In der Mathematik ist Funktionszusammensetzung die Anwendung einer Funktion zu den Ergebnissen von einem anderen. Zum Beispiel können die Funktionen und durch die Computerwissenschaft der Produktion von g zusammengesetzt werden, wenn es ein Argument von f (x) statt x hat. Intuitiv, wenn z eine Funktion g y ist und y eine Funktion f x ist, dann ist z eine Funktion von x.

So erhält man eine zerlegbare Funktion: definiert durch für den ganzen x in X. Die Notation wird als "g Kreis f", oder "g zusammengesetzt mit f", "g danach f", "g im Anschluss an f", oder gerade "g f" gelesen.

Die Zusammensetzung von Funktionen ist immer assoziativ. D. h. wenn f, g, und h drei Funktionen mit angemessen gewählten Gebieten und codomains sind, dann, wo die Parenthesen dienen, um anzuzeigen, dass Zusammensetzung zuerst für die Parenthesized-Funktionen durchgeführt werden soll. Da es keine Unterscheidung zwischen den Wahlen des Stellens von Parenthesen gibt, können sie sicher weggelassen werden.

sagt, pendeln die Funktionen g und f mit einander wenn. Im Allgemeinen wird die Zusammensetzung von Funktionen nicht auswechselbar sein. Commutativity ist ein spezielles Eigentum, erreicht nur durch besondere Funktionen, und häufig in speziellen Verhältnissen. Zum Beispiel, nur wenn.

Funktionen als spezielle Fälle von Beziehungen (nämlich funktionelle Beziehungen) betrachtend, kann man Zusammensetzung von Beziehungen analog definieren, die die Formel für in Bezug auf gibt und.

Ableitungen von Zusammensetzungen, die differentiable Funktionen einschließen, können mit der Kettenregel gefunden werden. Höhere Ableitungen solcher Funktionen werden durch die Formel von Faà di Bruno gegeben.

Die durch die Zusammensetzung gegebenen Strukturen sind axiomatized und verallgemeinert in der Kategorie-Theorie.

Beispiel

Als ein Beispiel, nehmen Sie an, dass eine Erhebung eines Flugzeuges in der Zeit t durch die Funktion h (t) gegeben wird, und dass die Sauerstoff-Konzentration an der Erhebung x durch die Funktion c (x) gegeben wird.

Dann beschreibt die Sauerstoff-Konzentration um das Flugzeug in der Zeit t.

Funktionelle Mächte

Wenn dann mit sich dichten kann; das wird manchmal angezeigt. So:

Die wiederholte Zusammensetzung einer Funktion mit sich wird Funktionswiederholung genannt.

Die funktionellen Mächte

für natürlichen

folgen Sie sofort.

• Durch die Tagung, die Identitätskarte auf dem Gebiet dessen.
• Wenn eine umgekehrte Funktion zulässt, werden negative funktionelle Mächte als die entgegengesetzte Macht der umgekehrten Funktion definiert.

Zeichen: Wenn f seine Werte in einem Ring nimmt (insbesondere für echten oder Komplex-geschätzten f), gibt es eine Gefahr der Verwirrung, weil f auch für das n-fold Produkt von f z.B eintreten konnte.

(Für trigonometrische Funktionen gewöhnlich wird der Letztere mindestens für positive Hochzahlen gemeint. Zum Beispiel, in der Trigonometrie, vertritt diese hochgestellte Notation Standard exponentiation, wenn verwendet, mit trigonometrischen Funktionen:

Jedoch, für negative Hochzahlen (besonders −1), verweist es dennoch gewöhnlich auf die umgekehrte Funktion, z.B, Lohe = arctan ( 1/Lohe).

In einigen Fällen kann ein Ausdruck für f darin aus der Regel für g gegeben Werte der nichtganzen Zahl von r abgeleitet werden. Das wird Bruchwiederholung genannt. Zum Beispiel wiederholt ein halber einer Funktion f ist eine Funktion g, ein Anderes Beispiel befriedigend, würde sein, dass, wo f die Nachfolger-Funktion ist, Diese Idee verallgemeinert werden kann, so dass die Wiederholungszählung ein dauernder Parameter wird; in diesem Fall wird solch ein System einen Fluss genannt.

Wiederholte Funktionen und Flüsse kommen natürlich in der Studie von fractals und dynamischen Systemen vor.

Zusammensetzung monoids

Nehmen Sie an, dass man zwei (oder mehr) Funktionen hat, die dasselbe Gebiet und codomain haben. Dann kann man sich lange, potenziell komplizierte Ketten dieser Funktionen zusammengesetzt zusammen, solcher als formen. Solche langen Ketten haben die algebraische Struktur eines monoid, genannt Transformation monoid oder Zusammensetzung monoid. Im Allgemeinen kann Zusammensetzung monoids bemerkenswert Struktur kompliziert haben. Ein besonderes bemerkenswertes Beispiel ist die Kurve von de Rham. Der Satz aller Funktionen wird die volle Transformationshalbgruppe auf X genannt.

Wenn die Funktionen bijektiv sind, dann bildet der Satz aller möglichen Kombinationen dieser Funktionen eine Transformationsgruppe; und man sagt, dass die Gruppe durch diese Funktionen erzeugt wird.

Der Satz aller bijektiven Funktionen bildet eine Gruppe in Bezug auf den Zusammensetzungsmaschinenbediener. Das ist die symmetrische Gruppe, auch manchmal genannt die Zusammensetzungsgruppe.

Alternative Notationen

• Viele Mathematiker lassen das Zusammensetzungssymbol weg, gf dafür schreibend.
• Mitte des 20. Jahrhunderts haben einige Mathematiker entschieden, dass das Schreiben, um zu bedeuten, "zuerst f anwendet, dann gilt, war g" zu verwirrend und entschieden, um Notationen zu ändern. Sie schreiben "xf" für "f (x)" und" (xf) g" für "g (f (x))". Das kann natürlicher sein und einfacher scheinen als das Schreiben von Funktionen links in einigen Gebieten - in der geradlinigen Algebra zum Beispiel, wenn x ein Zeilenvektor und f ist und g matrices anzeigen und die Zusammensetzung durch die Matrixmultiplikation ist. Diese alternative Notation wird Notation der postüblen Lage genannt. Die Ordnung ist wichtig, weil Matrixmultiplikation nichtauswechselbar ist. Aufeinander folgende Transformationen, die gelten und nach rechts dichten, stimmen mit der zum Recht nach links Lesen-Folge überein.
• Mathematiker, die Notation der postüblen Lage verwenden, können schreiben, dass "fg", bedeutend zuerst tun, tun f dann g in Übereinstimmung mit der Ordnung die Symbole kommen in der Notation der postüblen Lage vor, so die Notation "fg" zweideutig machend. Computerwissenschaftler können "f schreiben; g" dafür, dadurch die Ordnung der Zusammensetzung disambiguierend. Um den linken Zusammensetzungsmaschinenbediener von einem Textstrichpunkt in der Z Notation zu unterscheiden, wird ein fetter Strichpunkt  (U+2A1F) für die linke Beziehungszusammensetzung verwendet. Da alle Funktionen binäre Beziehungen sind, ist es richtig, um den fetten Strichpunkt für die Funktionszusammensetzung ebenso zu verwenden (sieh den Artikel über die Zusammensetzung von Beziehungen für weitere Details auf dieser Notation).

Zusammensetzungsmaschinenbediener

In Anbetracht einer Funktion g wird der Zusammensetzungsmaschinenbediener als dieser Maschinenbediener definiert, der Funktionen zu Funktionen als kartografisch darstellt

Zusammensetzungsmaschinenbediener werden im Feld der Maschinenbediener-Theorie studiert.

Siehe auch

• Logik von Combinatory
• Zusammensetzung von Beziehungen, der Generalisation zu Beziehungen
• Funktionszusammensetzung (Informatik)
• Funktionelle Zergliederung
• Fluss (Mathematik)
• Höherwertige Funktion
• Spinngewebe-Anschlag - eine grafische Technik für die funktionelle Zusammensetzung
• Lambda-Rechnung
• Funktionelle Quadratwurzel
• Bruchrechnung

Links

• "Zusammensetzung von Funktionen" durch Bruce Atwood, das Wolfram-Demonstrationsprojekt, 2007.