In der Algebra ist der nilradical eines Ersatzrings das Ideal, das aus den nilpotent Elementen des Rings besteht.

Im Nichtersatzringfall arbeitet dieselbe Definition nicht immer. Das ist auf mehrere Radikale hinausgelaufen, die den Ersatzfall auf verschiedene Weisen verallgemeinern.

Ersatzringe

Der nilradical eines Ersatzrings ist der Satz aller nilpotent Elemente im Ring, oder gleichwertig der Radikale des Nullideales. Das ist ein Ideal, weil die Summe irgendwelcher zwei nilpotent Elemente nilpotent ist, und das Produkt jedes Elements mit einem nilpotent Element nilpotent ist. Es kann auch als die Kreuzung aller Hauptideale des Rings charakterisiert werden. Wenn der Ring artinian ist, ist der nilradical sein maximales nilpotent Ideal.

Nichtersatzringe

Für Nichtersatzringe gibt es mehrere Entsprechungen des nilradical. Tiefer nilradical (oder Baer-McCoy radikaler oder erster Radikaler) ist die Entsprechung des Radikalen des Nullideales und wird als die Kreuzung der Hauptideale des Rings definiert. Die Entsprechung des Satzes aller nilpotent Elemente ist der obere nilradical und wird als das Ideal definiert, das durch alle Null-Ideale des Rings erzeugt ist, der selbst ein Null-Ideal ist. Der Satz aller nilpotent Elemente selbst braucht kein Ideal zu sein (oder sogar eine Untergruppe), so kann der obere nilradical viel kleiner sein als dieser Satz. Der Levitzki Radikale ist zwischen und wird als das größte lokal nilpotent Ideal definiert. Als im Ersatzfall, wenn der Ring artinian ist, ist radikaler Levitzki nilpotent und ist so das einzigartige größte nilpotent Ideal. Tatsächlich, wenn der Ring bloß noetherian ist, dann sind das niedrigere, obere, und radikaler Levitzki nilpotent und fallen zusammen, dem nilradical jedes Noetherian-Rings erlaubend, als das einzigartige größte (verlassen, Recht, oder zweiseitig) nilpotent Ideal des Rings definiert zu werden.

Siehe auch

• Jacobson radikaler
• minimales Hauptideal
• nilradical einer Lüge-Algebra
• Eisenbud, David, "Ersatzalgebra mit einer Ansicht zur Algebraischen Geometrie", Absolvententexte in der Mathematik, 150, Springer-Verlag, 1995, internationale Standardbuchnummer 0-387-94268-8.