In der Mathematik ist ein schwach kompakter Kardinal eine bestimmte Art der Grundzahl, die dadurch eingeführt ist; schwach kompakte Kardinäle sind große Kardinäle, meinend, dass ihre Existenz von den Standardaxiomen der Mengenlehre nicht bewiesen werden kann.

Formell wird ein grundsätzlicher κ definiert, um schwach kompakt zu sein, wenn es unzählbar ist und für jede Funktion f: [κ]  {0 1} gibt es eine Reihe von cardinality κ, der für f homogen ist. In diesem Zusammenhang bedeutet [κ] den Satz von 2-Elemente-Teilmengen von κ, und eine Teilmenge S κ ist für f homogen, wenn, und nur wenn entweder alle [S] zu 0 kartografisch darstellen oder alles davon zu 1 kartografisch darstellt.

Der Name "schwach kompakt" bezieht sich auf die Tatsache, dass, wenn ein Kardinal dann schwach kompakt ist, sich ein bestimmter bezogen hat, befriedigt infinitary Sprache eine Version des Kompaktheitslehrsatzes; sieh unten.

Schwach kompakte Kardinäle sind Kardinäle von Mahlo und der Satz von Kardinälen von Mahlo weniger als ein gegebene schwach kompakte Kardinal ist stationär.

Einige Autoren verwenden eine schwächere Definition schwach kompakter Kardinäle wie eine der Bedingungen unten mit der Bedingung der fallen gelassenen Unzugänglichkeit.

Gleichwertige Formulierungen

Der folgende ist für jeden unzählbaren grundsätzlichen κ gleichwertig:

1. κ ist schwach kompakt.
2. für jeden λ  λ gibt es eine Reihe von cardinality κ, der für f homogen ist.
3. κ ist unzugänglich und hat das Baumeigentum, d. h. jeder Baum der Höhe κ hat entweder ein Niveau der Größe κ oder einen Zweig der Größe κ.
4. Jede geradlinige Ordnung von cardinality κ hat ein Steigen oder eine hinuntersteigende Folge des Ordnungstyps κ.
5. κ ist - unbeschreiblich.
6. κ hat das Erweiterungseigentum. Mit anderen Worten, für den ganzen U  V dort besteht ein transitiver Satz X mit κ  X, und eine Teilmenge S  X, solch, der (V, , U) ein elementarer Unterbau (X, , S) ist. Hier werden U und S als unäre Prädikate betrachtet.
7. Für jeden Satz S cardinality κ Teilmengen von κ gibt es einen nichttrivialen κ-complete Filter, der S entscheidet.
8. κ ist κ-unfoldable.
9. κ ist unzugänglich, und die infinitary Sprache befriedigt L den schwachen Kompaktheitslehrsatz.
10. κ ist unzugänglich, und die infinitary Sprache befriedigt L den schwachen Kompaktheitslehrsatz.

sagt, befriedigt eine Sprache L den schwachen Kompaktheitslehrsatz, wenn, wann auch immer Σ eine Reihe von Sätzen von cardinality am grössten Teil von κ und jeder Teilmenge mit weniger ist als κ Elemente, ein Modell hat, dann hat Σ ein Modell. Stark kompakte Kardinäle werden auf eine ähnliche Weise ohne die Beschränkung des cardinality der Menge der Aussagen definiert.

Siehe auch

• Liste von großen grundsätzlichen Eigenschaften