In der Algebra, der teilweisen Bruchteil-Zergliederung oder teilweisen Bruchteil-Vergrößerung ist ein Verfahren, das verwendet ist, um den Grad entweder des Zählers oder des Nenners einer vernünftigen Funktion (auch bekannt als eines vernünftigen algebraischen Bruchteils) zu reduzieren.

In Symbolen kann man teilweise Bruchteil-Vergrößerung verwenden, um eine vernünftige Funktion in der Form zu ändern

wo ƒ und g Polynome, in eine Funktion der Form sind

wo g (x) Polynome sind, die Faktoren von g (x) sind, und im General des niedrigeren Grads sind.

So kann die teilweise Bruchteil-Zergliederung als das umgekehrte Verfahren der elementareren Operation der Hinzufügung algebraischer Bruchteile gesehen werden, die eine einzelne vernünftige Funktion mit einem Zähler und Nenner gewöhnlich des hohen Grads erzeugt.

Die volle Zergliederung stößt die Verminderung, so weit es gehen wird: Mit anderen Worten wird der factorization von g so viel wie möglich verwendet. So drückt das Ergebnis einer vollen teilweisen Bruchteil-Vergrößerung diese Funktion als eine Summe von Bruchteilen, wo aus:

• der Nenner jedes Begriffes ist eine Macht eines nicht zu vereinfachenden (nicht factorable) Polynom und
• der Zähler ist ein Polynom des kleineren Grads als dieses nicht zu vereinfachende Polynom. Um den Grad des Zählers direkt zu vermindern, kann der Euklidische Algorithmus verwendet werden, aber tatsächlich wenn ƒ bereits niedrigeren Grad hat als g, ist das nicht nützlich.

Die Hauptmotivation, um eine vernünftige Funktion in eine Summe von einfacheren Bruchteilen zu zersetzen, ist, dass es es einfacher macht, geradlinige Operationen darauf durchzuführen. Deshalb kann das Problem von Rechenableitungen, Antiableitungen, Integralen, Macht-Reihenentwicklungen, Reihe von Fourier, Rückständen und geradlinigen funktionellen Transformationen von vernünftigen Funktionen, über die teilweise Bruchteil-Zergliederung, zum Bilden der Berechnung auf jedem einzelnen in der Zergliederung verwendeten Element reduziert werden. Sieh z.B teilweise Bruchteile in der Integration auf eine Rechnung des Gebrauches der teilweisen Bruchteile in der Entdeckung von Antiableitungen.

Gerade, welche Polynome nicht zu vereinfachend sind, hängt ab, auf dem Feld von Skalaren man annimmt. So, wenn man nur reelle Zahlen erlaubt, dann sind nicht zu vereinfachende Polynome des Grads entweder 1 oder 2. Wenn komplexen Zahlen erlaubt wird, können nur Polynome des 1. Grads nicht zu vereinfachend sein. Wenn man nur rationale Zahlen oder ein begrenztes Feld erlaubt, dann sind einige Polynome des höheren Grads nicht zu vereinfachend.

Kernprinzipien

Die beteiligten Kernprinzipien sind ziemlich einfach; es sind die algorithmischen Aspekte, die Aufmerksamkeit in besonderen Fällen verlangen. Andererseits ist die Existenz einer Zergliederung einer bestimmten Art eine Annahme in praktischen Fällen, und die Grundsätze sollten erklären, welche Annahmen gerechtfertigt werden.

Nehmen Sie eine vernünftige Funktion R (x) = &fnof an; (x) hat/g (x) in einem unbestimmtem x einen Nenner das Faktoren als

über Feld K (können wir das nehmen, um reelle Zahlen oder komplexe Zahlen zu sein). Wenn P und Q keinen gemeinsamen Faktor haben, dann kann R als geschrieben werden

für einige Polynome (x) und B (x) über K. Die Existenz solch einer Zergliederung ist eine Folge der Tatsache, dass der polynomische Ring über K ein ideales Hauptgebiet, so dass ist

für einige Polynome C (x) und D (x) (sieh die Identität von Bézout).

Mit dieser Idee induktiv können wir R (x) als eine Summe mit Nenner-Mächten von nicht zu vereinfachenden Polynomen schreiben. Um das, zu nehmen schreiben Sie weiter auf Anfrage:

als eine Summe mit Nenner-Mächten von F und Zählern des Grads weniger als F, plus ein mögliches Extrapolynom. Das kann durch den Euklidischen Algorithmus, polynomischen Fall getan werden. Das Ergebnis ist der folgende Lehrsatz: