In der Mathematik ist das zusätzliche Gegenteil, oder gegenüber, einer Zahl die Zahl, die, wenn hinzugefügt, dazu, Null nachgibt.

Das zusätzliche Gegenteil dessen wird durch den unären minus angezeigt: . Das kann als eine Schnellschrift für eine allgemeine Subtraktionsnotation gesehen werden:

mit "0" weggelassenem, obwohl in einer richtigen Typografie es keinen Raum nach unärem "" geben sollte.

Zum Beispiel ist das zusätzliche Gegenteil 7 7, weil 7 + (7) = 0, und das zusätzliche Gegenteil 0.3 0.3, weil 0.3 + 0.3 = 0  ist.

Mit anderen Worten ist das zusätzliche Gegenteil einer Zahl die Verneinung der Zahl. Zum Beispiel ist das zusätzliche Gegenteil 8

−8 ist das zusätzliche Gegenteil 10002 −10002, und das zusätzliche Gegenteil von ² ist − (²).

Das zusätzliche Gegenteil einer Zahl wird als sein umgekehrtes Element unter der binären Operation der Hinzufügung definiert. Es kann mit der Multiplikation durch 1 berechnet werden; d. h. .

Ganze Zahlen, rationale Zahlen, reelle Zahlen und komplexe Zahl alle haben zusätzliche Gegenteile, weil sie negative sowie positive Zahlen enthalten. Natürliche Zahlen, Grundzahlen, und Ordinalzahlen haben andererseits zusätzliche Gegenteile innerhalb ihrer jeweiligen Sätze nicht. So, zum Beispiel, können wir sagen, dass natürliche Zahlen wirklich zusätzliche Gegenteile haben, aber weil diese zusätzlichen Gegenteile nicht selbst natürliche Zahlen sind, wird der Satz von natürlichen Zahlen unter der Einnahme zusätzlicher Gegenteile nicht geschlossen.

Allgemeine Definition

Die Notation + wird für binäre Ersatzoperationen vorbestellt, d. h. dass, für alle,  solch. Wenn solch eine Operation ein Identitätselement o zulässt (solch dass für alle), dann ist dieses Element () einzigartig. Für einen gegebenen , wenn dort solch besteht, dass , dann ein zusätzliches Gegenteil dessen genannt wird.

Wenn + assoziativ ist (für alle, , ), dann ist ein zusätzliches Gegenteil einzigartiger

Wir schreiben häufig als.

Zum Beispiel, da die Hinzufügung von reellen Zahlen assoziativ ist, hat jede reelle Zahl ein einzigartiges zusätzliches Gegenteil.

Andere Beispiele

Alle folgenden Beispiele sind tatsächlich abelian Gruppen:

• Hinzufügung echter geschätzter Funktionen: Hier ist das zusätzliche Gegenteil einer Funktion die Funktion  definiert durch , für alle, solch dass , die Nullfunktion ( für den ganzen ).
• mehr allgemein, was vorangeht, gilt für alle Funktionen mit Werten in einer abelian Gruppe ('Null', die dann das Identitätselement dieser Gruppe bedeutet):
• Komplex hat Funktionen, geschätzt
• Vektorraum hat Funktionen (nicht notwendigerweise geradlinig), geschätzt
• Folgen, matrices und Netze sind auch spezielle Arten von Funktionen.
• In einem Vektorraum entspricht Zusatz-Inversion Skalarmultiplikation durch 1. Für den Euklidischen Raum ist es Inversion im Ursprung.
• In der Modularithmetik wird das zusätzliche Modulgegenteil dessen auch definiert: Es ist die solche Zahl dass. Dieses zusätzliche Gegenteil besteht wirklich immer. Zum Beispiel ist das Gegenteil von 3 modulo 11 8, weil es die Lösung dessen ist.

Siehe auch

• Gegenteil von Multiplicative
• Zusätzliche Identität