In der Mathematik, spezifisch in der Kategorie-Theorie, ist eine vorzusätzliche Kategorie eine Kategorie, die über die monoidal Kategorie von abelian Gruppen bereichert wird. Mit anderen Worten ist die Kategorie C vorzusätzlich, wenn jeder Hom-Satz Hom (A, B) in C hat die Struktur einer abelian Gruppe und Zusammensetzung von morphisms, über die ganzen Zahlen bilinear ist.

Eine vorzusätzliche Kategorie wird auch eine Ab-Kategorie, nach der Notation Ab für die Kategorie von abelian Gruppen genannt. Einige Autoren haben die Begriff-Zusatz-Kategorie für vorzusätzliche Kategorien verwendet, aber Wikipedia folgt der aktuellen Tendenz, dieses Wort für bestimmte spezielle vorzusätzliche Kategorien vorzubestellen (sieh spezielle Fälle unten).

Beispiele

Das offensichtlichste Beispiel einer vorzusätzlichen Kategorie ist die Kategorie Ab selbst. Genauer ist Ab eine geschlossene monoidal Kategorie. Bemerken Sie, dass commutativity hier entscheidend ist; es stellt sicher, dass die Summe von zwei Gruppenhomomorphismus wieder ein Homomorphismus ist. Im Gegensatz wird die Kategorie aller Gruppen nicht geschlossen. Sieh mittlere Kategorie.

Andere allgemeine Beispiele:

• Die Kategorie von (linken) Modulen über einen Ring R, insbesondere:
• die Kategorie von Vektorräumen über Feld K.
• Die Algebra von matrices über einen Ring, Gedanke als eine Kategorie, wie beschrieben, in der Kategorie des Artikels Additive.
• Jeder Ring, Gedanke als eine Kategorie mit nur einem Gegenstand, ist eine vorzusätzliche Kategorie. Hier ist die Zusammensetzung von morphisms gerade Ringmultiplikation, und der einzigartige Hom-Satz ist die zu Grunde liegende abelian Gruppe.

Diese werden Ihnen eine Idee davon geben, was man denkt; für mehr Beispiele, folgen Sie den Verbindungen zu speziellen Fällen unten.

Elementare Eigenschaften

Weil jeder Hom-Satz Hom (A, B) ist eine abelian Gruppe, er ein Nullelement 0 hat. Das ist die Null morphism von bis B. Weil die Zusammensetzung von morphisms bilinear ist, muss die Zusammensetzung einer Null morphism und jedes anderen morphism (auf beiden Seiten) eine andere Null morphism sein. Wenn Sie an Zusammensetzung als analog der Multiplikation denken, dann sagt das, dass die Multiplikation durch die Null immer auf ein Produkt der Null hinausläuft, die eine vertraute Intuition ist. Diese Analogie erweiternd, wird die Tatsache, dass Zusammensetzung im Allgemeinen bilinear ist, der distributivity der Multiplikation über die Hinzufügung.

Sich auf einen einzelnen Gegenstand in einer vorzusätzlichen Kategorie konzentrierend, sagen diese Tatsachen, dass der Endomorphismus-Hom-Satz Hom (A, A) ist ein Ring, wenn wir Multiplikation im Ring definieren, um Zusammensetzung zu sein. Dieser Ring ist der Endomorphismus-Ring von A. Umgekehrt ist jeder Ring (mit der Identität) der Endomorphismus-Ring von einem Gegenstand in einer vorzusätzlichen Kategorie. Tatsächlich, in Anbetracht eines Rings R, können wir eine vorzusätzliche Kategorie R definieren, um einen einzelnen Gegenstand A zu haben, Hom (A, A) R sein zu lassen, und Zusammensetzung Ringmultiplikation sein lassen. Da R eine Gruppe von Abelian ist und die Multiplikation in einem Ring (verteilend) bilinear ist, macht das R eine vorzusätzliche Kategorie. Kategorie-Theoretiker werden häufig an den Ring R und die Kategorie R als zwei verschiedene Darstellungen desselben Dings denken, so dass ein besonders perverser Kategorie-Theoretiker einen Ring als eine vorzusätzliche Kategorie mit genau einem Gegenstand definieren könnte (ebenso, dass ein monoid als eine Kategorie mit nur einem Gegenstand - und das Vergessen angesehen werden kann, dass die zusätzliche Struktur des Rings uns einen monoid gibt).

Auf diese Weise können vorzusätzliche Kategorien als eine Verallgemeinerung von Ringen gesehen werden. Viele Konzepte aus der Ringtheorie, wie Ideale, Radikale von Jacobson und Faktor-Ringe können auf eine aufrichtige Weise zu dieser Einstellung verallgemeinert werden. Wenn man versucht, diese Generalisationen niederzuschreiben, sollte man an den morphisms in der vorzusätzlichen Kategorie als die "Elemente" des "verallgemeinerten Rings" denken. Wir werden in solche Tiefe in diesem Artikel nicht eintreten.

Zusatz functors

Wenn C und D vorzusätzliche Kategorien, dann ein functor F sind: C  ist D zusätzlich, wenn er auch über die Kategorie Ab bereichert wird. D. h. F ist wenn und nur wenn, in Anbetracht irgendwelcher Gegenstände A und B von C, die Funktion f zusätzlich: Hom (A, B)  Hom (F (A), F (B)) ist ein Gruppenhomomorphismus. Die meisten zwischen vorzusätzlichen Kategorien studierten functors sind zusätzlich.

Für ein einfaches Beispiel, wenn die Ringe R und S durch die vorzusätzlichen Ein-Gegenstand-Kategorien R und S vertreten werden, dann wird ein Ringhomomorphismus von R bis S durch einen Zusatz functor von R bis S, und umgekehrt vertreten.

Wenn C und D Kategorien sind und D vorzusätzlich ist, dann ist der functor Kategorie-Spaß (C, D) auch vorzusätzlich, weil natürliche Transformationen auf eine natürliche Weise hinzugefügt werden können.

Wenn C auch vorzusätzlich ist, dann Trägt die Kategorie Bei (C, D) des Zusatzes functors und aller natürlichen Transformationen zwischen ihnen ist auch vorzusätzlich.

Das letzte Beispiel führt zu einer Generalisation von Modulen über Ringe: Wenn C eine vorzusätzliche Kategorie, dann Mod (C) ist: = tragen Bei (C, Ab) wird die Modul-Kategorie über C genannt. Wenn C die vorzusätzliche Ein-Gegenstand-Kategorie entsprechend dem Ring R ist, nimmt das zur gewöhnlichen Kategorie von (linken) R-Modulen ab. Wieder eigentlich können alle Konzepte aus der Theorie von Modulen zu dieser Einstellung verallgemeinert werden.

Biproducts

Jedes begrenzte Produkt in einer vorzusätzlichen Kategorie muss auch ein coproduct, und umgekehrt sein. Tatsächlich können begrenzte Produkte und coproducts in vorzusätzlichen Kategorien durch die folgende biproduct Bedingung charakterisiert werden:

:The wenden ein, dass B ein biproduct der Gegenstände A..., wenn und nur ist, wenn es Vorsprung morphisms p gibt: B  A und Einspritzung morphisms i: Ein  B, solch dass (ich p) + ··· + (ich p) ist die Identität morphism B, p bin ich die Identität morphism, und p ich bin die Null morphism von bis, wann auch immer j und k verschieden sind.

Dieser biproduct wird häufig Ein  geschrieben ···  A, die Notation für die direkte Summe leihend. Das ist, weil der biproduct in weithin bekannten vorzusätzlichen Kategorien wie Ab die direkte Summe ist. Jedoch, obwohl unendliche direkte Summen Sinn in einigen Kategorien wie Ab haben, haben unendliche biproducts Sinn nicht.

Die biproduct Bedingung im Fall n = 0 vereinfacht drastisch; B ist ein nullary biproduct, wenn, und nur wenn die Identität morphism B die Null morphism von B bis sich, oder gleichwertig ist, wenn der Hom-Satz Hom (B, B) der triviale Ring ist. Bemerken Sie, dass, weil ein nullary biproduct beide (ein nullary Produkt) und coterminal (ein nullary coproduct) letzt sein wird, es tatsächlich ein Nullgegenstand sein wird.

Tatsächlich ist der Begriff "Nullgegenstand" in der Studie von vorzusätzlichen Kategorien wie Ab entstanden, wo der Nullgegenstand die Nullgruppe ist.

Eine vorzusätzliche Kategorie, in der jeder biproduct besteht (einschließlich eines Nullgegenstands) wird zusätzlich genannt. Weitere Tatsachen über biproducts, die im Zusammenhang von zusätzlichen Kategorien hauptsächlich nützlich sind, können unter diesem Thema gefunden werden.

Kerne und cokernels

Weil die Hom-Sätze in einer vorzusätzlichen Kategorie Null morphisms, haben

der Begriff des Kerns und cokernel

haben Sie Sinn. D. h. wenn f: Ein  B ist ein

morphism in einer vorzusätzlichen Kategorie dann ist der Kern von f der

equaliser von f und der Null morphism von bis B, während der cokernel von f der coequaliser von f und dieser Null morphism ist. Unterschiedlich mit Produkten und coproducts sind der Kern und cokernel von f allgemein in einer vorzusätzlichen Kategorie nicht gleich.

Wenn

er sich zu den vorzusätzlichen Kategorien von abelian Gruppen oder Modulen über einen Ring spezialisiert, fällt dieser Begriff des Kerns mit dem gewöhnlichen Begriff eines Kerns eines Homomorphismus zusammen, wenn man den gewöhnlichen Kern K von f identifiziert: Ein  B mit seinem Einbetten K  A. Jedoch, in einer allgemeinen vorzusätzlichen Kategorie dort kann morphisms ohne Kerne und/oder cokernels bestehen.

Es gibt eine günstige Beziehung zwischen dem Kern und cokernel und der Gruppenstruktur von Abelian auf den Hom-Sätzen. In Anbetracht der Parallele morphisms f und g ist der equaliser von f und g gerade der Kern von g − f, wenn irgendein besteht, und ist die analoge Tatsache für coequalisers wahr. Der alternative Begriff "Unterschied-Kern" für binären equalisers ist auf diese Tatsache zurückzuführen.

Eine vorzusätzliche Kategorie, in der der ganze biproducts, Kerne und cokernels bestehen, wird pre-Abelian genannt. Weitere Tatsachen über Kerne und cokernels in vorzusätzlichen Kategorien, die im Zusammenhang von pre-Abelian Kategorien hauptsächlich nützlich sind, können unter diesem Thema gefunden werden.

Spezielle Fälle

Die meisten dieser speziellen Fälle von vorzusätzlichen Kategorien sind alle oben erwähnt worden, aber sie werden hier für die Verweisung gesammelt.

• Ein Ring ist eine vorzusätzliche Kategorie mit genau einem Gegenstand.
• Eine zusätzliche Kategorie ist eine vorzusätzliche Kategorie mit dem ganzen begrenzten biproducts.
• Eine pre-Abelian Kategorie ist eine zusätzliche Kategorie mit allen Kernen und cokernels.
• Eine Abelian Kategorie ist eine pre-Abelian solche Kategorie, dass jeder monomorphism und epimorphism normal sind.

Die vorzusätzlichen meistens studierten Kategorien sind tatsächlich Kategorien von Abelian; zum Beispiel ist Ab eine Kategorie von Abelian.

• Nicolae Popescu; 1973;; Academic Press, Inc.; vergriffener