In der Mathematik, Lügen Sie algebroids dienen derselben Rolle in der Theorie der Lüge groupoids, die Algebra-Aufschlag in der Theorie von Lüge-Gruppen Liegen: das Reduzieren von globalen Problemen zu unendlich kleinen. Ebenso eine Lüge kann von groupoid gedacht werden, weil "Gruppe mit vielen Gegenständen liegen" ist eine Lüge algebroid ähnlich, "Liegen Algebra mit vielen Gegenständen".

Genauer, eine Lüge algebroid

ist ein dreifacher, der aus einem Vektor-Bündel über eine Sammelleitung zusammen mit einer Lüge-Klammer auf seinem Modul von Abteilungen besteht, und ein morphism von Vektor-Bündeln hat den Anker genannt. Hier ist das Tangente-Bündel dessen. Der Anker und die Klammer sollen die Regierung von Leibniz befriedigen:

wo und die Ableitung entlang dem Vektorfeld ist. Hieraus folgt dass

für alle.

Beispiele

• Jede Lüge-Algebra ist eine Lüge algebroid über eine Punkt-Sammelleitung.
• Das Tangente-Bündel einer Sammelleitung ist eine Lüge algebroid für die Lüge-Klammer von Vektorfeldern und die Identität als ein Anker.
• Jedes integrable Subbündel des Tangente-Bündels - d. h. dasjenige, dessen Abteilungen unter der Lüge-Klammer - auch geschlossen werden, definiert eine Lüge algebroid.
• Jedes Bündel von Lüge-Algebra über eine glatte Sammelleitung definiert eine Lüge algebroid, wo die Lüge-Klammer definiert wird, sind pointwise und die Ankerkarte der Null gleich.
• Zu jeder Lüge wird groupoid eine Lüge algebroid vereinigt, verallgemeinernd, wie eine Lüge-Algebra zu einer Lüge-Gruppe vereinigt wird (sieh auch unten). Zum Beispiel kommt die Lüge algebroid aus dem Paar groupoid, dessen Gegenstände mit einem Isomorphismus zwischen jedem Paar von Gegenständen sind. Leider ist das Zurückgehen von einer Lüge algebroid zu einer Lüge groupoid nicht immer möglich, aber jede Lüge gibt algebroid einen stacky Liegen groupoid.
• In Anbetracht der Handlung einer Lüge-Algebra g auf einer mannigfaltigen M ist der Satz von g-invariant Vektorfelder auf der M eine Lüge algebroid über den Raum von Bahnen der Handlung.
• Atiyah algebroid eines HauptG-Bündels P über eine mannigfaltige M ist eine Lüge algebroid mit der kurzen genauen Folge:

: Der Raum von Abteilungen von Atiyah algebroid ist die Lüge-Algebra von G-invariant Vektorfeldern auf P.

Lügen Sie algebroid, der zu einer Lüge groupoid vereinigt ist

Um den Aufbau zu beschreiben, lassen uns eine Notation befestigen. G ist der Raum von morphisms der Lüge groupoid, M der Raum von Gegenständen, den Einheiten und der Zielkarte.

der T-Faser-Tangente-Raum. Die Lüge algebroid ist jetzt das Vektor-Bündel. Das erbt eine Klammer von G, weil wir die M Abteilungen in mit nach-links-invariant Vektorfeldern auf G identifizieren können. Die Ankerkarte wird dann erhalten, weil die Abstammung der Quelle kartografisch darstellt

. Weiter folgen diese Abteilungen den glatten Funktionen der M, indem sie diese mit nach-links-invariant Funktionen auf G identifiziert wird.

Als ein ausführlicheres Beispiel betrachten die Lüge algebroid als vereinigt dem Paar groupoid. Die Zielkarte ist und die Einheiten. Die T-Fasern sind und deshalb. So die Lüge ist algebroid das Vektor-Bündel. Die Erweiterung von Abteilungen X in zu nach-links-invariant Vektorfeldern auf G ist einfach, und die Erweiterung einer glatten Funktion f von der M bis eine nach-links-invariant Funktion auf G ist. Deshalb ist die Klammer auf A gerade die Lüge-Klammer von Tangente-Vektorfeldern, und die Ankerkarte ist gerade die Identität.

Natürlich konnten Sie einen analogen Aufbau mit der Quellkarte und den richtigen-invariant Vektorfeldern / Funktionen tun. Jedoch bekommen Sie eine isomorphe Lüge algebroid mit dem ausführlichen Isomorphismus, wo die umgekehrte Karte ist.

Siehe auch

• R-algebroid

Links

• Alan Weinstein, Groupoids: das Vereinheitlichen inneren und äußerlichen

Symmetrie, AMS Benachrichtigungen, 43 (1996), 744-752. Auch verfügbar als arXiv:math/9602220

• Kirill Mackenzie, Lügen Sie Groupoids und Lügen Sie Algebroids in der Differenzialgeometrie, Cambridge U., Drücken Sie 1987.
• Kirill Mackenzie, Allgemeine Theorie der Lüge Groupoids und Lügen Algebroids, Cambridge U., Drücken Sie 2005
• Charles-Michel Marle, Differenzialrechnung auf einer Lüge algebroid und Sammelleitungen von Poisson (2002). Auch verfügbar in arXiv:0804.2451