Ringtheorie ist der Zweig der Mathematik, in der Ringe studiert werden: D. h. Strukturen, die sowohl eine Hinzufügung als auch eine Multiplikationsoperation unterstützen. Das ist ein Wörterverzeichnis von einigen Begriffen des Themas.

Definition eines Rings

Ring: Ein Ring ist ein Satz R mit zwei binären Operationen, gewöhnlich genannter Hinzufügung (+) und Multiplikation (*), solch, dass R eine abelian Gruppe unter der Hinzufügung, ein monoid unter der Multiplikation, und solch ist, dass Multiplikation sowohl verlassen wird und über die Hinzufügung verteilendes Recht. Bemerken Sie, dass, wie man annimmt, Ringe multiplicative Identität, wenn sonst nicht bemerkt, haben. Die zusätzliche Identität wird durch 0 und die multiplicative Identität durch 1 angezeigt.

Subring: Eine Teilmenge S des Rings (R, +, *), der ein Ring bleibt, wenn + und * auf S eingeschränkt werden und die multiplicative Identität 1 von R enthält, wird einen Subring von R genannt.

Typen von Elementen

Zentral: Ein Element r eines Rings R ist wenn xr = rx für den ganzen x in R zentral. Der Satz aller Hauptelemente bildet einen Subring von R, der als das Zentrum von R bekannt ist.

Teiler: In einem integrierten Gebiet R ein Element zu sein, hat einen Teiler des Elements b genannt (und wir sagen ein Teilen b), wenn dort ein Element x in R mit der Axt = b besteht.

Idempotent: Ein Element r eines Rings ist idempotent wenn r = r.

Integriertes Element: Für einen Ersatzring B, einen Subring A enthaltend, ist ein Element b über integriert, wenn es ein monic Polynom mit Koeffizienten von A befriedigt.

Nicht zu vereinfachend: Ein Element x eines integrierten Gebiets ist nicht zu vereinfachend, wenn es nicht eine Einheit und für irgendwelche Elemente a und solcher b ist, dass x=ab, entweder a oder b eine Einheit sind. Bemerken Sie, dass jedes Hauptelement, aber nicht notwendigerweise umgekehrt nicht zu vereinfachend ist.

Hauptelement: Ein Element x eines integrierten Gebiets ist ein Hauptelement, wenn es nicht Null und nicht eine Einheit ist, und wann auch immer x ein Produkt ab teilt, teilt x a, oder x teilt b.

Nilpotent: Ein Element r R ist nilpotent, wenn dort eine positive ganze Zahl n solch dass r = 0 besteht.

Einheit oder invertible Element: Ein Element r des Rings R ist eine Einheit, wenn dort ein Element r solch dass rr=rr=1 besteht. Dieses Element r wird durch r einzigartig bestimmt und wird das multiplicative Gegenteil von r genannt. Der Satz von Einheiten bildet eine Gruppe unter der Multiplikation.

Nullteiler: Ein Nichtnullelement r R ist ein Nullteiler, wenn dort ein Nichtnullelement s in solchem R dass sr=0 oder rs=0 besteht. Einige Autoren entscheiden sich dafür, Null als ein Nullteiler einzuschließen.

Homomorphismus und Ideale

Faktor-Ring oder Quotient-Ring: In Anbetracht eines Rings R und eines Ideales I von R ist der Faktor-Ring der Ring, der durch den Satz R/I von cosets {a+I gebildet ist: aR} zusammen mit den Operationen (a+I) + (b+I) = (a+b) +I und (a+I) (b+I) =ab+I. Die Beziehung zwischen Idealen, Homomorphismus und Faktor-Ringen wird im Hauptsatz auf dem Homomorphismus summiert.

Begrenzt erzeugtes Ideal: Ein linkes Ideal ich werde begrenzt erzeugt, wenn dort begrenzt viele Elemente a..., ein solcher dass ich = Ra +... + Ra bestehen. Ein richtiges Ideal ich werde begrenzt erzeugt, wenn dort begrenzt viele Elemente a..., ein solcher dass ich = aR +... + aR bestehen. Ein zweiseitiges Ideal ich werde begrenzt erzeugt, wenn dort begrenzt viele Elemente a..., ein solcher dass ich = RaR +... + RaR bestehen.

Ideal: Ein linkes Ideal I von R ist eine Untergruppe von solchem R dass aI  I für den ganzen aR. Ein richtiges Ideal ist eine Untergruppe von solchem R dass IaI für den ganzen aR. Ein Ideal (hat manchmal ein zweiseitiges Ideal nach der Betonung genannt), ist eine Untergruppe, die sowohl ein linkes Ideal als auch ein richtiges Ideal ist.

Radikaler Jacobson: Die Kreuzung aller maximalen linken Ideale in einem Ring bildet ein zweiseitiges Ideal, der des Rings radikale Jacobson.

Kern eines Ringhomomorphismus: Der Kern eines Ringhomomorphismus f: R  ist S der Satz aller Elemente x solchen R dass f (x) = 0. Jedes Ideal ist der Kern eines Ringhomomorphismus und umgekehrt.

Maximales Ideal: Eine linke ideale M des Rings R ist ein maximales linkes Ideal, wenn M  R und die einzigen linken Ideale, die M enthalten, R und M sich ist. Maximale richtige Ideale werden ähnlich definiert. In Ersatzringen gibt es keinen Unterschied, und man spricht einfach von maximalen Idealen.

Null-Ideal: Ein Ideal ist Null, wenn es nur aus nilpotent Elementen besteht.

Ideal von Nilpotent: Ein Ideal ich bin nilpotent, wenn die Macht ich {0} für eine positive ganze Zahl k bin. Jedes nilpotent Ideal ist Null, aber das gegenteilige ist im Allgemeinen nicht wahr.

Nilradical: Der Satz aller nilpotent Elemente in einem Ersatzring bildet ein Ideal, den nilradical des Rings. Der nilradical ist der Kreuzung von Hauptidealen ganzen Rings gleich. Es wird darin enthalten, aber im Allgemeinen zu, der Radikale Jacobson des Rings nicht gleich.

Hauptideal: Ein Ideal P in einem Ersatzring R ist erst, wenn P  R und wenn für den ganzen a und b in R mit ab in P, wir in P oder b in P haben. Jedes maximale Ideal in einem Ersatzring ist erst. Es gibt auch eine Definition des Hauptideales für Nichtersatzringe.

Hauptideal: Ein Rektor ist abgereist Ideal in einem Ring ist R ein linkes Ideal der Form Ra für ein Element R. Ein richtiges Hauptideal ist ein richtiges Ideal der Form aR für ein Element R. Ein Hauptideal ist ein zweiseitiges Ideal der Form RaR für ein Element R.

Radikal eines Ideales: Der Radikale eines Ideales I in einem Ersatzring besteht aus allen jenen Ringelementen, von denen eine Macht in mir liegt. Es ist der Kreuzung aller Hauptideale gleich, die mich enthalten.

Ringhomomorphismus: Eine Funktion f: R  S zwischen Ringen (R, +, *) und (S, , ×) ist ein Ringhomomorphismus, wenn er befriedigt

:: f (+ b) = f (a)  f (b)

:: f (* b) = f (a) × f (b)

:: f (1) = 1

:for alle Elemente a und b von R.

Ring monomorphism: Ein Ringhomomorphismus, der injective ist, ist ein Ring monomorphism.

Ringisomorphismus: Ein Ringhomomorphismus, der bijektiv ist, ist ein Ringisomorphismus. Das Gegenteil eines Ringisomorphismus ist auch ein Ringisomorphismus. Zwei Ringe sind isomorph, wenn dort ein Ringisomorphismus zwischen ihnen besteht. Isomorphe Ringe können als im Wesentlichen dasselbe nur mit verschiedenen Etiketten auf den individuellen Elementen gedacht werden.

Triviales Ideal: Wie man versichert, hat jeder Nichtnullring R zwei Ideale: das Nullideal und der komplette Ring R. Diese Ideale werden gewöhnlich triviale Ideale genannt. Richtige Ideale, verlassen Ideale und zweiseitige Ideale außer diesen werden nichttrivial genannt.

Typen von Ringen

Ring von Abelian: Ein Ring, in dem alle idempotents zentral sind, wird einen Ring von Abelian genannt. Solche Ringe brauchen nicht auswechselbar zu sein.

Ring von Artinian: Einem Ring, der die hinuntersteigende Kettenbedingung für linke Ideale befriedigt, wird artinian verlassen; wenn es die hinuntersteigende Kettenbedingung für richtige Ideale befriedigt, ist es richtiger artinian; wenn es sowohl verlassen wird und Recht artinian, wird es artinian genannt. Ringe von Artinian sind noetherian.

Ring von Boolean: Ein Ring, in dem jedes Element multiplicatively idempotent ist, ist ein Boolean-Ring.

Ersatzring: Ein Ring R ist auswechselbar, wenn die Multiplikation, d. h. rs=sr für den ganzen r, sR auswechselbar ist.

Gebiet von Dedekind: Ein Dedekind Gebiet ist ein integriertes Gebiet, in dem jedes Ideal einen einzigartigen factorization in Hauptideale hat.

Abteilungsring oder verdreht Feld: Ein Ring, in dem jedes Nichtnullelement eine Einheit und 10 ist, ist ein Abteilungsring.

Gebiet (rufen Theorie an): Ein Gebiet ist ein Ring ohne Nullteiler und in der 10. Das ist die Nichtersatzgeneralisation des integrierten Gebiets.

Euklidisches Gebiet: Ein Euklidisches Gebiet ist ein integriertes Gebiet, in dem eine Grad-Funktion definiert wird, so dass "die Abteilung mit dem Rest" ausgeführt werden kann. Es wird so genannt, weil der Euklidische Algorithmus ein bestimmter Algorithmus in diesen Ringen ist. Alle Euklidischen Gebiete sind ideale Hauptgebiete.

Feld: Ein Feld ist ein Ersatzabteilungsring. Jeder begrenzte Abteilungsring ist ein Feld, wie jedes begrenzte integrierte Gebiet ist.

Begrenzt präsentierte Algebra: Wenn R ein Ersatzring ist und A eine R-Algebra ist, dann ist A eine begrenzt präsentierte R-Algebra, wenn es ein Quotient eines polynomischen Rings über R in begrenzt vielen Variablen durch ein begrenzt erzeugtes Ideal ist.

Erblicher Ring: Ein Ring wird erblich verlassen, wenn seine linken Ideale alle projektiven Module sind. Richtige erbliche Ringe werden analog definiert.

Integriertes Gebiet oder kompletter Ring: Ein Ersatzring ohne Nullteiler, und in dem 10 ein integriertes Gebiet ist.

Basiszahl von Invariant: Ein Ring R hat invariant Basiszahl, wenn R isomorph zu R als R-Module m=n einbezieht.

Lokaler Ring: Ein Ring mit einem einzigartigen maximalen linken Ideal ist ein lokaler Ring. Diese Ringe haben auch ein einzigartiges maximales richtiges Ideal, und der verlassene und die richtigen einzigartigen maximalen Ideale fallen zusammen. Bestimmte Ersatzringe können in lokalen Ringen über die Lokalisierung an einem Hauptideal eingebettet werden.

Ring von Noetherian: Einem Ring, der die steigende Kettenbedingung für linke Ideale befriedigt, wird noetherian verlassen; ein Ring, der die steigende Kettenbedingung für richtige Ideale befriedigt, ist richtiger noetherian; ein Ring, der sowohl verlassen wird und Recht noetherian, ist noetherian. Einem Ring wird noetherian verlassen, wenn, und nur wenn alle seine linken Ideale begrenzt erzeugt werden; analog für das Recht noetherian Ringe.

Vollkommener Ring: Ein linker vollkommener Ring ist derjenige, der die hinuntersteigende Kettenbedingung auf richtigen Hauptidealen befriedigt. Sie werden auch als Ringe charakterisiert, deren Wohnung linke Module alle projektiven Module sind. Richtige vollkommene Ringe werden analog definiert. Ringe von Artinian sind vollkommen.

Hauptring: Ein nichttrivialer Ring R wird einen Hauptring genannt, wenn für irgendwelche zwei Elemente a und b von R mit aRb = 0 wir entweder = 0 oder b = 0 haben. Das ist zum Ausspruch gleichwertig, dass das Nullideal ein Hauptideal ist. Jeder einfache Ring und jedes Gebiet sind ein Hauptring.

Primitiver Ring: Ein linker primitiver Ring ist ein Ring, der ein treues einfaches linkes R-Modul hat. Jeder einfache Ring ist primitiv. Primitive Ringe sind erst.

Ideales Hauptgebiet: Ein integriertes Gebiet, in dem jedes Ideal hauptsächlich ist, ist ein ideales Hauptgebiet. Alle idealen Hauptgebiete sind einzigartige factorization Gebiete.

Quasi-Frobenius Ring: Ein spezieller Typ des Rings von Artinian, der auch ein Self-Injective-Ring an beiden Seiten ist. Jeder halbeinfache Ring ist quasi-Frobenius.

Self-injective Ring: Einem Ring R wird self-injective verlassen, wenn das Modul R ein injective Modul ist. Während Ringe mit der Einheit immer als Module projektiv sind, sind sie nicht immer injective als Module.

Halbprimitiver Ring oder Jacobson halbeinfacher Ring: Das ist ein Ring, dessen radikaler Jacobson Null ist. Von Neumann regelmäßige Ringe und primitive Ringe, sind jedoch quasi-Frobenius Ringe und lokale Ringe halbprimitiv, ist gewöhnlich nicht halbprimitiv.

Halbeinfacher Ring: Ein halbeinfacher Ring ist ein Ring R, der eine "nette" Zergliederung im Sinn hat, dass R ein halbeinfaches linkes R-Modul ist. Jeder halbeinfache Ring ist auch Artinian, und hat keine nilpotent Ideale. Der Artin-Wedderburn Lehrsatz behauptet, dass jeder halbeinfache Ring ein begrenztes Produkt von vollen Matrixringen über Abteilungsringe ist.

Einfacher Ring: Ein Nichtnullring, der nur trival zweiseitige Ideale hat (das Nullideal, der Ring selbst, und nicht mehr) ist ein einfacher Ring.

Trivialer Ring oder Nullring: Der Ring, der nur aus einem einzelnen Element 0=1 besteht. Nullring hat auch eine andere Bedeutung, sieh unten.

Einzigartiges factorization Gebiet oder Factorial-Ring: Ein integriertes Gebiet R, in dem jedes Nichtnullnichteinheitselement als ein Produkt von Hauptelementen von R geschrieben werden kann. Das bedeutet im Wesentlichen, dass jede Nichtnullnichteinheit einzigartig als ein Produkt von nicht zu vereinfachenden Elementen geschrieben werden kann.

von Neumann regelmäßiger Ring: Ein Ring für der jedes Element eine Dose, als a=axa für ein anderes Element x im Ring ausgedrückt werden. Halbeinfache Ringe sind regelmäßiger von Neumann.

Nullring oder ungültiger Ring: Ein rng (klingeln ohne 1), in dem das Produkt irgendwelcher zwei Elemente 0 (das zusätzliche neutrale Element) ist. Außerdem der Nullring, der Ring, der nur aus einem einzelnen Element 0=1 besteht (sieh trivialen Ring, oben).

Ringaufbauten

Direktes Produkt einer Familie von Ringen: Das ist eine Weise, einen neuen Ring von gegebenen Ringen durch die Einnahme des kartesianischen Produktes der gegebenen Ringe und das Definieren der algebraischen teilklugen Operationen zu bauen.

Endomorphismus-Ring: Ein Ring hat sich durch die Endomorphismen einer algebraischen Struktur geformt. Gewöhnlich wird seine Multiplikation genommen, um Funktionszusammensetzung zu sein, während seine Hinzufügung pointwise Hinzufügung der Images ist.

Lokalisierung eines Rings: Für Ersatzringe, eine Technik, um einen gegebenen Satz von Elementen eines Rings in Einheiten zu drehen. Es wird Lokalisierung genannt, weil es verwendet werden kann, um jeden gegebenen Ring in einen lokalen Ring zu machen. Um einen Ring R zu lokalisieren, nehmen Sie geschlossene Teilmenge eines multiplicatively S, keine Nullteiler enthaltend, und definieren Sie formell ihre multiplicative Gegenteile, die in R hinzugefügt werden sollen. Die Lokalisierung in Nichtersatzringen ist mehr kompliziert, und ist auf definierte mehrere verschiedene Weisen gewesen.

Matrixring: In Anbetracht eines Rings R ist es möglich, Matrixringe zu bauen, deren Einträge aus R kommen. Häufig sind das die Quadratmatrixringe, aber unter bestimmten Bedingungen "sind unendliche Matrixringe" auch möglich. Quadratmatrixringe entstehen als Endomorphismus-Ringe von freien Modulen mit der begrenzten Reihe.

Entgegengesetzter Ring

: In Anbetracht eines Rings R hat sein entgegengesetzter Ring denselben zu Grunde liegenden Satz wie R, die Hinzufügungsoperation wird als in R definiert, aber das Produkt von s und r darin ist rs, während das Produkt sr in R ist.

Polynomische Ringe

Differenzialpolynom ruft an

Formelle Macht-Reihen rufen an

Polynom von Laurent ruft an

Monoid rufen an

Polynomischer Ring

: Gegebener R ein Ersatzring. Der polynomische Ring R [x] wird definiert, um der Satz mit der Hinzufügung zu sein, die dadurch definiert ist

\sum_i (a_i+b_i) x^i </Mathematik>, und mit der Multiplikation, die dadurch definiert ist

\sum_k \left (\sum_ {ich, j: ich + j = k\a_i b_j\right) x ^k </Mathematik>.

: Einige Ergebnisse über Eigenschaften von R und R [x]:

:* Wenn R UFD ist, auch ist R [x].

:* Wenn R Noetherian ist, auch ist R [x].

Ring von vernünftigen Funktionen

Verdrehen Sie polynomischen Ring

: Gegebener R ein Ring und ein Endomorphismus von R. Der verdrehen polynomische Ring wird definiert, um der Satz, mit der Hinzufügung definiert wie gewöhnlich, und durch die Beziehung definierte Multiplikation zu sein.

Verschieden

Eigenschaft: Die Eigenschaft eines Rings ist die kleinste positive ganze Zahl n, nx=0 für alle Elemente x des Rings befriedigend, wenn solch ein n besteht. Sonst ist die Eigenschaft 0.

Dimension von Krull eines Ersatzrings: Die maximale Länge einer ausschließlich zunehmenden Kette von Hauptidealen im Ring.

Ringmäßigstrukturen

Die folgenden Strukturen schließen Generalisationen und andere algebraische Ringen ähnliche Gegenstände ein.

Nearring: Eine Struktur, die eine Gruppe unter der Hinzufügung, eine Halbgruppe unter der Multiplikation ist, und dessen Multiplikation rechts über die Hinzufügung verteilt.

Rng: Eine algebraische Struktur, die dieselben Eigenschaften wie ein Ring befriedigt, außer dass Multiplikation kein Identitätselement zu haben braucht. Der Begriff "rng" wird gemeint, um darauf hinzuweisen, dass es ein "Ring" ohne eine "Identität" ist.

Halbring: Eine algebraische Struktur, die dieselben Eigenschaften wie ein Ring befriedigt, außer dass Hinzufügung nur ein abelian monoid Operation, aber nicht eine abelian Gruppenoperation sein muss. D. h. Elemente in einem Halbring brauchen zusätzliche Gegenteile nicht zu haben.

Siehe auch

• Wörterverzeichnis der Feldtheorie
• Wörterverzeichnis der Modul-Theorie

Referenzen