In der Ersatzringtheorie, einem Zweig der Mathematik, dem Radikalen eines Ideales bin ich ein solches Ideal, dass ein Element x im Radikalen ist, wenn etwas Macht von x in mir ist. Ein radikales Ideal (oder Halbhauptideal) sind ein Ideal, das sein eigener Radikaler ist (das kann als seiend ein gehefteter Punkt einer Operation auf Idealen genannt 'Radikalisierung' ausgedrückt werden). Der Radikale eines primären Ideales ist erst.

Radikale Ideale definiert hier werden zu Nichtersatzringen im Halbhauptringartikel verallgemeinert.

Definition

Der Radikale eines Ideales I in einem Ersatzring R, angezeigt von Rad (I) oder √I, wird als definiert

Intuitiv kann man an den Radikalen von mir, wie erhalten, denken, indem man alle möglichen Wurzeln von Elementen von mir nimmt. Rad (I) erweist sich, ein Ideal selbst zu sein, mich enthaltend.

Die leichteste Weise zu beweisen, dass der Radikale von mir eines Rings A ein Ideal bin, soll bemerken, dass es das Vorimage des Ideales von nilpotent Elementen darin ist. Tatsächlich nimmt man häufig diese Identifizierung als eine Definition des Radikalen.

Wenn ein Ideal I mit seinem eigenen Radikalen zusammenfällt, dann werde ich ein radikales Ideal genannt.

Beispiele

Denken Sie den Ring Z von ganzen Zahlen.

1. Der Radikale des Ideales 4Z Vielfachen der ganzen Zahl 4 ist 2Z.
2. Der Radikale 5Z ist 5Z.
3. Der Radikale 12Z ist 6Z.
4. Im Allgemeinen ist der Radikale von mZ rZ, wo r das Produkt aller Hauptfaktoren der M ist (sieh radikal einer ganzen Zahl).

Der Radikale eines primären Ideales ist erst.

Der nilradical eines Rings

Denken Sie den Satz aller nilpotent Elemente von R, der den nilradical von R genannt wird (und durch N(R) angezeigt wird). Man kann leicht sehen, dass der nilradical von R gerade der Radikale des Nullideales (0) ist. Das erlaubt eine alternative Definition für den (allgemeinen) Radikalen eines Ideales I in R. Definieren Sie Rad (I) als das Vorimage von N (R/I), die nilradical von R/I, unter dem Vorsprung stellen RR/I kartografisch dar.

Um zu sehen, dass die zwei Definitionen für den Radikalen von mir gleichwertig bin, bemerken Sie zuerst, dass, wenn r im Vorimage von  (R/I) ist, dann für einen n ist r Null in R/I, und folglich, r in mir ist. Zweitens, wenn r in mir für einen n ist, dann ist das Image von r in R/I Null, und folglich ist r im Vorimage von  (R/I).

Diese alternative Definition kann sehr nützlich sein, wie wir direkt unten sehen werden. Sieh #Properties unten für eine andere Charakterisierung des nilradical.

Eigenschaften

• Wenn P ein Hauptideal ist, dann ist R/P ein integriertes Gebiet, so kann es nicht Nullteiler haben, und insbesondere es Nichtnull nilpotents nicht haben kann. Folglich ist der nilradical von R/P {0}, und sein Vorimage, P seiend, ist ein radikales Ideal.

• wir Lokalisierung verwenden, können wir sehen, dass Rad (I) die Kreuzung aller Hauptideale von R ist, die mich enthalten: Jedes Hauptideal ist radikal, so die Kreuzung J der Hauptideale, die enthalten, enthalte mich Rad (I). Wenn r ein Element von R ist, der nicht in Rad (I) ist, dann lassen wir S der Satz {rn sein ist eine natürliche Zahl}. S ist geschlossener multiplicatively, so können wir die Lokalisierung SR bilden. Bilden Sie den Quotienten SR/SI. Durch das Lemma von Zorn können wir ein maximales Ideal P in diesem Ring wählen. Das Vorimage von P laut der Karten R→SR→SR/SI ist ein Hauptideal, das mich enthält und S nicht entspricht; insbesondere es entspricht r nicht, so ist r nicht in J.
• Insbesondere der nilradical ist der Kreuzung aller Hauptideale gleich, die das 0 Ideal enthalten, aber alle Ideale müssen 0 enthalten, so kann der nilradical als die Kreuzung der Hauptideale wechselweise definiert werden.

Anwendungen

Die primäre Motivation in studierenden Radikalen ist der Nullstellensatz des berühmten Hilberts in der Ersatzalgebra. Eine leicht verstandene Version dieses Lehrsatzes stellt fest, dass für ein algebraisch geschlossenes Feld k, und für jedes begrenzt erzeugte polynomische Ideal J im n indeterminates über das Feld k man hat

wo

und

Eine andere Weise, es zu stellen: Die Zusammensetzung auf dem Satz von Idealen eines Rings ist tatsächlich ein Verschluss-Maschinenbediener. Aus der Definition des Radikalen ist es klar, dass Einnahme des Radikalen eine idempotent Operation ist.

Siehe auch

• Jacobson radikaler
• Nilradical eines Rings
• Eisenbud, David, Ersatzalgebra mit einer Ansicht zur Algebraischen Geometrie, den Absolvententexten in der Mathematik, 150, Springer-Verlag, 1995, internationale Standardbuchnummer 0-387-94268-8.