Die Strom-Funktion wird für zweidimensionale Flüsse von verschiedenen Arten definiert. Die Strom-Funktion kann verwendet werden, um Stromlinien zu planen, die die Schussbahnen von Partikeln in einem unveränderlichen Fluss vertreten. Stromlinien sind auf equipotential Linien rechtwinklig. In den meisten Fällen ist die Strom-Funktion der imaginäre Teil des komplizierten Potenzials, während die potenzielle Funktion der echte Teil ist.

Den besonderen Fall der flüssigen Dynamik in Betracht ziehend, gibt der Unterschied zwischen den Strom-Funktionswerten an irgendwelchen zwei Punkten den volumetrischen Durchfluss (oder volumetrischen Fluss) durch eine Linie, die die zwei Punkte verbindet.

Da Stromlinien Tangente zum Geschwindigkeitsvektoren des Flusses sind, muss der Wert der Strom-Funktion entlang einer Stromlinie unveränderlich sein. Wenn es einen Fluss über eine Linie gäbe, würde es nicht notwendigerweise Tangente zum Fluss sein, folglich würde keine Stromlinie sein.

Die Nützlichkeit der Strom-Funktion liegt in der Tatsache, dass die Geschwindigkeitsbestandteile im x- und den y-Richtungen an einem gegebenen Punkt durch die partiellen Ableitungen der Strom-Funktion an diesem Punkt gegeben werden. Eine Strom-Funktion kann für jeden Fluss von Dimensionen größer oder gleich zwei definiert werden, jedoch ist der zwei dimensionale Fall allgemein am leichtesten, sich zu vergegenwärtigen und abzustammen.

Genommen zusammen mit dem Geschwindigkeitspotenzial kann die Strom-Funktion verwendet werden, um ein kompliziertes Potenzial für einen potenziellen Fluss abzuleiten. Mit anderen Worten ist die Strom-Funktion für den solenoidal Teil einer zweidimensionalen Zergliederung von Helmholtz verantwortlich, während das Geschwindigkeitspotenzial für den rotationsfreien Teil verantwortlich ist.

Zwei dimensionale Strom-Funktion

Definitionen

Das Zeichen der Strom-Funktion hängt von der verwendeten Definition ab.

Ein Weg ist, die Strom-Funktion für einen zwei dimensionalen solchen Fluss zu definieren, dass die Fluss-Geschwindigkeit als ausgedrückt werden kann:

:

\mathbf {u} = \nabla \times \boldsymbol {\\psi }\

</Mathematik>

Wo wenn der Geschwindigkeitsvektor.

Im Kartesianischen Koordinatensystem ist das zu gleichwertig

:

u = \frac {\\partial\psi} {\\teilweise y\, \qquad

v =-\frac {\\partial\psi} {\\teilweiser x }\

</Mathematik>

Wo und die Geschwindigkeiten in sind und Richtungen beziehungsweise koordinieren.

Alternative Definition (entgegengesetztes Zeichen)

Eine andere Definition (verwendet weiter in der Meteorologie und Meereskunde als das obengenannte) ist

:

wo ein Einheitsvektor in der Richtung ist und die Subschriften partielle Ableitungen anzeigen.

Bemerken Sie, dass diese Definition das entgegengesetzte Zeichen zu diesem gegebenen oben hat , so haben wir

:

u =-\frac {\\partial\psi'} {\\teilweise y\, \qquad

v = \frac {\\partial\psi'} {\\teilweiser x }\

</Mathematik>

in Kartesianischen Koordinaten.

Beide Formulierungen der Strom-Funktion beschränken die Geschwindigkeit, die zwei dimensionale Kontinuitätsgleichung genau zu befriedigen:

:

\frac {\\teilweise u\{\\teilweise x\+ \frac {\\teilweise v\{\\teilweise y\= 0

</Mathematik>

Abstammung der zwei dimensionalen Strom-Funktion

Denken Sie zwei Punkte A und B in zwei dimensionalem Flugzeug-Fluss. Wenn die Entfernung zwischen diesen zwei Punkten sehr klein ist: δn und ein Strom von Fluss-Pässen zwischen diesen Punkten mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit, q Senkrechte zur Linie AB, wird durch den Volumen-Durchfluss pro Einheitsdicke, δΨ gegeben:

:

Als δn  0, diesen Ausdruck umordnend, kommen wir:

:

Denken Sie jetzt zwei dimensionalen Flugzeug-Fluss bezüglich eines Koordinatensystems. Nehmen Sie an, dass ein Beobachter entlang einer willkürlichen Achse in der Richtung auf die Zunahme schaut und Fluss sieht die Achse vom linken bis Recht durchqueren. Eine Zeichen-Tagung wird solch angenommen, dass die Geschwindigkeit des Flusses positiv ist.

Fluss in Kartesianischen Koordinaten

Indem

wir den Fluss in ein elementares Quadrat in einem x-y Kartesianischen Koordinatensystem beobachten, haben wir:

::

wo u die Geschwindigkeitsparallele zu und in der Richtung auf die X-Achse ist, und v die Geschwindigkeitsparallele zu und in der Richtung auf die Y-Achse ist. So, als δn  0, und indem wir umordnen, haben wir:

::

Fluss in Polarkoordinaten

Indem

wir den Fluss in ein elementares Quadrat in einem r-θ Polarkoordinate-System beobachten, haben wir:

::

wo v der radiale Geschwindigkeitsbestandteil (Parallele zur R-Achse) ist, und v der tangentiale Geschwindigkeitsbestandteil (Parallele zum θ-axis) ist. So, als und, indem wir umordnen, haben wir:

::

Kontinuität: die Abstammung

Denken Sie zwei dimensionalen Flugzeug-Fluss innerhalb eines Kartesianischen Koordinatensystems. Kontinuität stellt dass fest, wenn wir Incompressible-Fluss in ein elementares Quadrat, den Fluss denken, in den kleines Element dem Fluss aus diesem Element gleichkommen muss.

Durch den Gesamtfluss ins Element wird gegeben:

:

Durch den Gesamtfluss aus dem Element wird gegeben:

:

So haben wir:

::

und Vereinfachung zu:

:

Das Einsetzen der Ausdrücke des Stroms fungiert in diese Gleichung, wir haben:

:

Vorticity

In Kartesianischen Koordinaten kann die Strom-Funktion von vorticity das Verwenden der Gleichung von folgendem Poisson gefunden werden:

:

oder

:

wo und

Siehe auch

• Potenzieller Fluss
• B. S. Massey und J. Ward-Smith, Mechanik von Flüssigkeiten, 7. Hrsg., Nelson Thornes, das Vereinigte Königreich (1998).
• F. M. Weiße, Flüssige Mechanik, 5. Hrsg., McGraw-Hügel, New York (2003).
• T. W. Gamelin, Komplizierte Analyse, Springer, New York (2001). Internationale Standardbuchnummer 0-387-95093-1.
• AMS Wörterverzeichnis des Meteorologie-Zugangs:

http://amsglossary.allenpress.com/glossary/search?id=streamfunction1