In der abstrakten Algebra ist das Konzept eines Moduls über einen Ring eine Generalisation des Begriffs des Vektorraums, worin den entsprechenden Skalaren erlaubt wird, in einem willkürlichen Ring zu liegen. Module verallgemeinern auch den Begriff von abelian Gruppen, die Module über den Ring von ganzen Zahlen sind.

So ist ein Modul, wie ein Vektorraum, ein Zusatz abelian Gruppe; ein Produkt wird zwischen Elementen des Rings und Elementen des Moduls definiert, und diese Multiplikation ist (wenn verwendet, mit der Multiplikation im Ring) assoziativ und verteilend.

Module sind sehr nah mit der Darstellungstheorie von Gruppen verbunden. Sie sind auch einer der Hauptbegriffe der Ersatzalgebra und homological Algebra, und werden weit in der algebraischen Geometrie und algebraischen Topologie verwendet.

Einführung

Motivation

In einem Vektorraum bildet der Satz von Skalaren ein Feld und folgt den Vektoren durch die Skalarmultiplikation, das Thema bestimmten Axiomen wie das verteilende Gesetz. In einem Modul müssen die Skalare nur ein Ring sein, so vertritt das Modul-Konzept eine bedeutende Generalisation. In der Ersatzalgebra ist es wichtig, dass beide Ideale und Quotient-Ringe Module sind, so dass viele Argumente über Ideale oder Quotient-Ringe in ein einzelnes Argument über Module verbunden werden können. In der Nichtersatzalgebra wird die Unterscheidung zwischen linken Idealen, Idealen und Modulen ausgesprochener, obwohl ein wichtiger Ring theoretische Bedingungen entweder über linke Ideale oder über linke Module ausgedrückt werden kann.

Viel von der Theorie von Modulen besteht aus dem Verlängern von so viel wie möglich der wünschenswerten Eigenschaften von Vektorräumen zum Bereich von Modulen über einen "wohl erzogenen" Ring wie ein ideales Hauptgebiet. Jedoch können Module ganz ein bisschen mehr kompliziert sein als Vektorräume; zum Beispiel haben nicht alle Module eine Basis und sogar diejenigen, die, freie Module, keine einzigartige Reihe haben müssen, wenn der zu Grunde liegende Ring die invariant Basiszahl-Bedingung verschieden von Vektorräumen nicht befriedigt, die immer eine Basis haben, deren cardinality dann (das Annehmen des Axioms der Wahl) einzigartig ist.

Formelle Definition

Ein linkes R-Modul M über den Ring R besteht aus einer abelian Gruppe (M, +) und eine Operation R × M  solche M dass für den ganzen r, s in R, x, y in der M, haben wir:

1. wenn R multiplicative Identität hat

Die Operation des Rings auf der M wird Skalarmultiplikation genannt, und wird gewöhnlich durch die Nebeneinanderstellung, d. h. als rx für r in R und x in der M geschrieben. Die Notation M zeigt ein linkes R-Modul M an". Ein richtiges R-Modul M oder M werden ähnlich nur die Ringtaten rechts definiert, d. h. haben wir eine Skalarmultiplikation der Form M × R  M und die obengenannten Axiome werden mit Skalaren r und s rechts von x und y geschrieben.

Autoren, die nicht verlangen, dass Ringe unital sind, lassen Bedingung 4 oben in der Definition eines R-Moduls weg, und würden so die Strukturen definiert oben "unital verlassen R-Module" nennen. In diesem Artikel, der mit dem Wörterverzeichnis der Ringtheorie im Einklang stehend ist, wie man annimmt, sind alle Ringe und Module unital.

Wenn man die Skalarhandlung als f schreibt, so dass f (x) = rx und f für die Karte, die jeden r in seine entsprechende Karte f bringt, dann stellt das erste Axiom fest, dass jeder f ein Gruppenhomomorphismus der M und die anderen drei Axiome ist, behaupten, dass die Karte f:R  End (M) gegeben durch r f ein Ringhomomorphismus von R bis den Endomorphismus-Ring End (M). Thus ist, ist ein Modul eine Ringhandlung auf einer abelian Gruppe (vgl Gruppenhandlung. Denken Sie auch Handlung von Monoid der multiplicative Struktur R). In diesem Sinn verallgemeinert Modul-Theorie Darstellungstheorie, die sich mit Gruppenhandlungen auf Vektorräumen, oder gleichwertig Gruppenringhandlungen befasst.

Ein bimodule ist ein Modul, das ein linkes Modul und ein richtiges solches Modul ist, dass die zwei Multiplikationen vereinbar sind.

Wenn R auswechselbar ist, dann sind linke R-Module dasselbe als richtige R-Module und werden einfach R-Module genannt.

Beispiele

• Wenn K ein Feld ist, dann sind die Konzepte "K-Vektorraum" (ein Vektorraum über K) und K-Modul identisch.
• Das Konzept eines Z-Moduls stimmt mit dem Begriff einer abelian Gruppe überein. D. h. jede abelian Gruppe ist ein Modul über den Ring von ganzen Zahlen Z auf eine einzigartige Weise. Für n > 0, lassen Sie nx = x + x +... + x (n summands), 0x = 0, und (−n) x = − (nx). Solch ein Modul braucht keine Basis zu haben — Gruppen, die Verdrehungselemente enthalten, tun nicht. (Zum Beispiel, in der Gruppe von ganzen Zahlen modulo 3, kann man nicht sogar ein Element finden, das die Definition eines linear unabhängigen Satzes seitdem befriedigt, wenn eine ganze Zahl solcher als 3 oder 6 ein Element multipliziert, ist das Ergebnis 0. Jedoch, wenn ein begrenztes Feld als ein Modul über dasselbe begrenzte als ein Ring genommene Feld betrachtet wird, ist es ein Vektorraum und hat wirklich eine Basis.)
• Wenn R ein Ring und n eine natürliche Zahl ist, dann ist das kartesianische Produkt R sowohl ein linker als auch ein richtiges Modul über R, wenn wir die teilklugen Operationen verwenden. Folglich, wenn n = 1, R ein R-Modul ist, wo die Skalarmultiplikation gerade Ringmultiplikation ist. Der Fall n = 0 Erträge das triviale R-Modul {0}, nur aus seinem Identitätselement bestehend. Module dieses Typs werden frei genannt, und wenn R invariant Basiszahl hat (z.B jeder Ersatzring oder Feld), ist die Nummer n dann die Reihe des freien Moduls.
• Wenn S ein nichtleerer Satz ist, ist M ein linkes R-Modul, und M ist die Sammlung aller Funktionen f: S  M, dann mit der Hinzufügung und Skalarmultiplikation in der M hat durch (f + g) (s) = f (s) + g (s) und (rf) (s) = rf (s) definiert, M ist ein linkes R-Modul. Der richtige R-Modul-Fall ist analog. Insbesondere wenn R dann die Sammlung des R-Modul-Homomorphismus h auswechselbar ist: M  N ist (sieh unten) ein R-Modul (und tatsächlich ein Untermodul von N).
• Wenn X eine glatte Sammelleitung ist, dann bilden die glatten Funktionen von X bis die reellen Zahlen einen Ring C (X). Der Satz aller glatten Vektorfelder, die auf X definiert sind, bildet ein Modul über C (X), und so die Tensor-Felder, und das Differenzial formt sich auf X. Mehr allgemein bilden die Abteilungen jedes Vektor-Bündels ein projektives Modul über C (X), und durch den Lehrsatz des Schwans, jedes projektive Modul ist zum Modul von Abteilungen von einem Bündel isomorph; die Kategorie von C (X) - Module und die Kategorie des Vektoren machen sich davon mehr als X sind gleichwertig.
• Das Quadrat n-by-n matrices mit echten Einträgen bildet einen Ring R, und der Euklidische Raum R ist ein linkes Modul über diesen Ring, wenn wir die Modul-Operation über die Matrixmultiplikation definieren.
• Wenn R ein Ring ist und ich jedes linke Ideal in R bin, dann bin ich ein linkes Modul über R. Analog natürlich sind richtige Ideale richtige Module.
• Wenn R ein Ring ist, können wir den Ring R definieren, der denselben zu Grunde liegenden Satz und dieselbe Hinzufügungsoperation, aber die entgegengesetzte Multiplikation hat: wenn ab = c in R, dann ba = c in R. Jedes linke R-Modul, wie man dann sehen kann, ist M ein richtiges Modul über R und jedes richtige Modul über R, kann als ein linkes Modul über R betrachtet werden.
• Es gibt Module einer Lüge-Algebra ebenso.

Untermodule und Homomorphismus

Nehmen Sie an, dass M ein linkes R-Modul ist und N eine Untergruppe ist

der M Dann ist N ein Untermodul (oder R-Untermodul, um ausführlicher zu sein), wenn, für einen n in N und einen r in R, das Produkt r n in N (oder nr für ein richtiges Modul) ist.

Der Satz von Untermodulen eines gegebenen Moduls M, zusammen mit den zwei binären Operationen + und , bildet ein Gitter, das das Modulgesetz befriedigt:

Gegebene Untermodule U, N, N der solcher M, dass N  N dann die folgenden zwei Untermodule gleich sind: (N + U)  N = N + (U  N).

Wenn M und N R-Module, dann eine Karte verlassen werden

f: M  N ist ein Homomorphismus von R-Modulen wenn, für jede M, n in der M

und r, s in R,

:

Das, wie jeder Homomorphismus von mathematischem

Gegenstände, ist gerade kartografisch darzustellen, der die Struktur der Gegenstände bewahrt.

Ein anderer Name für einen Homomorphismus von Modulen über R ist eine R-Linear-Karte.

Ein bijektiver Modul-Homomorphismus ist ein Isomorphismus von Modulen, und die zwei Module werden isomorph genannt. Zwei isomorphe Module sind zu allen praktischen Zwecken identisch, sich allein in der Notation für ihre Elemente unterscheidend.

Der Kern eines Modul-Homomorphismus f: M  N ist das Untermodul der M, die aus allen Elementen besteht, die an die Null durch f gesandt werden. Die Isomorphismus-Lehrsätze, die von Gruppen und Vektorräumen vertraut sind, sind auch für R-Module gültig.

Die linken R-Module, zusammen mit ihrem Modul-Homomorphismus, bilden eine Kategorie, schriftlich als R-Mod. Das ist eine abelian Kategorie.

Typen von Modulen

Begrenzt erzeugt. Eine Modul-M wird begrenzt erzeugt, wenn dort begrenzt viele Elemente x..., x in der solcher M bestehen, dass jedes Element der M eine geradlinige Kombination jener Elemente mit Koeffizienten vom Skalarring R ist.

Zyklisches Modul. Ein Modul wird ein zyklisches Modul genannt, wenn es durch ein Element erzeugt wird.

Frei. Ein freies Modul ist ein Modul, das eine Basis, oder gleichwertig, diejenige hat, die zu einer direkten Summe von Kopien des Skalarrings R isomorph ist. Das sind die Module, die sich sehr viel wie Vektorräume benehmen.

Projektiv. Projektive Module sind direkter summands von freien Modulen und teilen viele ihrer wünschenswerten Eigenschaften.

Injective. Module von Injective werden Doppel-zu projektiven Modulen definiert.

Wohnung. Ein Modul wird flach genannt, wenn die Einnahme des Tensor-Produktes davon mit jeder kurzen genauen Folge von R Modulen Genauigkeit bewahrt.

Einfach. Ein einfaches Modul S ist ein Modul, das nicht {0} ist, und dessen nur Untermodule {0} und S sind. Einfache Module werden manchmal nicht zu vereinfachend genannt.

Halbeinfach. Ein halbeinfaches Modul ist eine direkte Summe (begrenzt oder nicht) einfacher Module. Historisch werden diese Module auch völlig reduzierbar genannt.

Unzerlegbar. Ein unzerlegbares Modul ist ein Nichtnullmodul, das als eine direkte Summe von zwei Nichtnulluntermodulen nicht geschrieben werden kann. Jedes einfache Modul ist unzerlegbar, aber es gibt unzerlegbare Module, die (z.B gleichförmige Module) nicht einfach sind.

Treu. Eine treue Modul-M ist diejenige, wo die Handlung jedes r  0 in R auf der M (d. h. rx  0 für einen x in M) nichttrivial ist. Gleichwertig ist der Vernichter der M das Nullideal.

Noetherian. Ein Noetherian Modul ist ein Modul, das die steigende Kettenbedingung auf Untermodulen befriedigt, d. h. wird jede zunehmende Kette von Untermodulen stationär danach begrenzt viele Schritte. Gleichwertig wird jedes Untermodul begrenzt erzeugt.

Artinian. Ein Artinian Modul ist ein Modul, das die hinuntersteigende Kettenbedingung auf Untermodulen befriedigt, d. h. wird jede abnehmende Kette von Untermodulen stationär danach begrenzt viele Schritte.

Abgestuft. Ein abgestuftes Modul ist ein Modul zerlegbar als eine direkte Summe M =  M über einen abgestuften Ring R =  R solch dass RM  M für den ganzen x und y.

Uniform. Ein gleichförmiges Modul ist ein Modul, in dem alle Paare von Nichtnulluntermodulen Nichtnullkreuzung haben.

Weitere Begriffe

Beziehung zur Darstellungstheorie

Wenn M ein linkes R-Modul ist, dann wird die Handlung eines Elements r in R definiert, um die Karte M  M zu sein, die jeden x an rx (oder xr im Fall von einem richtigen Modul) sendet, und notwendigerweise ein Gruppenendomorphismus der abelian Gruppe (M, +) ist. Der Satz aller Gruppenendomorphismen der M wird Ende (M) angezeigt und bildet einen Ring unter der Hinzufügung und Zusammensetzung, und das Senden eines Ringelements r R zu seiner Handlung definiert wirklich einen Ringhomomorphismus von R (um M) Zu enden.

Solch ein Ringhomomorphismus R  Ende (M) wird eine Darstellung von R über die abelian Gruppe M genannt; eine alternative und gleichwertige Weise, linke R-Module zu definieren, ist zu sagen, dass ein linkes R-Modul eine abelian Gruppe M zusammen mit einer Darstellung von R darüber ist.

Eine Darstellung wird treu genannt, wenn, und nur wenn die Karte R  Ende (M) injective ist. In Bezug auf Module bedeutet das das, wenn r ein Element von solchem R dass rx=0 für den ganzen x in der M, dann r=0 ist. Jede abelian Gruppe ist ein treues Modul über die ganzen Zahlen oder über einen modularen arithmetischen Z/nZ.

Generalisationen

Jeder Ring R kann als eine vorzusätzliche Kategorie mit einem einzelnen Gegenstand angesehen werden. Mit diesem Verstehen ist ein linkes R-Modul nichts als ein (kovarianter) Zusatz functor von R bis die Kategorie Ab von abelian Gruppen. Richtige R-Module sind kontravarianter Zusatz functors. Das weist darauf hin, dass, wenn C eine vorzusätzliche Kategorie ist, ein kovarianter Zusatz functor von C bis Ab als ein verallgemeinertes linkes Modul über C betrachtet werden sollte; diese functors bilden eine functor Kategorie C-Mod, der die natürliche Generalisation der Modul-Kategorie R-Mod ist.

Module über Ersatzringe können in einer verschiedenen Richtung verallgemeinert werden: Nehmen Sie einen beringten Raum (X, O) und denken Sie die Bündel von O-Modulen. Diese bilden eine Kategorie O-Mod, und spielen eine wichtige Rolle in der mit dem Schema theoretischen Annäherung an die algebraische Geometrie. Wenn X nur einen einzelnen Punkt hat, dann ist das eine Modul-Kategorie im alten Sinn über den Ersatzring O (X).

Man kann auch Module über einen Halbring denken. Module über Ringe sind abelian Gruppen, aber Module über Halbringe sind nur auswechselbarer monoids. Die meisten Anwendungen von Modulen sind noch möglich. Insbesondere für jeden Halbring S der matrices über S bilden einen Halbring, über den die Tupel von Elementen von S ein Modul (in diesem verallgemeinerten Sinn nur) sind. Das erlaubt eine weitere Generalisation des Konzepts des Vektorraums, der die Halbringe von der theoretischen Informatik vereinigt.

Siehe auch

• Gruppenring
• Algebra (rufen Theorie an)
• Modul (Mustertheorie)

Zeichen

• F.W. Anderson und K.R. Fuller: Ringe und Kategorien von Modulen, Absolvententexten in der Mathematik, Vol. 13, 2. Ed, Springer-Verlag, New York, 1992, internationale Standardbuchnummer 0-387-97845-3, internationale Standardbuchnummer 3-540-97845-3
• Nathan Jacobson. Struktur von Ringen. Kolloquium-Veröffentlichungen, Vol. 37, 2. Hrsg., AMS Buchhandlung, 1964, internationale Standardbuchnummer 978-0-8218-1037-8
• Warum ist es eine gute Idee, die Module eines Rings zu studieren? auf MathOverflow