abgeleitet werden kann. Unter der Zusammensetzung ist eine Identitätsfunktion "neutral": Wenn ƒ Funktion von X bis Y, dann ist

:

f \circ \mathrm {id} _X &= f, \\

\mathrm {id} _Y \circ f &= f.

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Beschränkungen und Erweiterungen

Informell ist eine Beschränkung eines Funktions-ƒ das Ergebnis, sein Gebiet zurechtzumachen.

Genauer, wenn ƒ eine Funktion von einem X bis Y ist, und S jede Teilmenge X ist, ist die Beschränkung von ƒ zu S der Funktions-ƒ | von S bis solchen Y dass ƒ | (s) = ƒ für den ganzen s in S.

Wenn g eine Beschränkung von ƒ ist, dann wird es gesagt, dass ƒ eine Erweiterung von g ist.

Das Überlaufen von f: X  Y durch g: W  Y (auch genannt überwiegende Vereinigung) ist eine Erweiterung von g angezeigt als (f  g): (X  W)  Y. Sein Graph ist die mit dem Satz theoretische Vereinigung der Graphen von g und f. So verbindet es jedes Element des Gebiets von g zu seinem Image unter g und jedes andere Element des Gebiets von f zu seinem Image unter f. Das Überlaufen ist eine assoziative Operation; es hat die leere Funktion als ein Identitätselement. Wenn f und g gleich pointwise sind (z.B, sind die Gebiete von f und g zusammenhanglos), dann wird die Vereinigung von f und g definiert und ist ihrer überwiegenden Vereinigung gleich. Diese Definition stimmt mit der Definition der Vereinigung für binäre Beziehungen überein.

Umgekehrte Funktion

Wenn ƒ eine Funktion von X bis Y dann ist, ist eine umgekehrte Funktion für den ƒ, der durch den ƒ angezeigt ist, eine Funktion in der entgegengesetzten Richtung, von Y bis X, mit dem Eigentum, dass eine Hin- und Rückfahrt (eine Zusammensetzung) jedes Element in sich zurückgibt. Nicht jede Funktion hat ein Gegenteil; diejenigen, die tun, werden invertible genannt. Die umgekehrte Funktion besteht, wenn, und nur wenn ƒ eine Bijektion ist.

Als ein einfaches Beispiel, wenn ƒ eine Temperatur in Grad Celsius C zu Grad Fahrenhei F umwandelt, würden die Funktionsumwandeln-Grad Fahrenhei zu Grad Celsius ein passender ƒ sein.

:

f (C) &= \frac {9} {5} C + 32 \\

f^ {-1} (F) &= \frac {5} {9} (F - 32)

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Die Notation für die Zusammensetzung ist der Multiplikation ähnlich; tatsächlich manchmal wird es mit der Nebeneinanderstellung, dem gƒ ohne einen vorläufigen Kreis angezeigt. Mit dieser Analogie sind Identitätsfunktionen der multiplicative Identität, 1 ähnlich, und umgekehrte Funktionen sind Gegenstücken (folglich die Notation) ähnlich.

Für Funktionen, die Einspritzungen oder Surjektionen sind, hat verallgemeinert umgekehrte Funktionen können definiert, verlassen und richtige Gegenteile beziehungsweise genannt werden. Verlassene Gegenteile stellen zur Identität, wenn zusammengesetzt, nach links kartografisch dar; richtige Gegenteile, wenn zusammengesetzt, nach rechts.

Image eines Satzes

Das Konzept des Images kann vom Image eines Punkts zum Image eines Satzes erweitert werden. Wenn A eine Teilmenge des Gebiets ist, dann ist ƒ (A) die Teilmenge von im ƒ, der aus allen Images von Elementen von A besteht. Wir sagen, dass der ƒ (A) das Image unter f ist.

Der Gebrauch von ƒ (A), um das Image einer Teilmenge anzuzeigen AX entspricht, so lange keine Teilmenge des Gebiets auch ein Element des Gebiets ist. In einigen Feldern (z.B, in der Mengenlehre, wo Ordnungszahlen auch Sätze von Ordnungszahlen sind) ist es günstig oder sogar notwendig, die zwei Konzepte zu unterscheiden; die übliche Notation ist ƒ für den Satz {(x) ƒ: x  A\.

Bemerken Sie, dass das Image von ƒ das Image (X) ƒ seines Gebiets ist, und dass das Image von ƒ eine Teilmenge seines codomain ist.

Umgekehrtes Image

Das umgekehrte Image (oder Vorimage, oder genauer, abgeschlossene umgekehrte Image) einer Teilmenge B des codomain Y unter einem Funktions-ƒ sind die Teilmenge des Gebiets X definiert durch

:

Also, zum Beispiel ist das Vorimage {4, 9} unter der Quadrieren-Funktion der Satz {3, 2,2,3}.

Im Allgemeinen kann das Vorimage eines Singleton-Satzes (ein Satz mit genau einem Element) jede Zahl der Elemente enthalten. Zum Beispiel, wenn (x) ƒ = 7, dann ist das Vorimage {5} der leere Satz, aber das Vorimage {7} ist das komplette Gebiet. So ist das Vorimage eines Elements im codomain eine Teilmenge des Gebiets. Die übliche Tagung über das Vorimage eines Elements besteht darin, dass ƒ (b) ƒ ({b}), d. h. bedeutet

:

Ebenso bezüglich des Images verwenden einige Autoren eckige Klammern, um Verwirrung zwischen dem umgekehrten Image und der umgekehrten Funktion zu vermeiden. So würden sie ƒ [B] und ƒ [b] für das Vorimage eines Satzes und eines Singletons schreiben.

Das Vorimage eines Singleton-Satzes wird manchmal eine Faser genannt. Der Begriff Kern kann sich auf mehrere zusammenhängende Konzepte beziehen.

Das Spezifizieren einer Funktion

Eine Funktion kann durch jede mathematische Bedingung definiert werden, die jedes Argument für den entsprechenden Produktionswert verbindet. Wenn das Gebiet begrenzt ist, kann ein Funktions-ƒ durch das einfache Tabellieren aller Argumente x definiert werden, und ihre entsprechende Funktion schätzt (x) ƒ. Allgemeiner wird eine Funktion durch eine Formel, oder (mehr allgemein) ein Algorithmus — ein Rezept definiert, das erzählt, wie man den Wert von (x) ƒ gegeben jeder x im Gebiet schätzt.

Es gibt viele andere Weisen, Funktionen zu definieren. Beispiele schließen piecewise Definitionen, Induktion oder recursion, algebraischen oder analytischen Verschluss, Grenzen, analytische Verlängerung, unendliche Reihe, und als Lösungen integrierter und unterschiedlicher Gleichungen ein. Die Lambda-Rechnung stellt eine starke und flexible Syntax zur Verfügung, um Funktionen von mehreren Variablen zu definieren und zu verbinden. In der fortgeschrittenen Mathematik bestehen einige Funktionen wegen eines Axioms wie das Axiom der Wahl.

Berechenbarkeit

Funktionen, die ganze Zahlen an ganze Zahlen oder begrenzte Schnuren zu begrenzten Schnuren senden, können manchmal durch einen Algorithmus definiert werden, der eine genaue Beschreibung von einer Reihe von Schritten gibt, für die Produktion der Funktion von seinem Eingang zu schätzen. Durch einen Algorithmus definierbare Funktionen werden berechenbare Funktionen genannt. Zum Beispiel gibt der Euklidische Algorithmus einen genauen Prozess, um den größten allgemeinen Teiler von zwei positiven ganzen Zahlen zu schätzen. Viele der im Zusammenhang der Zahlentheorie studierten Funktionen sind berechenbar.

Grundsätzliche Ergebnisse der Berechenbarkeitstheorie zeigen, dass es Funktionen gibt, die genau definiert werden können, aber nicht berechenbar sind. Außerdem, im Sinne cardinality, sind fast alle Funktionen von den ganzen Zahlen bis ganze Zahlen nicht berechenbar. Die Zahl von berechenbaren Funktionen von ganzen Zahlen bis ganze Zahlen ist zählbar, weil die Zahl von möglichen Algorithmen ist. Die Zahl aller Funktionen von ganzen Zahlen bis ganze Zahlen ist höher: dasselbe als der cardinality der reellen Zahlen. So sind die meisten Funktionen von ganzen Zahlen bis ganze Zahlen nicht berechenbar. Spezifische Beispiele von unberechenbaren Funktionen, sind einschließlich der beschäftigten Biber-Funktion und Funktionen bekannt, die mit dem stockenden Problem und den anderen unentscheidbaren Problemen verbunden sind.

Funktionsräume

Der Satz aller Funktionen von einem Satz X zu einem Satz Y wird durch X  Y, durch [X  Y], oder durch Y angezeigt. Die letzte Notation wird durch die Tatsache motiviert, dass, wenn X und Y begrenzt sind und der Größe |X und |Y, dann die Zahl von Funktionen, X  Y |Y = |Y sind. Das ist ein Beispiel der Tagung von enumerative combinatorics, der Notationen für auf ihrem cardinalities gestützte Sätze zur Verfügung stellt. Wenn X unendlich ist und es mehr als ein Element in Y dann gibt, gibt es unzählbar viele Funktionen von X bis Y, obwohl nur zählbar viele von ihnen mit einer Formel oder Algorithmus ausgedrückt werden können.

Andere Beispiele sind das Multiplikationszeichen für das Kartesianische Produkt verwendeter X×Y, wo |X×Y = |X · |Y; das factorial Zeichen X! verwendet für den Satz von Versetzungen wo |X! | = |X!; und das binomische mitwirkende Zeichen, das für den Satz von N-Element-Teilmengen wo verwendet ist

Wenn ƒ: X  Y, es kann dass ƒ  [X  Y] vernünftig beschlossen werden.

Operationen von Pointwise

Operationen von Pointwise erben Eigenschaften von den entsprechenden Operationen auf dem codomain. Zum Beispiel, wenn ƒ: X  R und g: X  R sind Funktionen mit einem allgemeinen Gebiet X und allgemeinem codomain eines Rings R, dann der Summe-Funktions-ƒ + g: X  R und der Produktfunktions-ƒ  g: X  R können wie folgt definiert werden:

:

(f+g) (x) &= f (x) +g (x), \\

(f\cdot g) (x) &= f (x) \cdot g (x).

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Andere Eigenschaften

Es gibt viele andere spezielle Klassen von Funktionen, die für besondere Zweige der Mathematik oder besondere Anwendungen wichtig sind.

Hier ist eine teilweise Liste:

• Bijektion, Einspritzung und Surjektion, oder einzigartig:
• injective,
• surjective und
• bijektive Funktion
• dauernder
• differentiable, integrable
• geradliniger, polynomischer, vernünftiger
• algebraischer, transzendentaler
• trigonometrischer
• fractal
• seltsam oder sogar
• konvexer, monotonischer, unimodaler
• holomorphic, meromorphic, kompletter
• Vektor-geschätzter
• berechenbarer

Generalisationen

In einigen Teilen der Mathematik, einschließlich der recursion Theorie und Funktionsanalyse, ist es günstig, teilweise Funktionen zu studieren, in denen einige Werte des Gebiets keine Vereinigung im Graphen haben; d. h., einzeln geschätzte Beziehungen. Zum Beispiel, die Funktion f solch, dass f (x) = 1/x keinen Wert für x = 0 definiert, und auch nur eine teilweise Funktion von der echten Linie bis die echte Linie ist. Gesamtfunktion des Begriffes kann verwendet werden, um die Tatsache zu betonen, dass jedes Element des Gebiets wirklich als das erste Element eines befohlenen Paares im Graphen erscheint. In anderen Teilen der Mathematik werden nicht einzelne geschätzte Beziehungen mit Funktionen ähnlich verschmelzt: Diese werden mehrgeschätzte Funktionen, mit dem entsprechenden Begriff einzeln geschätzte Funktion für gewöhnliche Funktionen genannt.

Viele Operationen in der Mengenlehre, wie die Macht setzen, haben die Klasse aller Sätze als ihr Gebiet, und deshalb, obwohl sie als Funktionen informell beschrieben werden, passen sie die mit dem Satz theoretische Definition nicht, die oben entworfen ist, weil eine Klasse nicht notwendigerweise ein Satz ist.

Die Idee von Struktur bewahrenden Funktionen oder Homomorphismus, hat zum abstrakten Begriff von morphism, dem Schlüsselkonzept der Kategorie-Theorie geführt. Mehr kürzlich ist das Konzept von functor als eine Entsprechung einer Funktion in der Kategorie-Theorie verwendet worden.

Geschichte

Funktionen vor Leibniz

:Historically, einige Mathematiker können als vorausgesehen betrachtet werden und in der Nähe von einer modernen Formulierung des Konzepts der Funktion kommen. Unter ihnen ist Oresme (1323-1382)... In seiner Theorie scheinen einige allgemeine Ideen über unabhängige und abhängige variable Mengen da zu sein.

Weitere Zeichen von Ponte, dass "Das Erscheinen eines Begriffs der Funktion weil eine individualisierte mathematische Entität zu den Anfängen der unendlich kleinen Rechnung verfolgt werden kann".

Der Begriff "der Funktion" in der Analyse

Als ein mathematischer Begriff wurde "Funktion" von Gottfried Leibniz in einem 1673-Brief ins Leben gerufen, um eine Menge zu beschreiben, die mit einer Kurve wie ein Hang einer Kurve an einem spezifischen Punkt verbunden ist. Die Funktionen, die Leibniz gedacht hat, werden heute Differentiable-Funktionen genannt. Für diesen Typ der Funktion kann man über Grenzen und Ableitungen sprechen; beide sind Maße der Produktion oder der Änderung in der Produktion, weil es vom Eingang oder der Änderung im Eingang abhängt. Solche Funktionen sind die Basis der Rechnung.

Johann Bernoulli "vor 1718, war gekommen, um eine Funktion als jeder Ausdruck zu betrachten, der aus einer Variable und einigen Konstanten zusammengesetzt ist", und Leonhard Euler während der Mitte des 18. Jahrhunderts hat das Wort verwendet, um einen Ausdruck oder Formel zu beschreiben, die Variablen und Konstanten z.B einschließt.

Alexis Claude Clairaut (in ungefähr 1734) und Euler hat die vertraute Notation "f (x)" eingeführt.

Zuerst wurde die Idee von einer Funktion eher beschränkt. Joseph Fourier hat zum Beispiel behauptet, dass jede Funktion eine Reihe von Fourier, etwas hatte, was kein Mathematiker heute fordern würde. Indem sie die Definition von Funktionen verbreitert haben, sind Mathematiker im Stande gewesen, "fremde" mathematische Gegenstände wie dauernde Funktionen zu studieren, die nirgends differentiable sind. Wie man zuerst dachte, waren diese Funktionen nur theoretische Wissbegierde, und sie wurden "Ungeheuer" erst die Umdrehung des 20. Jahrhunderts insgesamt genannt. Jedoch haben starke Techniken von der Funktionsanalyse gezeigt, dass diese Funktionen in einem genauen Sinn sind, der üblicher ist als Differentiable-Funktionen. Solche Funktionen sind auf das Modellieren von physischen Phänomenen wie Brownsche Bewegung seitdem angewandt worden.

Während des 19. Jahrhunderts haben Mathematiker angefangen, alle verschiedenen Zweige der Mathematik zu formalisieren. Weierstrass hat empfohlen, Rechnung auf der Arithmetik aber nicht auf der Geometrie zu bauen, die die Definition von Euler über Leibniz bevorzugt hat (sieh arithmetization der Analyse).

Dirichlet

Dirichlet und Lobachevsky werden mit dem unabhängigen Geben der modernen "formellen" Definition einer Funktion als eine Beziehung traditionell geglaubt, in der jedes erste Element ein einzigartiges zweites Element hat. Vorabende behaupten, dass "der Student der Mathematik gewöhnlich die Definition von Dirichlet der Funktion in seinem einleitenden Kurs in der Rechnung entspricht, aber der Anspruch von Dirichlet auf diese Formalisierung wird von Imre Lakatos diskutiert:

:There ist keine solche Definition in den Arbeiten von Dirichlet überhaupt. Aber es gibt große Beweise, dass er keine Idee von diesem Konzept hatte. In seinem, zum Beispiel, wenn er piecewise dauernde Funktionen bespricht, sagt er, dass an Punkten der Diskontinuität die Funktion zwei Werte hat:...

Jedoch sagt Gardiner "..., dass es mir scheint, dass Lakatos zu weit zum Beispiel geht, wenn er behauptet, dass 'es große Beweise gibt, dass [Dirichlet] keine Idee von [die moderne Funktion] Konzept' hatte". Auch der Werke von G. Lejeune Dirichlet (in Deutsch) veröffentlicht von der amerikanischen Mathematischen Gesellschaft scheint wirklich, eine Definition entlang den Linien dessen einzuschließen, was gewöhnlich Dirichlet zugeschrieben wird, wenn auch es auf dauernde geometrische Funktionen konzentriert wird.

Weil Dirichlet zugeschrieben wird, das erste zu sein, um den Begriff der willkürlichen Ähnlichkeit einzuführen, wird sein Beitrag häufig von der Ausbildungsgemeinschaft anerkannt, von denen viele sich auf eine Variante der Definition von Bourbaki von 1939 als die "Dirichlet-Bourbaki" Definition beziehen.

Im Zusammenhang "der Differenzialrechnung" hat George Boole (um 1849) den Begriff einer Funktion wie folgt definiert:

: "Diese Menge, deren Schwankung gleichförmig ist... wird die unabhängige Variable genannt. Wie man sagt, ist diese Menge, deren Schwankung auf die Schwankung vom ersteren verwiesen wird, eine Funktion davon. Die Differenzialrechnung ermöglicht uns in jedem Fall, von der Funktion bis die Grenze zu gehen. Das tut es durch eine bestimmte Operation. Aber in der wirklichen Idee von einer Operation ist... die Idee von einem inversen Betrieb. Diesen inversen Betrieb im gegenwärtigen Beispiel zu bewirken, ist das Geschäft der Internen Nummer [egral] Rechnung."

"Die Funktion" des Logikers vor 1850

Logiker dieser Zeit wurden in erster Linie mit dem Analysieren von Syllogismen (2000 Jahre alt Aristotelische Formen und sonst) beteiligt, oder weil Augustus De Morgan (1847) es festgesetzt hat: "Die Überprüfung dieses Teils des Denkens, das von der Weise abhängt, auf die Schlussfolgerungen, gebildet werden

und die Untersuchung von allgemeinen Sprichwörtern und Regeln, um Argumente zu bauen". In dieser Zeit ist der Begriff (der logischen) "Funktion", aber mindestens in der Arbeit von De Morgan und George Boole nicht ausführlich es wird einbezogen: Wir sehen Abstraktion der Argument-Formen, die Einführung von Variablen, die Einführung einer symbolischen Algebra in Bezug auf diese Variablen, und einige der Begriffe der Mengenlehre.

1847 von De Morgan "FORMALE LOGIK ODER, Die Rechnung der Schlussfolgerung, Notwendig und Wahrscheinlich" bemerkt, dass" [eine] logische Wahrheit von der Struktur der Behauptung, und nicht auf die besonderen Sachen abhängt, die gesprochen sind"; er vergeudet keine Zeit (Einleitungsseite i) das Entziehen: "In der Form des Vorschlags wird das Satzband so abstrakt gemacht wie die Begriffe". Er sofort (p. 1) sind Würfe, was er "den Vorschlag" (heutige Aussagefunktion oder Beziehung) in eine Form solchen als "X nennt, Y", wo die Symbole X, "ist", und Y, beziehungsweise, das Thema, Satzband und Prädikat vertreten. Während das Wort "Funktion" nicht erscheint, ist der Begriff "der Abstraktion" dort, "Variablen" sind dort, der Begriff der Einschließung in seine Symbolik "alle Δ ist im О" (p. 9) geben es, und letzt eine neue Symbolik für die logische Analyse des Begriffs "der Beziehung" (er verwendet das Wort in Bezug auf dieses Beispiel "X) Y" (p. 75)) ist dort:

:" X) Y, um einen X zu nehmen, ist es notwendig, einen Y" [zu nehmen oder ein X zu sein, es ist notwendig, ein Y] zu sein

:" Ein Y) X, um einen Y zu nehmen es ist genügend, einen X" [zu nehmen oder ein Y zu sein, es ist genügend, ein X] usw. zu sein.

Seinen 1848 behauptet Die Natur von Logic Boole diese "Logik... ist in einem besondereren Sinn die Wissenschaft des Denkens durch Zeichen", und er bespricht kurz die Begriffe des "Gehörens" und "Klasse": "Eine Person kann eine große Vielfalt von Attributen besitzen und so einer großen Vielfalt von verschiedenen Klassen gehörend". Wie De Morgan verwendet er den Begriff der von der Analyse gezogenen "Variable"; er führt ein Beispiel an "vertreten [ing] die Klassenochsen durch x und dieses von Pferden durch y und die Verbindung und durch das Zeichen +... wir könnten die gesamten Klassenochsen und Pferde durch x + y vertreten".

"Die Funktion" der Logiker 1850-1950

Vorabende bemerken, "dass Logiker bestrebt gewesen sind, unten weiter das Startniveau der definitorischen Entwicklung der Mathematik zu stoßen und die Theorie von Sätzen oder Klassen, von einem Fundament in der Logik von Vorschlägen und Aussagefunktionen abzuleiten"., Aber bis zum Ende des 19. Jahrhunderts erlebte die Forschung der Logiker in die Fundamente der Mathematik einen Hauptspalt. Die Richtung der ersten Gruppe, Logicists, kann wahrscheinlich am besten durch summiert werden - "um zwei Gegenstände zu erfüllen, erstens zu zeigen, dass die ganze Mathematik aus symbolischer Logik folgt, und zweitens zu entdecken, so weit möglich, was die Grundsätze der symbolischen Logik selbst ist."

Die zweite Gruppe von Logikern, den Satz-Theoretikern, ist mit "der Mengenlehre" von Georg Cantor (1870-1890) erschienen, aber wurde vorwärts teilweise infolge der Entdeckung von Russell eines Paradoxes gesteuert, das aus der Vorstellung von Frege "der Funktion", sondern auch als eine Reaktion gegen die vorgeschlagene Lösung von Russell abgeleitet werden konnte. Die mit dem Satz theoretische Antwort von Zermelo war seine 1908-Untersuchungen in den Fundamenten der Mengenlehre I - die erste axiomatische Mengenlehre; hier auch spielt der Begriff "der Aussagefunktion" eine Rolle.

George Boole Die Gesetze des Gedankens 1854; die symbolische Logik von John Venn 1881

In seinem Eine Untersuchung der Gesetze des Gedankens hat Boole jetzt eine Funktion in Bezug auf ein Symbol x wie folgt definiert:

: "8. Definition. - Jeder algebraische Ausdruck, der Symbol x einschließt, wird eine Funktion von x genannt, und kann durch die abgekürzte Form f (x)" vertreten werden

Boole hat dann algebraische Ausdrücke verwendet, um sowohl algebraische als auch logische Begriffe z.B zu definieren, 1&minus;x ist NICHT (x) logisch, xy ist das logische UND (x, y), x + ist y das logische ODER (x, y), x ist (x+y) xx+xy, und "das spezielle Gesetz" xx = x = x.

Seinen 1881 verwendete Symbolische Logik Venn die Wörter "logische Funktion" und die zeitgenössische Symbolik (x = f (y), y = f (x), vgl Seite xxi) plus die mit Venn historisch vereinigten Kreisdiagramme, um "Klassenbeziehungen", die Begriffe "'Quantitätsbestimmung' unseres Prädikats", "Vorschläge in der Rücksicht auf ihre Erweiterung", "die Beziehung der Einschließung und des Ausschlusses von zwei Klassen zu einander" und "der Aussagefunktion" zu beschreiben (alle auf p. 10), die Bar über eine Variable, um nicht-x (Seite 43) usw. anzuzeigen. Tatsächlich hat er unzweideutig den Begriff der "logischen Funktion" mit "der Klasse" [moderner "Satz"] ausgeglichen:" ... auf der Ansicht, die in diesem Buch, f (x) nie angenommen ist, tritt für irgendetwas außer einer logischen Klasse ein. Es kann eine zusammengesetzte vieler einfacher Klassen angesammelte Klasse sein; es kann eine durch bestimmte umgekehrte logische Operationen angezeigte Klasse sein, es kann aus zwei Gruppen von Klassen zusammengesetzt werden, die einander gleich sind, oder was dasselbe Ding ist, hat ihr Unterschied gleich der Null, d. h. einer logischen Gleichung erklärt. Aber jedoch zusammengesetzt oder abgeleitet, f (x) mit uns wird irgend etwas anderes nie sein als ein allgemeiner Ausdruck für solche logischen Klassen von Dingen, wie einen Platz in der gewöhnlichen Logik ziemlich finden kann".

Begriffsschrift 1879 von Frege

Der Begriffsschrift von Gottlob Frege (1879) ist Giuseppe Peano (1889) vorangegangen, aber Peano hatte keine Kenntnisse dessen, bis er seinen 1889 veröffentlicht hatte. Beide Schriftsteller stark beeinflusst. Russell hat der Reihe nach viel Mathematik des 20. Jahrhunderts und Logik durch seinen Principia Mathematica (1913) gemeinsam authored mit Alfred North Whitehead beeinflusst.

Am Anfang gibt Frege das traditionelle "Konzeptthema und Prädikat" auf, das Ersetzen von ihnen mit dem Argument und der Funktion beziehungsweise, die er glaubt, "wird die Zeit überdauern. Es ist leicht zu sehen, wie bezüglich eines Inhalts weil eine Funktion eines Arguments zur Bildung von Konzepten führt. Außerdem verdient die Demonstration der Verbindung zwischen den Bedeutungen der Wörter, wenn, und, nicht, oder, es, einige, alle und so weiter gibt, Aufmerksamkeit".

Frege beginnt seine Diskussion "der Funktion" mit einem Beispiel: Beginnen Sie mit dem Ausdruck "Wasserstoff ist leichter als Kohlendioxyd". Entfernen Sie jetzt das Zeichen für Wasserstoff (d. h., das Wort "Wasserstoff") und ersetzen Sie es durch das Zeichen für Sauerstoff (d. h., das Wort "Sauerstoff"); das gibt eine zweite Erklärung ab. Tun Sie das wieder (jede Behauptung verwendend), und wechseln Sie gegen das Zeichen den Stickstoff (d. h., das Wort "Stickstoff") aus und bemerken Sie, dass "Das das Meinen auf solche Art und Weise ändert, dass "Sauerstoff" oder "Stickstoff" in die Beziehungen eintreten, in denen "Wasserstoff" vorher gestanden hat". Es gibt drei Behauptungen:

• "Wasserstoff ist leichter als Kohlendioxyd."
• "Sauerstoff ist leichter als Kohlendioxyd."
• "Stickstoff ist leichter als Kohlendioxyd."

Beobachten Sie jetzt in allen drei einen "stabilen Bestandteil, die Gesamtheit [der] Beziehungen vertretend"; nennen Sie das die Funktion, d. h.,

: "... ist leichter als Kohlendioxyd", ist die Funktion.

Frege nennt das Argument der Funktion" [t] unterzeichnet er [z.B, Wasserstoff, Sauerstoff oder Stickstoff], betrachtet als ersetzbar durch andere, der das Gegenstand-Stehen in diesen Beziehungen anzeigt". Er bemerkt, dass wir die Funktion abgeleitet haben könnten, weil "Wasserstoff leichter ist als...." ebenso, mit einer Argument-Position rechts; die genaue Beobachtung wird von Peano gemacht (sieh mehr unten). Schließlich berücksichtigt Frege den Fall zwei (oder mehr Argumente). Entfernen Sie zum Beispiel "Kohlendioxyd", um den invariant Teil (die Funktion) als nachzugeben:

• "... ist leichter als..."

Die Ein-Argument-Funktion, die Frege in die Form Φ (A) verallgemeinert, wo A das Argument und der Φ ist vertritt die Funktion, wohingegen die Zwei-Argumente-Funktion er als Ψ (A, B) mit A und B die Argumente und der Ψ die Funktion symbolisiert und warnt, dass sich "in allgemeinem Ψ (A, B) von Ψ (B, A) unterscheidet". Mit seiner einzigartigen Symbolik übersetzt er für den Leser die folgende Symbolik:

: "Wir können |---Φ (A) als "Ein Haben des Eigentums Φ lesen. |---Ψ (A, B) kann durch "B Standplätze in der Beziehung Ψ zu" übersetzt werden, oder "B ist ein Ergebnis einer Anwendung des Verfahrens Ψ zum Gegenstand".

Peano 1889 Die Grundsätze der Arithmetik 1889

Peano hat den Begriff "der Funktion" definiert, die gewissermaßen Frege, aber ohne die Präzision etwas ähnlich ist. Der erste Peano definiert das Zeichen "K Mittel-Klasse oder Anhäufung von Gegenständen", dessen Gegenstände drei einfache Gleichheitsbedingungen, = a, (= b) = (b = a), WENN ((= b) UND (b = c)) DANN (= c) befriedigen. Er führt dann φ ein, "ein Zeichen oder eine Anhäufung von solchen Zeichen, dass, wenn x ein Gegenstand der Klasse s ist, der Ausdruck φx einen neuen Gegenstand anzeigt". Peano fügt zwei Bedingungen auf diesen neuen Gegenständen hinzu: Erstens, dass die drei Gleichheitsbedingungen für die Gegenstände φx halten; zweitens ist das, "wenn x und y Gegenstände der Klasse s sind, und wenn x = y, wir es annehmen, möglich, φx = φy abzuleiten". In Anbetracht aller dieser Bedingungen werden entsprochen, φ ist ein "Funktionsvorzeichen". Ebenfalls identifiziert er ein "Funktionspostzeichen". Zum Beispiel, wenn φ das Funktionsvorzeichen a + ist, dann gibt φx a+x nach, oder wenn φ das Funktionspostzeichen +a dann xφ ist, gibt x+a nach.

Bertrand Russell Die Grundsätze der Mathematik 1903

Während der Einfluss von Cantor und Peano, im Anhang A "Die Logischen und Arithmetischen Doktrinen von Frege" Der Grundsätze der Mathematik oberst war, erreicht Russell eine Diskussion des Begriffs von Frege der Funktion, "... ein Punkt, in dem die Arbeit von Frege sehr wichtig ist, und sorgfältige Überprüfung verlangt". Als Antwort auf seinen 1902-Schriftwechsel mit Frege über den Widerspruch hat er in Begriffsschrift Russell von Frege entdeckt hat diese Abteilung auf im letzten Moment geheftet.

Für Russell ist der Verhexen-Begriff der "der Variable": "6. Mathematische Vorschläge werden durch die Tatsache nicht nur charakterisiert, dass sie Implikationen, sondern auch durch die Tatsache behaupten, dass sie Variablen enthalten. Der Begriff der Variable ist einer der schwierigsten, mit denen sich Logik befassen muss. Für den Augenblick möchte ich es offen Ebene machen, dass es Variablen in allen mathematischen Vorschlägen gibt, sogar dort, wo auf den ersten Blick sie scheinen könnten zu fehlen.... Wir werden immer in allen mathematischen Vorschlägen finden, dass die Wörter irgendwelcher oder einige vorkommen; und diese Wörter sind die Zeichen einer Variable und einer formellen Implikation".

Wie ausgedrückt, durch Russell "führt der Prozess von sich verwandelnden Konstanten in einem Vorschlag in Variablen dazu, was Generalisation genannt wird, und uns gibt, wie es, die formelle Essenz eines Vorschlags war... So lange jeder Begriff in unserem Vorschlag in eine Variable verwandelt werden kann, kann unser Vorschlag verallgemeinert werden; und so lange das möglich ist, ist es das Geschäft der Mathematik, um es zu tun"; diese Generalisationen Russell haben Aussagefunktionen genannt". Tatsächlich zitiert er und zitiert aus dem Begriffsschrift von Frege und präsentiert ein lebhaftes Beispiel von der 1891-Funktion von Frege und Begriff: Dass "die Essenz der arithmetischen Funktion 2x + x ist, was verlassen wird, wenn der x, d. h., im obengenannten Beispiel 2 + weggenommen wird. Das Argument x gehört der Funktion nicht, aber die zwei genommen machen zusammen den Ganzen". Russell ist mit dem Begriff von Frege "der Funktion" in gewisser Hinsicht übereingestimmt:" Er betrachtet Funktionen - und darin stimme ich mit ihm - als grundsätzlicher überein als Prädikate und Beziehungen", aber Russell hat die "Theorie von Frege des Themas und der Behauptung zurückgewiesen" insbesondere "denkt er das, wenn ein Begriff ein Vorkommen in einem Vorschlag, der Vorschlag immer in a und eine Behauptung über analysiert werden kann".

Evolution des Begriffs von Russell "der Funktion" 1908-1913

Russell würde seine Ideen seinen 1908 Mathematisch logisch, wie gestützt, auf der Theorie von Typen und in 1910-1913 Principia Mathematica seines und Whiteheads voranbringen. Zurzeit Principia Mathematica Russells, wie Frege, hat die Aussagefunktion als grundsätzlich betrachtet: "Aussagefunktionen sind die grundsätzliche Art, von der die üblicheren Arten der Funktion, wie "Sünde ''x'' oder x loggen oder "der Vater von x" abgeleitet wird. Diese abgeleiteten Funktionen... werden "beschreibende Funktionen" genannt. Die Funktionen von Vorschlägen... sind ein besonderer Fall von Aussagefunktionen".

Aussagefunktionen: Weil seine Fachsprache vom Zeitgenossen verschieden ist, kann der Leser durch "die Aussagefunktion" von Russell verwirrt sein. Ein Beispiel kann helfen. Russell schreibt eine Aussagefunktion in seiner rohen Form, z.B, als φŷ: "ŷ wird verletzt". (Beobachten Sie den Zirkumflex oder "Hut" über die Variable y). Für unser Beispiel werden wir gerade 4 Werte der Variable ŷ zuteilen: "Bob", "Dieser Vogel", "Emily das Kaninchen" und "der y". Der Ersatz von einem dieser Werte für die Variable ŷ gibt einen Vorschlag nach; dieser Vorschlag wird einen "Wert" der Aussagefunktion genannt. In unserem Beispiel gibt es vier Werte der Aussagefunktion z.B, "Bob wird verletzt" "Wird dieser Vogel verletzt" "Emily wird das Kaninchen verletzt" und "y verletzt wird." Ein Vorschlag, wenn es bedeutend ist — d. h., wenn seine Wahrheit bestimmt ist — hat einen Wahrheitswert der Wahrheit oder Unehrlichkeit. Wenn ein Wahrheitswert eines Vorschlags "Wahrheit" dann ist, wie man sagt, befriedigt der Wert der Variable die Aussagefunktion. Schließlich, pro die Definition von Russell, "ist eine Klasse [Satz] alle Gegenstände, die etwas Aussagefunktion befriedigen" (p. 23). Bemerken Sie das Wort "alle'" - das ist, wie die zeitgenössischen Begriffe "Für den ganzen " und "dort bestehen, geht mindestens ein Beispiel " in die Behandlung ein (p. 15).

Das Beispiel fortzusetzen: Denken Sie (von der Außenseite der Mathematik/Logik) man beschließt, dass die Vorschläge "Bob verletzt werden", hat einen Wahrheitswert "der Unehrlichkeit", "Dieser Vogel wird verletzt", hat einen Wahrheitswert "der Wahrheit", "Emily das Kaninchen wird verletzt", hat einen unbestimmten Wahrheitswert, weil "Emily das Kaninchen" nicht besteht, und "y verletzt wird", ist betreffs seines Wahrheitswerts zweideutig, weil das Argument y selbst zweideutig ist. Während die zwei Vorschläge "Bob verletzt werden" und "Dieser Vogel verletzt wird", sind bedeutend (beide haben Wahrheitswerte), nur der Wert "Dieser Vogel" der Variable ŷ satisfies' die Aussagefunktion φŷ: "ŷ wird verletzt". Wenn man geht, um die Klasse α zu bilden: φŷ: "ŷ wird verletzt" nur "Wird dieser Vogel" eingeschlossen, die vier Werte "Bob", "Dieser Vogel", "Emily das Kaninchen" und "der y" für die Variable ŷ und ihre jeweiligen Wahrheitswerte gegeben: Unehrlichkeit, Wahrheit, unbestimmt, zweideutig.

Russell definiert Funktionen von Vorschlägen mit Argumenten und Wahrheitsfunktionen f (p). Nehmen Sie zum Beispiel an, dass man war, die "Funktion von Vorschlägen mit Argumenten" p zu bilden: "NICHT (p) UND q" und teilen seine Variablen die Werte von p zu: "Bob wird" und q verletzt: "Dieser Vogel wird verletzt". (Wir werden auf die logischen Verbindungen NICHT eingeschränkt, UND, ODER und bezieht EIN, und wir können nur "bedeutende" Vorschläge den Variablen p und dem q zuteilen). Dann ist die "Funktion von Vorschlägen mit Argumenten" p: NICHT ("Bob wird" verletzt), UND "Wird dieser Vogel verletzt". Um den Wahrheitswert dieser "Funktion von Vorschlägen mit Argumenten" zu bestimmen, behaupten wir, dass es zu einer "Wahrheit", z.B, f (p) fungiert: f (NICHT ("Bob wird" verletzt), UND "Wird dieser Vogel" verletzt), der einen Wahrheitswert "der Wahrheit" nachgibt.

Der Begriff "vieleiner" funktioneller Beziehung": Russell bespricht zuerst den Begriff "der Identität", definiert dann eine beschreibende Funktion (Seiten 30ff) als der einzigartige Wert ιx, der die (2-Variablen-)-Aussagefunktion (d. h., "Beziehung") φŷ befriedigt.

:N.B. Der Leser sollte hier gewarnt werden, dass die Ordnung der Variablen umgekehrt wird! y ist die unabhängige Variable, und x ist die abhängige Variable, z.B, x = Sünde (y).

Russell symbolisiert die beschreibende Funktion als "das Gegenstand-Stehen in Bezug auf y": R'y = (ιx) (x R y). Russell wiederholt, dass "R'y eine Funktion von y, aber nicht eine Aussagefunktion [sic] ist; wir werden es eine beschreibende Funktion nennen. Alle gewöhnlichen Funktionen der Mathematik sind dieser Art. So in unserer Notation "würde Sünde y" "Sünde 'y" geschrieben, und "Sünde" würde für die Beziehungssünde 'y eintreten hat zu y".

Zäher 1908

definiert eine Funktion als eine Beziehung zwischen zwei Variablen x und solchem y, dass "zu einigen Werten von x auf jeden Fall Werte von y entsprechen." Er weder hat verlangt, dass die Funktion für alle Werte von x definiert wurde noch jeden Wert von x zu einem einzelnen Wert von y vereinigt hat. Diese breite Definition einer Funktion umfasst mehr Beziehungen, als es normalerweise als Funktionen in der zeitgenössischen Mathematik betrachtet wird.

"Die Funktion" des Formalisten: Der axiomatization von David Hilbert der Mathematik (1904-1927)

David Hilbert hat die Absicht gesetzt, klassische Mathematik "als eine formelle axiomatische Theorie "zu formalisieren", und, wie man beweisen soll, wird diese Theorie entsprechen, d. h., vom Widerspruch befreien". In Den Fundamenten der Mathematik rahmt er den Begriff der Funktion in Bezug auf die Existenz eines "Gegenstands" ein:

:13. (A)-> (ε (A)) Hier ε tritt (A) für einen Gegenstand ein, dessen der Vorschlag (a) sicher hält, ob es eines Gegenstands überhaupt hält; lassen Sie uns ε den logischen ε-function nennen". [Der Pfeil zeigt an "bezieht ein".]

Hilbert illustriert dann die drei Wege, wie der ε-function erstens verwendet werden soll, weil "für alle" und "dort" Begriffe besteht, um zweitens den "Gegenstand zu vertreten, dessen [ein Vorschlag]", und letzt hält, wie man es in die auserlesene Funktion wirft.

Theorie von Recursion und Berechenbarkeit: Aber das unerwartete Ergebnis von Hilbert und die Anstrengung seines Studenten Bernays war Misserfolg; sieh die Unvollständigkeitslehrsätze von Gödel von 1931. In ungefähr derselben Zeit, um den Entscheidungsproblem von Hilbert zu lösen, nehmen Mathematiker in Angriff, um zu definieren, was nach einer "effektiv berechenbaren Funktion" (Kirche von Alonzo 1936) gemeint geworden ist, d. h. "wirksame Methode" oder "Algorithmus", d. h. ein ausführliches, schrittweises Verfahren, das schaffen würde, eine Funktion zu schätzen. Verschiedene Modelle für Algorithmen, sind in rascher Folge, einschließlich der Lambda-Rechnung der Kirche (1936), die μ-Recursive-Funktionen von Stephen Kleene (1936) und Alan Turing (1936-7) Begriff erschienen, menschliche "Computer" durch äußerst mechanische "Rechenmaschinen" zu ersetzen (sieh Maschinen von Turing). Es wurde gezeigt, dass alle diese Modelle dieselbe Klasse von berechenbaren Funktionen schätzen konnten. Die These der Kirche meint, dass diese Klasse von Funktionen alle mit der Zahl theoretischen Funktionen erschöpft, die durch einen Algorithmus berechnet werden können. Die Ergebnisse dieser Anstrengungen waren lebhafte Demonstrationen dass in den Wörtern von Turing, "es kann keinen allgemeinen Prozess geben, um zu bestimmen, ob eine gegebene Formel U der funktionellen Rechnung K [Principia Mathematica] nachweisbar ist"; sieh mehr an der Unabhängigkeit (mathematische Logik) und Berechenbarkeitstheorie.

Entwicklung der mit dem Satz theoretischen Definition "der Funktion"

Mengenlehre hat mit der Arbeit der Logiker mit dem Begriff "der Klasse" (moderner "Satz") zum Beispiel, Jevons (1880) begonnen, und. Es wurde ein Stoß durch den Versuch von Georg Cantor gegeben, das Unendliche in der mit dem Satz theoretischen Behandlung (1870-1890) und einer nachfolgenden Entdeckung einer Antinomie (Widerspruch, Paradox) in dieser Behandlung (Das Paradox von Cantor), durch die Entdeckung (1902) von Russell einer Antinomie 1879 von Frege (das Paradox von Russell), durch die Entdeckung von mehr Antinomien am Anfang des 20. Jahrhunderts (z.B, das Burali-Forti 1897-Paradox und das 1905-Paradox von Richard), und durch den Widerstand gegen die komplizierte Behandlung von Russell der Logik und Abneigung seines Axioms von reducibility zu definieren (1908, 1910-1913), dass er als ein Mittel vorgehabt hat, den Antinomien auszuweichen.

Das Paradox von Russell 1902

1902 hat Russell einen Brief an Frege gesandt, der darauf hinweist, dass 1879 Begriffsschrift von Frege einer Funktion erlaubt haben, ein Argument von sich zu sein: "Andererseits kann es auch sein, dass das Argument bestimmt ist und die unbestimmte Funktion...." Von dieser zwanglosen Situation ist Russell im Stande gewesen, ein Paradox zu bilden:

: "Sie stellen fest..., dass eine Funktion auch als das unbestimmte Element handeln kann. Das, das ich früher geglaubt habe, aber jetzt scheint diese Ansicht zweifelhaft mir wegen des folgenden Widerspruchs. Lassen Sie w das Prädikat sein: Ein Prädikat zu sein, das sich nicht behauptet werden kann. Kann w sich behauptet werden?"

Frege hat schnell geantwortet, dass "Ihre Entdeckung des Widerspruchs mich die größte Überraschung verursacht hat, und ich würde fast, Betroffenheit sagen, seitdem es die Basis geschüttelt hat, auf der ich vorgehabt habe, Arithmetik zu bauen".

Von diesem Punkt ist die Vorwärtsentwicklung der Fundamente der Mathematik eine Übung darin geworden, wie man "dem Paradox von Russell", eingerahmt ausweicht, wie es in "den bloßen [mit dem Satz theoretischen] Begriffen des Satzes und Elements" war.

Die Mengenlehre von Zermelo (1908) modifiziert von Skolem (1922)

Der Begriff "der Funktion" erscheint als das Axiom von Zermelo III — das Axiom der Trennung (Axiom der Aussonderung). Dieses Axiom zwingt uns, eine Aussagefunktion Φ (x) zu verwenden, um eine Teilmenge M von einem vorher gebildeten Satz M "zu trennen":

: "AXIOM III. (Axiom der Trennung). Wann auch immer die Aussagefunktion Φ (x) für alle Elemente eines Satzes M bestimmt ist, besitzt M eine Teilmenge M, die als Elemente genau jene Elemente x der M enthält, für die Φ (x) wahr ist".

Da es keinen universalen Satz gibt — entstehen Sätze über das Axiom II von Elementen (des Nichtsatzes) Gebiet B - "... das verfügt über die Antinomie von Russell, so weit wir betroffen werden". Aber das "bestimmte Kriterium von Zermelo" ist ungenau, und wird von Weyl, Fraenkel, Skolem und von Neumann befestigt.

Tatsächlich hat sich Skolem seinen 1922 auf dieses "bestimmte Kriterium" oder "Eigentum" als ein "bestimmter Vorschlag" bezogen:

: "... ein begrenzter Ausdruck hat von elementaren Vorschlägen der Form einen ε b oder = b mittels der fünf Operationen [logische Verbindung, Trennung, Ablehnung, universale Quantifizierung und existenzielle Quantifizierung] gebaut.

van Heijenoort fasst zusammen:

: "Ein Eigentum ist im Sinn von Skolem bestimmt, wenn es ausgedrückt wird... durch eine gut gebildete Formel in der einfachen Prädikat-Rechnung der ersten Ordnung, in der die alleinigen Prädikat-Konstanten ε und vielleicht, = sind.... Heute wird ein axiomatization der Mengenlehre gewöhnlich in einer logischen Rechnung eingebettet, und es ist die Annäherung von Weyl und Skolems an die Formulierung des Axioms der Trennung, die allgemein angenommen wird.

In diesem Zitat kann der Leser eine Verschiebung in der Fachsprache beobachten: Nirgends wird der Begriff "der Aussagefunktion" erwähnt, aber eher sieht man die Wörter "Formel", "Prädikat-Rechnung", "Prädikat", und "logische Rechnung." Diese Verschiebung in der Fachsprache wird mehr in der Abteilung besprochen, die "Funktion" in der zeitgenössischen Mengenlehre bedeckt.

Der Wiener-Hausdorff-Kuratowski "hat Paar" Definition 1914-1921 bestellt

Die Geschichte des Begriffs des "befohlenen Paares" ist nicht klar. Wie bemerkt, oben hat Frege (1879) eine intuitive Einrichtung in seiner Definition einer Zwei-Argumente-Funktion Ψ (A, B) vorgeschlagen. Norbert Wiener bemerkt seinen 1914 (sieh unten), dass seine eigene Behandlung im Wesentlichen "(s) zur Behandlung von Schröder einer Beziehung als eine Klasse von befohlenen Paaren zurückkehrt". betrachtet als die Definition einer Beziehung (wie Ψ (A, B)) als eine "Klasse von Paaren", aber zurückgewiesen es:

: "Es gibt eine Versuchung, eine Beziehung als definierbar in der Erweiterung als eine Klasse von Paaren zu betrachten. Das ist der formelle Vorteil, dass er die Notwendigkeit für den primitiven Vorschlag vermeidet behauptend, dass jedes Paar eine Beziehung hat, die zwischen keinen anderen Paaren von Begriffen hält. Aber es ist notwendig, Sinn dem Paar zu geben, den referent [Gebiet] vom relatum [gegenteiliges Gebiet] zu unterscheiden: So wird ein Paar im Wesentlichen verschieden von einer Klasse von zwei Begriffen, und muss selbst als eine primitive Idee vorgestellt werden.... Es scheint deshalb richtiger, um eine intensional Ansicht von Beziehungen zu vertreten, und sie eher mit Klassenkonzepten zu identifizieren, als mit Klassen."

Durch 1910-1913 und Principia Mathematica Russell hatte auf der Voraussetzung für eine intensional Definition einer Beziehung aufgegeben, feststellend, dass "Mathematik immer mit Erweiterungen beschäftigt ist aber nicht Verstärkungen" und "Beziehungen, wie Klassen, in der Erweiterung genommen werden sollen". Um den Begriff einer Beziehung in der Erweiterung zu demonstrieren, hat Russell jetzt den Begriff des befohlenen Paares umarmt: "Wir können eine Beziehung... als eine Klasse von Paaren betrachten... die Beziehung, die durch φ (x, y) bestimmt ist, ist die Klasse von Paaren (x, y), für den φ (x, y) wahr ist". In einem Kommentar hat er seinen Begriff geklärt und hat diese Definition erreicht:

: "Solch ein Paar hat einen Sinn, d. h. das Paar (x, y) ist vom Paar (y, x) wenn x = y verschieden. Wir werden es ein "Paar mit dem Sinn nennen,"... kann es auch ein befohlenes Paar genannt werden.

Aber er setzt fort zu sagen, dass er die befohlenen Paare weiter in seine "symbolische Behandlung" nicht vorstellen würde; er schlägt seine "Matrix" und sein unpopuläres Axiom von reducibility in ihrem Platz vor.

Ein Versuch, das Problem der Antinomien zu beheben, hat Russell dazu gebracht, seine "Doktrin von Typen" in einem Anhang B seines 1903 Die Grundsätze der Mathematik vorzuschlagen. In ein paar Jahren würde er diesen Begriff raffinieren und seinen 1908 Die Theorie von Typen zwei Axiome von reducibility vorschlagen, dessen Zweck (einzeln-variable) Aussagefunktionen und (doppelvariable) Beziehungen zu einer "niedrigeren" Form (und schließlich in eine völlig Verlängerungsform) reduzieren sollten; er und Alfred North Whitehead würden diese Behandlung zu Principia Mathematica 1910-1913 mit einer weiteren Verbesserung genannt "eine Matrix" tragen. Das erste Axiom ist *12.1; das zweite ist *12.11. Um Wiener zu zitieren, wird das zweite Axiom *12.11" nur in der Theorie von Beziehungen beteiligt". Beide Axiome wurden jedoch mit der Skepsis und dem Widerstand entsprochen; sieh mehr am Axiom von reducibility. Vor 1914 hat Norbert Wiener, mit Whitehead und der Symbolik von Russell, Axiom *12.11 (die "Zwei-Variablen-"-(verwandtschafts)-Version des Axioms von reducibility) beseitigt, indem er eine Beziehung als ein befohlenes Paar "das Verwenden der Nullmenge ausgedrückt hat. In ungefähr derselben Zeit, Hausdorff (1914, p. 32) hat die Definition des befohlenen Paares (a, b) als {{a, 1}, {b, 2}} gegeben. Ein paar Jahre später hat Kuratowski (1921) eine Definition angeboten, die seitdem, nämlich {{a, b},} weit verwendet worden ist". Wie bemerkt, durch "Diese Definition... war im Reduzieren der Theorie von Beziehungen zur Theorie von Sätzen historisch wichtig.

Bemerken Sie, dass, während Wiener die *12.11 Verwandtschaftsform des Axioms von reducibility "reduziert" hat, er nicht abgenommen ist noch sich sonst geändert hat, die Aussagefunktion formen sich *12.1; tatsächlich hat er diese "Hauptsache zur Behandlung von Identität, Beschreibungen, Klassen und Beziehungen" erklärt.

Der Begriff von Schönfinkel "der Funktion" als vielein "Brief" 1924

Wo genau der allgemeine Begriff "der Funktion" als vieleine Ähnlichkeit zurückzuführen ist, ist unklar. Russell in seiner 1920-Einführung in die Mathematische Philosophie stellt fest, dass "Es bemerkt werden sollte, dass das ganze mathematische Funktionsergebnis einen - viele [sic bildet - ist zeitgenössischer Gebrauch vielein] Beziehungen... Funktionen in diesem Sinn sind beschreibende Funktionen". Eine angemessene Möglichkeit ist der Begriff von Principia Mathematica der "beschreibenden Funktion" - R 'y = (ιx) (x R y): "Der einzigartige Gegenstand, der eine Beziehung R zu y hat". Was für den Fall, vor 1924, hat Moses Schonfinkel den Begriff ausgedrückt, es behauptend, "weithin bekannt" zu sein:

: "Wie weithin bekannt ist, nach der Funktion haben wir im einfachsten Fall eine Ähnlichkeit zwischen den Elementen von einem Gebiet von Mengen, dem Argument-Gebiet vor, und diejenigen eines Gebiets der Funktion schätzen... solch, dass zu jedem Argument-Wert dort höchstens ein Funktionswert entspricht".

Gemäß Willard Quine, "stellen [s] für... das ganze Kehren der abstrakten Mengenlehre zur Verfügung. Der Kernpunkt der Sache ist, dass Schönfinkel Funktionen als Argumente stehen lässt. Für Schönfinkel, wesentlich bezüglich Frege, sind Klassen spezielle Sorten von Funktionen. Sie sind Aussagefunktionen, Funktionen, deren Werte Wahrheitswerte sind. Alle Funktionen, Satz- und sonst, sind für Funktionen des eines Platzes von Schönfinkel". Bemerkenswert reduziert Schönfinkel die ganze Mathematik auf eine äußerst kompakte funktionelle Rechnung, die aus nur drei Funktionen besteht: Beständigkeit, Fusion (d. h., Zusammensetzung), und gegenseitige Exklusivität. Quine bemerkt, dass Curry von Haskell (1958) diese Arbeit "unter dem Kopf der combinatory Logik" vorangebracht hat.

Die Mengenlehre von Von Neumann 1925

Vor 1925 hatte Abraham Fraenkel (1922) und Thoralf Skolem (1922) die Mengenlehre von Zermelo von 1908 amendiert. Aber von Neumann war nicht überzeugt, dass dieser axiomatization zu den Antinomien nicht führen konnte. So hat er seine eigene Theorie, sein 1925 Ein axiomatization der Mengenlehre vorgeschlagen. Es enthält ausführlich eine "zeitgenössische", mit dem Satz theoretische Version des Begriffs "der Funktion":

: "[Verschieden von der Mengenlehre von Zermelo] [w] bevorzugen e, jedoch, zu axiomatize nicht "Satz", aber "Funktion". Der letzte Begriff schließt sicher den ersteren ein. (Genauer sind die zwei Begriffe völlig gleichwertig, da eine Funktion als eine Reihe von Paaren und ein Satz als eine Funktion betrachtet werden kann, die zwei Werte nehmen kann.)".

Am Anfang beginnt er mit I-Gegenständen und II-Gegenständen, zwei Gegenständen A und B, die I-Gegenstände (das erste Axiom), und zwei Typen von "Operationen" sind, die Einrichtung als ein Struktureigentum annehmen, das der resultierenden Gegenstände [x, y] und (x, y) erhalten ist. Die zwei "Gebiete von Gegenständen" werden "Argumente" (I-Gegenstände) und "Funktionen" (II-Gegenstände) genannt; wo sie überlappen, sind die "Argument-Funktionen" (er nennt sie Gegenstände von I-II). Er führt zwei "universale Zwei-Variablen-Operationen" - (i) die Operation [x, y] ein: "... lesen Sie 'den Wert der Funktion x für das Argument y... es selbst ist ein Typ, den ich", und (ii) die Operation (x, y) einwende:" ... (lesen Sie 'das befohlene Paar x, y'), wessen Variablen x und y Argumente sowohl sein müssen, und der selbst ein Argument (x, y) erzeugt. Sein wichtigstes Eigentum besteht darin, dass x = x und y = y (x = y) = (x = y) folgen". Um das Funktionspaar zu klären, bemerkt er, dass "Statt f (x) wir [f, x] schreiben, um anzuzeigen, dass f, gerade wie x, als eine Variable in diesem Verfahren betrachtet werden soll". Die "Antinomien der naiven Mengenlehre in Russell zuallererst zu vermeiden... wir müssen auf behandelnde bestimmte Funktionen als Argumente verzichten". Er nimmt einen Begriff von Zermelo an, um diese "bestimmten Funktionen" einzuschränken.

Suppes bemerkt, dass der axiomatization von von Neumann von Bernays modifiziert wurde, "um näher zum ursprünglichen System von Zermelo zu bleiben... Er hat zwei Mitgliedschaft-Beziehungen eingeführt: ein zwischen Sätzen, und ein zwischen Sätzen und Klassen". Dann hat Gödel [1940] weiter die Theorie modifiziert: "Seine primitiven Begriffe sind diejenigen des Satzes, der Klasse und der Mitgliedschaft (obwohl Mitgliedschaft allein genügend ist)".. Dieser axiomatization ist jetzt als Mengenlehre von von Neumann-Bernays-Gödel bekannt.

Bourbaki 1939

1939 hat Bourbaki, zusätzlich zum Geben der wohl bekannten bestellten Paar-Definition einer Funktion als eine bestimmte Teilmenge des kartesianischen Produktes E x F, den folgenden gegeben:

"Lassen Sie E und F zwei Sätze sein, die können oder nicht verschieden sein können. Eine Beziehung zwischen einem variablen Element x E und einem variablen Element y F wird eine funktionelle Beziehung in y genannt, wenn, für den ganzen x  E, dort ein einzigartiger y  F besteht, der in der gegebenen Beziehung mit x ist.

"Wir geben den Namen der Funktion zur Operation, die auf diese Weise mit jedem Element x  E das Element y  F verkehrt, der in der gegebenen Beziehung mit x ist, und, wie man sagt, die Funktion durch die gegebene funktionelle Beziehung bestimmt wird. Zwei gleichwertige funktionelle Beziehungen bestimmen dieselbe Funktion."

Seit 1950

Begriff "der Funktion" in der zeitgenössischen Mengenlehre

Sowohl axiomatische als auch naive Formen der Mengenlehre von Zermelo, wie modifiziert, durch Fraenkel (1922) und Skolem (1922) definieren "Funktion" als eine Beziehung, definieren eine Beziehung als eine Reihe von befohlenen Paaren, und definieren ein befohlenes Paar als eine Reihe zwei "Dissymetric"-Sätze.

Während der Leser der Axiomatischen Mengenlehre oder Naiven Mengenlehre den Gebrauch der Funktionssymbolik im Axiom der Trennung, z.B, φ (x) (in Suppes) und S (x) beobachtet (in Halmos), werden sie sehen, dass keine Erwähnung "des Vorschlags" oder sogar "zuerst Prädikat-Rechnung bestellt". In ihrem Platz sind "Ausdrücke der Gegenstand-Sprache", "Atomformeln", "primitive Formeln", und "Atomsätze".

definiert die Wörter wie folgt: "Auf Wortsprachen wird ein Vorschlag durch einen Satz ausgedrückt. Dann wird ein 'Prädikat' durch einen unvollständigen Satz oder Satz-Skelett ausgedrückt, das einen offenen Platz enthält. Zum Beispiel "ist ___ ein Mann", drückt ein Prädikat aus... Das Prädikat ist eine Aussagefunktion einer Variable. Prädikate werden häufig 'Eigenschaften' genannt... Die Prädikat-Rechnung wird von der Logik von Prädikaten in diesem allgemeinen Sinn 'des Prädikats', d. h. als Aussagefunktion handeln".

1970 hat Bourbaki, im Kapitel II von Elementen der Mathematik (Theorie von Sätzen), die moderne Definition der Funktion als ein dreifacher f = (F, A, B) gegeben

Verwandtschaftsform einer Funktion

Der Grund für das Verschwinden der Wörter "Aussagefunktion" z.B, darin, und, wird durch zusammen mit der weiteren Erklärung der Fachsprache erklärt:

: "Ein Ausdruck wie x ist eine ganze Zahl, die Variablen enthält und, auf dem Ersatz dieser Variablen durch Konstanten wird ein Satz, wird einen SENTENTIAL [d. h., Satz-vgl seinen Index] FUNKTION genannt. Aber Mathematiker lieben übrigens nicht sehr diesen Ausdruck, weil sie den Begriff "Funktion" mit einer verschiedenen Bedeutung gebrauchen.... Sentential-Funktionen und Sätze haben völlig mathematischer Symbole (und nicht Wörter von täglichem languange) gedichtet wie: auf x + y = 5 wird gewöhnlich von Mathematikern als FORMELN verwiesen. Im Platz "sentential fungieren" wir werden manchmal einfach "Satz" - aber nur in Fällen sagen, wo es keine Gefahr jedes Missverständnisses gibt".

Für seinen Teil nennt Tarski die Verwandtschaftsform der Funktion eine "FUNKTIONELLE BEZIEHUNG oder einfach eine FUNKTION". Nach einer Diskussion dieser "funktionellen Beziehung" behauptet er dass:

: "Das Konzept einer Funktion, die wir jetzt denken, unterscheidet sich im Wesentlichen von den Konzepten eines sentential [Satz-] und einer Designatory-Funktion.... Genau genommen... [diese] gehören dem Gebiet der Logik oder Mathematik nicht; sie zeigen bestimmte Kategorien von Ausdrücken an, die dienen, um logische und mathematische Behauptungen zusammenzusetzen, aber sie zeigen Dinge nicht an, die in jenen Behauptungen gehandelt sind.... Der Begriff "Funktion" in seinem neuen Sinn ist andererseits ein Ausdruck eines rein logischen Charakters; es benennt einen bestimmten Typ von Dingen, die in der Logik und Mathematik befasst sind."

Sieh mehr über die "Wahrheit unter einer Interpretation" an Alfred Tarski.

Siehe auch

• Funktioneller
• Funktionszusammensetzung
• Funktionelle Zergliederung
• Funktionelles Prädikat
• Funktionelle Programmierung
• Functor
• Verallgemeinerte Funktion
• Implizite Funktion
• Liste von mathematischen Funktionen
• Parametrische Gleichung
• Plateau
• Proportionalität
• Vertikaler Linientest

Referenzen

• vgl seine Einführung des Kapitels 1.

• Mit dem Kommentar von van Heijenoort.

Mit dem Kommentar von van Heijenoort.

• Mit dem Kommentar von van Heijenoort. Worin Russell seine Entdeckung eines "Paradoxes" in der Arbeit von Frege bekannt gibt.

Mit dem Kommentar von van Heijenoort. Mit dem Kommentar von van Heijenoort.

• Mit dem Kommentar von van Heijenoort. Das Paradox von Richard.

• Mit dem Kommentar von Willard Quine.

• Mit dem Kommentar von van Heijenoort. Worin Zermelo Schienen gegen Poincaré (und deshalb Russell) Begriff der impredicative Definition.

• Mit dem Kommentar von van Heijenoort. Worin Zermelo versucht, das Paradox von Russell zu lösen, indem er seine Axiome strukturiert, um das universale Gebiet B einzuschränken (von dem Gegenstände und Sätze durch bestimmte Eigenschaften gezogen werden), so dass es selbst kein Satz sein kann, d. h. seine Axiome weisen einen universalen Satz zurück.

• Mit dem Kommentar von W. V. Quine.

Mit dem Kommentar von van Heijenoort.

• Mit dem Kommentar von van Heijenoort. Worin Skolem das vage "bestimmte Eigentum von Zermelo" definiert.

• Mit dem Kommentar von Willard Quine. Der Anfang der combinatory Logik.
• Mit dem Kommentar von van Heijenoort. Worin von Neumann "Klassen" im Unterschied zu "Sätzen" schafft (die "Klassen" sind die "bestimmten Eigenschaften von Zermelo"), und jetzt gibt es einen universalen Satz usw.

Mit dem Kommentar von van Heijenoort.

Weiterführende Literatur

. .

• Reichenbach, Hans (1947) Elemente der Symbolischen Logik, Dover Publishing Inc., New York NY, internationale Standardbuchnummer 0-486-24004-5.

Links

• Die Wolfram-Funktionsseite gibt Formeln und Vergegenwärtigungen von vielen mathematischen Funktionen.
• Shodor: Funktionspilot, das interaktive Java applet, um Funktionen grafisch darzustellen und zu erforschen.
• xFunctions, Java applet, um Funktionen grafisch zu erforschen.
• Ziehen Sie Funktionsgraphen, online Programm für mathematische Funktionen ziehend.
• Funktionen von der Knoten-Kürzung.
• Funktion an ProvenMath.
• Umfassende webbasierte Funktion grafisch darstellend & Einschätzungswerkzeug.