In der Mathematik, eine quadratische Irrationalzahl (auch bekannt als

eine quadratische Unvernunft oder quadratisch irrational) ist eine irrationale Zahl, die die Lösung einer quadratischen Gleichung mit vernünftigen Koeffizienten ist. Da Bruchteile in den Koeffizienten einer quadratischen Gleichung durch das Multiplizieren beider Seiten durch ihren gemeinsamen Nenner geklärt werden können, ist eine quadratische Irrationalzahl eine irrationale Wurzel von einer quadratischen Gleichung, deren Koeffizienten ganze Zahlen sind. Die quadratischen Irrationalzahlen bilden die echten algebraischen Zahlen des Grads 2 und können deshalb in dieser Form ausgedrückt werden:

für ganze Zahlen a, b, c, d; mit b und d Nichtnull, und mit c > 1 und freies Quadrat. Das deutet an, dass die quadratischen Irrationalzahlen denselben cardinality wie bestellte Vierfache von ganzen Zahlen haben, und deshalb zählbar sind.

Die rationalen Zahlen zusammen mit allen quadratischen Irrationalzahlen mit einem gegebenen c bilden ein Feld, genannt ein echtes quadratisches Feld. Insbesondere ihre Gegenteile sind derselben Form, seitdem

Dieses Feld wird häufig das erhaltene Feld durch das Angrenzen &radic genannt; zu den rationalen Zahlen und angezeigtem Q (&radic).

Quadratische Irrationalzahlen haben nützliche Eigenschaften besonders in Bezug auf fortlaufende Bruchteile, wo wir das Ergebnis haben, dass alle quadratischen Irrationalzahlen und nur quadratische Irrationalzahlen, periodische fortlaufende Bruchteil-Formen haben. Zum Beispiel

Die Quadratwurzel des Nichtquadrats ist vernunftwidrig

Die Definition von quadratischen Irrationalzahlen verlangt, dass sie zwei Bedingungen befriedigen: Sie müssen eine quadratische Gleichung befriedigen, und sie müssen vernunftwidrig sein. Die Lösungen der quadratischen Gleichungsaxt + bx + c = 0 sind

So sind quadratische Irrationalzahlen genau jene Zahlen in dieser Form, die nicht vernünftig sind. Seitdem b und 2a sind beide ganze Zahlen, fragend, wenn die obengenannte Menge vernunftwidrig ist, ist dasselbe als das Fragen, wenn die Quadratwurzel einer ganzen Zahl vernunftwidrig ist. Die Antwort darauf ist, dass die Quadratwurzel jeder natürlichen Zahl, die nicht ein vollkommenes Quadrat ist, vernunftwidrig ist.

Die Quadratwurzel 2 war die erste derartige Zahl, die vernunftwidrig zu beweisen ist. Theodorus von Cyrene hat die Unvernunft der Quadratwurzeln von ganzen Zahlen bis zu 17 bewiesen, aber hat dort wahrscheinlich angehalten, weil die Algebra, die er verwendet hat, auf die Quadratwurzel von Zahlen nicht angewandt werden konnte, die größer sind als 17. Das Element-Buch 10 von Euklid wird der Klassifikation von vernunftwidrigen Umfängen gewidmet. Der ursprüngliche Beweis der Unvernunft der nichtquadratischen natürlichen Zahlen hängt vom Lemma von Euklid ab.

Viele Beweise der Unvernunft der Quadratwurzeln von nichtquadratischen natürlichen Zahlen nehmen implizit den Hauptsatz der Arithmetik an, die zuerst von Carl Friedrich Gauss in seinem Disquisitiones Arithmeticae bewiesen wurde. Das behauptet, dass jede ganze Zahl einen einzigartigen factorization in die Blüte hat. Für jede vernünftige nichtganze Zahl in niedrigsten Begriffen muss es eine Blüte im Nenner geben, der sich in den Zähler nicht teilt. Wenn der Zähler quadratisch gemacht wird, dass sich erst darin wegen des einzigartigen factorization noch immer nicht teilen wird. Deshalb ist das Quadrat einer vernünftigen nichtganzen Zahl immer eine nichtganze Zahl; durch contrapositive ist die Quadratwurzel einer ganzen Zahl immer entweder eine andere ganze Zahl, oder vernunftwidrig.

Euklid hat eine eingeschränkte Version des Hauptsatzes und eines sorgfältigen Arguments verwendet, um den Lehrsatz zu beweisen. Sein Beweis ist im Element-Vorschlag des Buches X von Euklid 9.

Der Hauptsatz der Arithmetik ist nicht wirklich erforderlich, das Ergebnis zu beweisen dennoch. Es gibt geschlossene Beweise durch Richard Dedekind, unter anderen. Der folgende Beweis wurde von Colin Richard Hughes von einem Beweis der Unvernunft der Quadratwurzel von zwei gefundenen von Theodor Estermann 1975 angepasst.

Nehmen Sie an, dass D eine nichtquadratische natürliche Zahl ist, dann gibt es eine solche Nummer n dass:

:n,

so in besonderem

:0