Ersatzalgebra ist der Zweig der abstrakten Algebra, die Ersatzringe, ihre Ideale und Module über solche Ringe studiert. Sowohl algebraische Geometrie als auch Theorie der algebraischen Zahl bauen auf Ersatzalgebra. Prominente Beispiele von Ersatzringen schließen polynomische Ringe, Ringe von algebraischen ganzen Zahlen, einschließlich der gewöhnlichen ganzen Zahlen und p-adic ganzen Zahlen ein.

Ersatzalgebra ist das technische Hauptwerkzeug in der lokalen Studie von Schemas.

Die Studie von Ringen, die nicht notwendigerweise auswechselbar sind, ist als Nichtersatzalgebra bekannt; es schließt Ringtheorie, Darstellungstheorie und die Theorie von Algebra von Banach ein.

Geschichte

Das Thema, das zuerst als ideale Theorie bekannt ist, hat mit der Arbeit von Richard Dedekind an Idealen begonnen, die selbst auf der früheren Arbeit von Ernst Kummer und Leopold Kronecker gestützt sind. Später hat David Hilbert den Begriff Ring eingeführt, um den früheren Begriff-Zahl-Ring zu verallgemeinern. Hilbert hat eine abstraktere Annäherung eingeführt, um die konkreteren und rechenbetont orientierten Methoden zu ersetzen, die in solchen Dingen wie komplizierte Analyse und klassische invariant Theorie niedergelegt sind. Der Reihe nach hat Hilbert stark Emmy Noether beeinflusst, der wir viel von der abstrakten und axiomatischen Annäherung an das Thema schulden. Ein anderer wichtiger Meilenstein war die Arbeit des Studenten von Hilbert Emanuel Lasker, der primäre Ideale eingeführt hat und die erste Version des Lasker-Noether Lehrsatzes bewiesen hat.

Viel von der modernen Entwicklung der Ersatzalgebra betont Module. Sowohl Ideale eines Rings R als auch R-Algebra sind spezielle Fälle von R-Modulen, so umfasst Modul-Theorie sowohl ideale Theorie als auch die Theorie von Ringerweiterungen. Obwohl es bereits in der Arbeit von Kronecker beginnend war, wird die moderne Annäherung an die Ersatzalgebra mit der Modul-Theorie gewöhnlich Emmy Noether kreditiert.

Siehe auch

• Kombinatorische Ersatzalgebra
• Basis von Gröbner

Algebra von Homological

• Michael Atiyah & Ian G. Macdonald, Einführung in die Ersatzalgebra, Massachusetts: Addison-Wesley Publishing, 1969.
• Bourbaki, Nicolas, Ersatzalgebra. Kapitel 1 - 7. Übersetzt aus den Franzosen. Nachdruck der englischen 1989-Übersetzung. Elemente der Mathematik (Berlin). Springer-Verlag, Berlin, 1998. internationale Xxiv+625-Seiten-Standardbuchnummer 3-540-64239-0
• Bourbaki, Nicolas, Éléments de mathématique. Auswechselbarer Algèbre. Chapitres 8 und 9. (Elemente der Mathematik. Ersatzalgebra. Kapitel 8 und 9) Nachdruck von ursprünglichem 1983. Springer, Berlin, 2006. internationale Ii+200-Seiten-Standardbuchnummer 978-3-540-33942-7
• David Eisenbud, Ersatzalgebra Mit einer Ansicht zur Algebraischen Geometrie, New York: Springer-Verlag, 1999.
• Rémi Goblot, "Algèbre auswechselbar, cours und exercices corrigés", 2e édition, Dunod 2001, internationale Standardbuchnummer 2-10-005779-0
• Ernst Kunz, "Einführung in die Ersatzalgebra und algebraische Geometrie", Birkhauser 1985, internationale Standardbuchnummer 0-8176-3065-1
• Matsumura, Hideyuki, Ersatzalgebra. Die zweite Ausgabe. Mathematik-Vortrag-Zeichen-Reihe, 56. Benjamin/Cummings Publishing Co., Inc., das Lesen, Massachusetts, 1980. internationale Xv+313-Seiten-Standardbuchnummer 0-8053-7026-9
• Matsumura, Hideyuki, Ersatzringtheorie. Die zweite Ausgabe. Übersetzt aus den Japanern. Studien von Cambridge in der Fortgeschrittenen Mathematik, Cambridge, das Vereinigte Königreich: Universität von Cambridge Presse, 1989. Internationale Standardbuchnummer 0-521-36764-6
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• Miles Reid, Studentenersatzalgebra (London Mathematische Gesellschaftsstudententexte), Cambridge, das Vereinigte Königreich: Universität von Cambridge Presse, 1996.
• Jean-Pierre Serre, Lokale Algebra. Übersetzt aus den Franzosen durch das Kinn von CheeWhye und revidiert vom Autor. (Ursprünglicher Titel: Schauplatz von Algèbre, multiplicités) Springer-Monografien in der Mathematik. Springer-Verlag, Berlin, 2000. internationale Xiv+128-Seiten-Standardbuchnummer 3-540-66641-9
• Scharf, R. Y., Schritte in der Ersatzalgebra. Die zweite Ausgabe. London Mathematische Gesellschaftsstudententexte, 51. Universität von Cambridge Presse, Cambridge, 2000. internationale Xii+355-Seiten-Standardbuchnummer 0-521-64623-5
• Zariski, Oskar; Samuel, Pierre, Ersatzalgebra. Vol. 1, 2. Mit der Zusammenarbeit von mir. S. Cohen. Korrigierter Neudruck von 1958, 1960 Ausgabe. Absolvententexte in der Mathematik, Nr. 28, 29. Springer-Verlag, New York-Heidelberg-Berlin, 1975.