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Deconvolution

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In der Mathematik ist deconvolution ein Algorithmus-basierter Prozess, der verwendet ist, um die Effekten der Gehirnwindung auf registrierten Daten umzukehren. Das Konzept von deconvolution wird in den Techniken der Signalverarbeitung und Bildverarbeitung weit verwendet. Weil diese Techniken der Reihe nach in vielen wissenschaftlichen und Technikdisziplinen weit verwendet werden, findet deconvolution viele Anwendungen.

Im Allgemeinen ist der Gegenstand von deconvolution, die Lösung einer Gehirnwindungsgleichung der Form zu finden:

Gewöhnlich ist h ein registriertes Signal, und &fnof; ist ein Signal, dass wir genesen möchten, aber ist mit einem anderen Signal g spiralig gewesen, bevor wir es registriert haben. Die Funktion g könnte die Übertragungsfunktion eines Instrumentes oder einer treibenden Kraft vertreten, die auf ein physisches System angewandt wurde. Wenn wir g wissen, oder mindestens die Form von g wissen, dann können wir deterministischen deconvolution durchführen. Jedoch, wenn wir g im Voraus nicht wissen, dann müssen wir es schätzen. Das wird meistenteils mit Methoden der statistischen Bewertung getan.

In physischen Maßen ist die Situation gewöhnlich an näher

In diesem Fall ε ist Geräusch, das in unser registriertes Signal eingegangen ist. Wenn wir annehmen, dass ein lautes Signal oder Image geräuschlos sind, wenn wir versuchen, eine statistische Schätzung von g zu machen, wird unsere Schätzung falsch sein. Der Reihe nach, unsere Schätzung &fnof; wird auch falsch sein. Je tiefer das Verhältnis des Signals zum Geräusch, desto schlechter unsere Schätzung des Deconvolved-Signals sein wird. Das ist der Grund, warum Gegenteil, das das Signal filtert, gewöhnlich nicht eine gute Lösung ist. Jedoch, wenn wir mindestens einige Kenntnisse des Typs des Geräusches in den Daten haben (zum Beispiel, weißes Geräusch), können wir im Stande sein, die Schätzung &fnof zu verbessern; durch Techniken wie Wiener deconvolution.

Die Fundamente für deconvolution und Zeitreihe-Analyse wurden von Norbert Wiener vom Institut von Massachusetts für die Technologie in seinem Buch Extrapolation, Interpolation und Glanzschleifen der Stationären Zeitreihe (1949) größtenteils gelegt. Das Buch hat auf der Arbeit basiert, die Wiener während des Zweiten Weltkriegs getan hatte, aber das war zurzeit klassifiziert worden. Einige der frühen Versuche, diese Theorien anzuwenden, waren in den Feldern der Wettervorhersage und Volkswirtschaft.

Anwendungen von deconvolution

Seismologie

Das Konzept von deconvolution hatte eine frühe Anwendung in der Nachdenken-Seismologie. 1950 war Enders Robinson ein Student im Aufbaustudium an MIT. Er hat mit anderen an MIT, wie Norbert Wiener, Norman Levinson, und Wirtschaftswissenschaftler Paul Samuelson gearbeitet, um sich "convolutional Modell" eines Nachdenkens seismogram zu entwickeln. Dieses Modell nimmt an, dass der registrierte seismogram s (t) die Gehirnwindung einer Erdreflexionsvermögen-Funktion e (t) und eine seismische Elementarwelle w (t) von einer Punkt-Quelle ist, wo t Aufnahme-Zeit vertritt. So ist unsere Gehirnwindungsgleichung

Der Seismologe interessiert sich für e, der Information über die Struktur der Erde enthält. Durch den Gehirnwindungslehrsatz kann diese Gleichung in umgestalteter Fourier sein

im Frequenzgebiet. Indem wir annehmen, dass das Reflexionsvermögen weiß ist, können wir annehmen, dass das Macht-Spektrum des Reflexionsvermögens unveränderlich ist, und dass das Macht-Spektrum des seismogram das Spektrum der mit dieser Konstante multiplizierten Elementarwelle ist. So,

Wenn wir annehmen, dass die Elementarwelle minimale Phase ist, können wir es wieder erlangen, indem wir die minimale Phase berechnen, die des Macht-Spektrums gleichwertig ist, das wir gerade gefunden haben. Das Reflexionsvermögen kann durch das Entwerfen und die Verwendung eines Filters von Wiener wieder erlangt werden, der die geschätzte Elementarwelle zu einer Delta-Funktion von Dirac (d. h., eine Spitze) gestaltet. Das Ergebnis kann als eine Reihe von schuppigen, ausgewechselten Delta-Funktionen gesehen werden (obwohl das nicht mathematisch streng ist):

wo N die Zahl von Nachdenken-Ereignissen, &tau ist; τ sind die Nachdenken-Zeiten jedes Ereignisses, und r sind die Reflexionskoeffizienten.

In der Praxis, da wir uns mit lauter, begrenzter Bandbreite, begrenzter Länge befassen, getrennt hat datasets probiert, das obengenannte Verfahren gibt nur eine Annäherung des Filters nach, der zu deconvolve die Daten erforderlich ist. Jedoch, indem wir das Problem als die Lösung einer Matrix von Toeplitz formulieren und Levinson recursion verwenden, können wir relativ einen Filter mit dem kleinsten karierten möglichen Mittelfehler schnell schätzen. Wir können auch deconvolution direkt im Frequenzgebiet tun und ähnliche Ergebnisse bekommen. Die Technik ist nah mit der geradlinigen Vorhersage verbunden.

Optik und andere Bildaufbereitung

In der Optik und Bildaufbereitung wird der Begriff "deconvolution" spezifisch gebraucht, um sich auf den Prozess zu beziehen, die optische Verzerrung umzukehren, die in einem optischen Mikroskop, Elektronmikroskop, Fernrohr oder anderem Bildaufbereitungsinstrument stattfindet, so klarere Images schaffend. Es wird gewöhnlich im Digitalgebiet durch einen Software algorithmus als ein Teil eines Gefolges von Mikroskop-Bildverarbeitungstechniken getan. Deconvolution ist auch praktisch, um Images zu schärfen, die unter dem Zeitraffer oder jiggles während des Gefangennehmens leiden. Frühe Hubble Raumfernrohr-Images wurden durch einen fehlerhaften Spiegel verdreht und konnten durch deconvolution geschärft werden.

Die übliche Methode ist anzunehmen, dass der optische Pfad durch das Instrument, convolved mit einer Punkt-Ausbreitungsfunktion (PSF), d. h. eine mathematische Funktion optisch vollkommen ist, die die Verzerrung in Bezug auf den Pfad beschreibt, den eine theoretische Punkt-Quelle des Lichtes (oder andere Wellen) durch das Instrument nimmt. Gewöhnlich trägt solch eine Punkt-Quelle ein kleines Gebiet der Flockigkeit zum Endimage bei. Wenn diese Funktion bestimmt werden kann, ist es dann eine Sache, seine umgekehrte oder ergänzende Funktion und convolving das erworbene Image damit zu schätzen. Das Ergebnis ist das ursprüngliche, unverzerrte Image.

In der Praxis ist die Entdeckung des wahren PSF unmöglich, und gewöhnlich wird eine Annäherung davon verwendet, theoretisch berechnet oder auf einer experimentellen Bewertung durch das Verwenden bekannter Untersuchungen gestützt. Echte Optik kann auch verschiedenen PSFs an verschiedenen im Brennpunkt stehenden und räumlichen Positionen haben, und der PSF kann nichtlinear sein. Die Genauigkeit der Annäherung des PSF wird das Endresultat diktieren. Verschiedene Algorithmen können verwendet werden, um bessere Ergebnisse zum Preis zu geben, mehr rechenbetont intensiv zu sein. Da die ursprüngliche Gehirnwindung Daten verwirft, verwenden einige Algorithmen zusätzliche an nahe gelegenen Brennpunkten erworbene Daten, um etwas von der verlorenen Information zusammenzusetzen. Regularization in wiederholenden Algorithmen (als in Erwartungsmaximierungsalgorithmen) kann angewandt werden, um unrealistische Lösungen zu vermeiden.

Wenn der PSF unbekannt ist, kann es möglich sein, es durch das systematische Versuchen verschiedenen möglichen PSFs und das Festsetzen abzuleiten, ob sich das Image verbessert hat. Dieses Verfahren wird blinden deconvolution genannt. Rollladen deconvolution ist eine feste Bildwiederherstellungstechnik in der Astronomie, wo die Punkt-Natur der fotografierten Gegenstände den PSF ausstellt, der es so mehr ausführbar macht. Es wird auch in der Fluoreszenz-Mikroskopie für die Bildwiederherstellung, und in der Fluoreszenz geisterhafte Bildaufbereitung für die geisterhafte Trennung von vielfachem unbekanntem fluorophores verwendet. Der allgemeinste wiederholende Algorithmus zum Zweck ist der Richardson-Lucy deconvolution Algorithmus; Wiener deconvolution (und Annäherungen) sind die allgemeinsten nichtwiederholenden Algorithmen.

Radioastronomie

Wenn

er Bildsynthese im Radio interferometry, einer spezifischen Art der Radioastronomie durchführt, besteht ein Schritt aus deconvolving das erzeugte Image mit dem "schmutzigen Balken", der ein verschiedener Name für die Punkt-Ausbreitungsfunktion ist. Eine allgemeine verwendete Methode ist der SAUBERE Algorithmus.