In der Mathematik, spezifisch in der Kategorie-Theorie, ist eine zusätzliche Kategorie eine vorzusätzliche Kategorie C solch, dass alle begrenzten Sammlungen von Gegenständen A..., C einen biproduct Ein    in C. haben

(Rufen Sie zurück, dass eine Kategorie C vorzusätzlich ist, wenn alle seine Hom-Sätze Gruppen von Abelian sind und die Zusammensetzung von morphisms bilinear ist; mit anderen Worten wird C über die monoidal Kategorie von Gruppen von Abelian bereichert. Rufen Sie auch zurück, dass ein biproduct in einer vorzusätzlichen Kategorie sowohl ein begrenztes Produkt als auch ein begrenzter coproduct ist.)

Warnung:

Der Begriff "zusätzliche Kategorie" wird manchmal auf jede vorzusätzliche Kategorie angewandt, aber Wikipedia folgt dieser älteren Praxis nicht.

Definition

Eine Kategorie C ist wenn zusätzlich

• es hat einen Nullgegenstand
• jeder Hom-Satz-Hom (A, B) hat eine Hinzufügung, es mit der Struktur einer abelian Gruppe, und solch dotierend, dass die Zusammensetzung von morphisms bilinearer ist
• alle begrenzten biproducts bestehen.

Bemerken Sie, dass eine Kategorie vorzusätzlich genannt wird, wenn gerade das zweite hält, wohingegen es halbzusätzlich genannt wird, wenn sowohl das erste als auch das dritte halten.

Außerdem, da der leere biproduct ein Nullgegenstand in der Kategorie ist, können wir die erste Bedingung weglassen. Wenn wir das jedoch tun, müssen wir voraussetzen, dass die Kategorie C Null morphisms, oder gleichwertig hat, dass C über die Kategorie von spitzen Sätzen bereichert wird.

Beispiele

Das ursprüngliche Beispiel einer zusätzlichen Kategorie ist die Kategorie von abelian Gruppen Ab. Der Nullgegenstand ist die triviale Gruppe, die Hinzufügung von morphisms wird mit dem Punkt klug gegeben, und biproducts werden durch direkte Summen gegeben.

Mehr allgemein ist jede Modul-Kategorie über einen Ring R zusätzlich, und so insbesondere ist die Kategorie von Vektorräumen über Feld K zusätzlich.

Die Algebra von matrices über einen Ring, Gedanke als eine Kategorie, wie beschrieben, unten, ist auch zusätzlich.

Innere Charakterisierung des Hinzufügungsgesetzes

Lassen Sie C eine halbzusätzliche Kategorie, so eine Kategorie sein, die hat

• ein Nullgegenstand
• der ganze begrenzte biproducts.

Dann hat jeder Hom-Satz eine Hinzufügung, es mit der Struktur eines abelian monoid, und solch dotierend, dass die Zusammensetzung von morphisms bilinear ist.

Außerdem, wenn C zusätzlich ist, dann müssen die zwei Hinzufügungen auf Hom-Sätzen zustimmen. Insbesondere eine halbzusätzliche Kategorie ist zusätzlich, wenn, und nur wenn jeder morphism ein zusätzliches Gegenteil hat.

Das zeigt, dass das Hinzufügungsgesetz für eine zusätzliche Kategorie zu dieser Kategorie inner ist.

Um das Hinzufügungsgesetz zu definieren, werden wir die Tagung verwenden, dass für einen biproduct p den Vorsprung morphisms anzeigen wird, und ich die Einspritzung morphisms anzeigen werde.

Wir bemerken zuerst, dass für jeden Gegenstand es einen gibt

• Diagonale morphism : Ein  Ein  Eine Zufriedenheit p   = 1 für k = 1,2, und ein
• codiagonal morphism : Ein  Ein  Eine Zufriedenheit   i = 1 für k = 1,2.

Dann in Anbetracht zwei morphisms α: Ein  B, dort besteht ein einzigartiger morphism α  α: Ein  Ein  B  B solch, dass p  (α  α)  i α wenn k = l, und 0 sonst gleichkommt.

Wir können deshalb α + α definieren: =   (α  α)  .

Diese Hinzufügung ist sowohl auswechselbar als auch assoziativ. Der associativty kann durch das Betrachten der Zusammensetzung gesehen werden

Wir haben α + 0 = α, damit α  0 = ich  α  p.

Es ist auch, mit zum Beispiel dass   β = (β  β)   und dass (α  α)  (β  β) = (α  β)  (α  β) bilinear.

Wir bemerken, dass für einen biproduct Ein  B wir mich  p + ich  p = 1 haben. Damit können wir jeden morphism Ein  B  C  D als eine Matrix vertreten.

Matrixdarstellung von Morphisms

Gegebene Gegenstände A..., A und B..., B in einer zusätzlichen Kategorie, können wir morphisms f vertreten: Ein    Ein  B    B als m-by-n matrices

\begin {pmatrix} f_ {11} & f_ {12} & \cdots & f_ {1n} \\

f_ {21} & f_ {22} & \cdots & f_ {2n} \\

\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\

f_ {m1} & f_ {m2} & \cdots & f_ {mn} \end {pmatrix }\

</Mathematik> wo

Das Verwenden davon  i  p = 1, hieraus folgt dass Hinzufügung und Zusammensetzung von matrices den üblichen Regeln für die Matrixhinzufügung und Matrixmultiplikation folgen.

So können zusätzliche Kategorien als der allgemeinste Zusammenhang gesehen werden, in dem die Algebra von matrices Sinn hat.

Rufen Sie zurück, dass die morphisms von einem einzelnen Gegenstand, um selbst den Endomorphismus zu bilden, Ende (A) anrufen.

Wenn wir das n-fold Produkt mit sich durch A anzeigen, dann sind morphisms von bis A m-by-n matrices mit Einträgen vom Ringende (A).

Umgekehrt, in Anbetracht jedes Rings R, können wir eine Kategorie Mat(R) bilden, indem wir Gegenstände Ein mit einem Inhaltsverzeichnis versehener durch den Satz von natürlichen Zahlen (einschließlich der Null) nehmen und den Hom-Satz von morphisms von bis A der Satz von m-by-n matrices über R sein lassen, und wo Zusammensetzung durch die Matrixmultiplikation gegeben wird. Then Mat(R) ist eine zusätzliche Kategorie, und A kommt der n-fold Macht (A) gleich.

Dieser Aufbau sollte im Vergleich zum Ergebnis sein, dass ein Ring eine vorzusätzliche Kategorie mit gerade einem Gegenstand, gezeigt hier ist.

Wenn wir den Gegenstand als das linke Modul R interpretieren, dann wird diese Matrixkategorie eine Unterkategorie der Kategorie von linken Modulen über R.

Das kann im speziellen Fall verwirrend sein, wo M oder n Null sind, weil wir gewöhnlich an matrices mit 0 Reihen oder 0 Säulen nicht denken. Dieses Konzept hat Sinn jedoch: Solche matrices haben keine Einträge und werden so durch ihre Größe völlig bestimmt. Während diese matrices ziemlich degeneriert sind, müssen sie wirklich eingeschlossen werden, um eine zusätzliche Kategorie zu bekommen, da eine zusätzliche Kategorie einen Nullgegenstand haben muss.

Das Denken an solchen matrices kann auf eine Weise, obwohl nützlich sein: Sie heben die Tatsache der gegeben irgendwelche Gegenstände A und B in einer zusätzlichen Kategorie hervor, es gibt genau einen morphism von bis 0 (gerade als es genau ein 0 durch 1 Matrix mit Einträgen am Ende (A) gibt), und genau ein morphism von 0 bis B (gerade als es genau ein 1 durch 0 Matrix mit Einträgen am Ende (B) gibt) - ist das gerade, was es bedeutet zu sagen, dass 0 ein Nullgegenstand ist. Außerdem ist die Null morphism von bis B die Zusammensetzung dieser morphisms, wie durch das Multiplizieren des degenerierten matrices berechnet werden kann.

Zusatz functors

Rufen Sie dass ein functor F zurück: C  D zwischen vorzusätzlichen Kategorien ist zusätzlich, wenn es ein abelian Gruppenhomomorphismus auf jedem Hom-Satz in C ist. Wenn die Kategorien aber dann zusätzlich sind, ist ein functor zusätzlich, wenn, und nur wenn er alle biproduct Diagramme bewahrt.

D. h. wenn B ein biproduct von A..., in C mit dem Vorsprung morphisms p und der Einspritzung morphisms k ist, dann sollte F (B) ein biproduct von F (A)..., F (A) in D mit dem Vorsprung morphisms F (p) und Einspritzung morphisms F (i) sein.

Fast alle zwischen zusätzlichen Kategorien studierten functors sind zusätzlich. Tatsächlich ist es ein Lehrsatz, dass der ganze adjoint functors zwischen zusätzlichen Kategorien zusätzlicher functors sein muss (sieh hier), und interessanteste in der ganzen Kategorie-Theorie studierte functors sind adjoints.

Spezielle Fälle

• Eine pre-abelian Kategorie ist eine zusätzliche Kategorie, in der jeder morphism einen Kern und einen cokernel hat.
• Eine abelian Kategorie ist eine pre-abelian solche Kategorie, dass jeder monomorphism und epimorphism normaler sind

Die zusätzlichen meistens studierten Kategorien sind tatsächlich abelian Kategorien; zum Beispiel ist Ab eine abelian Kategorie.

• Nicolae Popescu; 1973; Abelian Kategorien mit Anwendungen auf Ringe und Module; (vergriffene) Academic Press, Inc. geht über all diesen sehr langsam