In der Mathematik ist eine Lüge groupoid ein groupoid, wo der Satz von Gegenständen und der Satz von morphisms beide Sammelleitungen, die Quelle sind und Operationen ins Visier nehmen

:

sind Untertauchen, und alle Kategorie-Operationen (Quelle und Ziel, Zusammensetzung und Identität zuteilende Karte) sind glatt.

Von einer Lüge groupoid kann so als eine "Vielgegenstand-Generalisation" einer Lüge-Gruppe gedacht werden, gerade als ein groupoid eine Vielgegenstand-Generalisation einer Gruppe ist. Da jede Lüge-Gruppe eine Lüge-Algebra hat, hat jede Lüge groupoid eine Lüge algebroid.

Beispiele

• Irgendwelchen Lügen Gruppe gibt eine Lüge groupoid mit einem Gegenstand, und umgekehrt. Also, die Theorie der Lüge groupoids schließt die Theorie von Lüge-Gruppen ein.
• In Anbetracht jeder Sammelleitung gibt es eine Lüge groupoid hat das Paar groupoid, mit als die Sammelleitung von Gegenständen, und genau ein morphism von jedem Gegenstand bis irgendwelchen anderer genannt. In dieser Lüge groupoid die Sammelleitung von morphisms ist so.
• In Anbetracht einer Lüge-Gruppe, die einer Sammelleitung folgt, gibt es eine Lüge groupoid hat gerufen die Übersetzung groupoid mit einem morphism für jeden verdreifachen sich damit.
• Jede Blattbildung gibt eine Lüge groupoid.
• Jedes Hauptbündel mit der Struktur-Gruppe G gibt einen groupoid nämlich über die M, wo G den Paaren componentwise folgt. Zusammensetzung wird über vereinbare Vertreter als im Paar groupoid definiert.

Morita Morphisms und Smooth Stacks

Neben dem Isomorphismus von groupoids gibt es eine rauere Notation der Gleichwertigkeit, der so genannten Gleichwertigkeit von Morita. Ein ziemlich allgemeines Beispiel ist der Morita-morphism des Čech groupoid, der wie folgt geht. Lassen Sie M eine glatte Sammelleitung und ein offener Deckel der M sein. Definieren Sie die zusammenhanglose Vereinigung mit dem offensichtlichen Untertauchen. Um die Struktur der mannigfaltigen M zu verschlüsseln, definieren den Satz von morphisms wo. Die Quelle und Zielkarte werden als der embeddings definiert und. Und Multiplikation ist die offensichtliche, wenn wir als Teilmengen der M lesen (vereinbare Punkte darin und wirklich dasselbe in der M sind und auch in liegen).

Dieser Čech groupoid ist tatsächlich das Hemmnis groupoid von, d. h. der triviale groupoid über die M unter p. Das ist, was es Morita-morphism macht.

Um den Begriff einer Gleichwertigkeitsbeziehung zu bekommen, müssen wir den Aufbau symmetrisch machen und zeigen, dass es auch transitiv ist. In diesem Sinn sagen wir, dass 2 groupoids und Morita sind, besteht gleichwertiger iff dort ein Drittel groupoid zusammen mit 2 Morita morphisms von G bis K und H K. Transitivity ist ein interessanter Aufbau in der Kategorie von groupoid Hauptbündeln und verlassen dem Leser.

Es entsteht die Frage dessen, was unter der Gleichwertigkeit von Morita bewahrt wird. Es gibt 2 offensichtliche Dinge, ein der raue Quotient / Bahn-Raum des groupoid und zweitens der Ausgleicher-Gruppen für entsprechende Punkte und.

Die weitere Frage dessen, was die Struktur des rauen Quotient-Raums ist, führt zum Begriff eines glatten Stapels. Wir können annehmen, dass der raue Quotient eine glatte Sammelleitung ist, wenn zum Beispiel die Ausgleicher-Gruppen (als im Beispiel des Čech groupoid) trivial sind. Aber wenn sich die Ausgleicher-Gruppen ändern, können wir keine glatte Sammelleitung länger erwarten. Die Lösung ist, das Problem zurückzukehren und zu definieren:

Ein glatter Stapel ist eine Morita-Gleichwertigkeitsklasse der Lüge groupoids. Die natürlichen geometrischen Gegenstände, die vom Stapel leben, sind die geometrischen Gegenstände auf der Lüge groupoids invariant unter der Morita-Gleichwertigkeit. Als ein Beispiel denken die Lüge groupoid cohomology.

Beispiele

• Der Begriff des glatten Stapels ist offensichtlich ziemlich allgemein alle glatten Sammelleitungen sind glatte Stapel.
• Sondern auch orbifolds sind glatte Stapel, nämlich (Gleichwertigkeitsklassen) étale groupoids.
• Bahn-Räume von Blattbildungen sind eine andere Klasse von Beispielen

Links

Alan Weinstein, Groupoids: das Vereinheitlichen inneren und äußerlichen

Symmetrie, AMS Benachrichtigungen, 43 (1996), 744-752. Auch verfügbar als arXiv:math/9602220Kirill Mackenzie, Lügen Sie Groupoids und Lügen Sie Algebroids in der Differenzialgeometrie, Cambridge U., Drücken Sie 1987.Kirill Mackenzie, Allgemeine Theorie der Lüge Groupoids und Lügen Algebroids, Cambridge U., Drücken Sie 2005