In der Mathematik, mehr spezifisch im Gebiet der modernen als Ringtheorie bekannten Algebra, ist ein Ring von Noetherian, genannt nach Emmy Noether, ein Ring, in dem jeder nichtleere Satz von Idealen ein maximales Element hat. Gleichwertig ist ein Ring Noetherian, wenn es die steigende Kettenbedingung auf Idealen befriedigt; d. h. in Anbetracht jeder Kette:

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dort besteht eine positive ganze Zahl n solch dass:

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Es gibt andere gleichwertige Formulierungen der Definition eines Rings von Noetherian, und diese werden später im Artikel entworfen.

Der Begriff eines Rings von Noetherian ist von grundsätzlicher Wichtigkeit sowohl in der Ersatz-als auch in Nichtersatzringtheorie wegen der Rolle, die es in der Vereinfachung der idealen Struktur eines Rings spielt. Zum Beispiel sind der Ring von ganzen Zahlen und der polynomische Ring über ein Feld sowohl Ringe von Noetherian, als auch folglich, solche Lehrsätze wie der Lasker-Noether Lehrsatz, der Kreuzungslehrsatz von Krull, und der Basislehrsatz von Hilbert hält für sie. Außerdem, wenn ein Ring Noetherian ist, dann befriedigt es die hinuntersteigende Kettenbedingung auf Hauptidealen. Dieses Eigentum deutet eine tiefe Theorie der Dimension für Ringe von Noetherian an, die mit dem Begriff der Dimension von Krull beginnen.

Einführung

Lassen Sie zeigen den Ring von ganzen Zahlen an; d. h. lassen Sie, der Satz von ganzen Zahlen zu sein, die mit seinen natürlichen Operationen der Hinzufügung und Multiplikation ausgestattet sind. Ein Ideal darin ist eine Teilmenge, ich, dessen werde unter der Subtraktion (d. h., wenn,) geschlossen, und hat unter der "Innenaußenmultiplikation" geschlossen (d. h., wenn r jede ganze Zahl ist, nicht notwendigerweise in mir, und ich jedes Element von mir, bin). Tatsächlich, im allgemeinen Fall eines Rings, definieren diese zwei Voraussetzungen den Begriff eines Ideales in einem Ring. Es ist eine Tatsache, dass der Ring ein idealer Hauptring ist; d. h. für jedes Ideal I darin, dort besteht eine ganze Zahl n in mir solch, dass jedes Element von mir ein Vielfache von n bin. Umgekehrt ist der Satz aller Vielfachen einer willkürlichen ganzen Zahl n notwendigerweise ein Ideal, und wird gewöhnlich durch (n) angezeigt.

Obwohl es viele (gleichwertige) Formulierungen dessen gibt, was es für einen Ring, R bedeutet, Noetherian zu sein, diktiert eine Formulierung, dass jede steigende Kette von Idealen in R endet. D. h. wenn:

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ist eine steigende Kette von Idealen, dann dort besteht eine positive ganze Zahl n solch dass

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Zum Beispiel, wenn ich und J Ideale darin sind, dort bestehen Sie ganze Zahlen n und solche M, dass ich = (n) und J = (m) (d. h. jede ganze Zahl in bin mir ein Vielfache von n und jeder ganzen Zahl in J, ein Vielfache von m bin). In diesem Fall, wenn, und nur wenn jedes Element von mir ein Element von J, oder gleichwertig bin, wenn jedes Vielfache der ganzen Zahl n ein Vielfache der M ist. Mit anderen Worten, wenn, und nur wenn M n teilt (oder M ist ein Faktor von n). Außerdem ist die Einschließung richtig, wenn, und nur wenn M ein richtiger Teiler von n (d. h. mit k ist, der entweder 1 oder −1 nicht gleich ist).

So, wenn:

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ist eine steigende Kette von Idealen darin, und ich = (n) für den ganzen j und ganze Zahlen n, n teile n für den ganzen j. Wenn jede Einschließung richtig ist (d. h. wenn die Kette nicht endet), würde n ein richtiger Teiler von n sein, n würde ein richtiger Teiler von n usw. sein. Insbesondere der unmöglich ist, da es nur begrenzt viele positive ganze Zahlen ausschließlich weniger geben kann als n. Folglich, ist ein Ring von Noetherian.

Deshalb verallgemeinert der Begriff eines Rings von Noetherian solche Ringe wie. Das grundsätzliche Eigentum von verwendeten im Beweis besteht oben darin, dass es keine Kette von positiven ganzen Zahlen geben kann, wo jede ganze Zahl in der Kette ausschließlich weniger ist als sein Vorgänger; mit anderen Worten ist der Ring von ganzen Zahlen nicht "zu groß", da er solch eine "große Kette" nicht stützen kann. Das ist in der Theorie von Ringen von Noetherian typisch; häufig, um ein Ergebnis über Ringe von Noetherian zu beweisen, appelliert man an die Tatsache, dass die fraglichen Ringe nicht "zu groß" sind. Mehr formell nimmt man an, dass der Beschluss des Ergebnisses falsch ist und eine steigende Kette ausstellt, die so das Widersprechen der Tatsache nicht begrenzt, dass der Ring "nicht zu groß ist", und feststellend, dass der Beschluss tatsächlich wahr sein muss.

Während der Beweis, der ein Ring von Noetherian ist, die Ordnungsstruktur dessen verwendet, nehmen typische Beweise in der Ringtheorie im Allgemeinen solche zusätzliche Struktur auf dem Ring nicht an. Tatsächlich ist es möglich, einen Beweis zu geben, der ein Ring von Noetherian ist, ohne an seine Ordnungsstruktur zu appellieren, und dieser Beweis mehr allgemein für ideale Hauptringe gilt (d. h., Ringe, in denen jedes Ideal durch ein einzelnes Element erzeugt wird).

Obwohl der Ring ein Ring von Noetherian ist, streckt sich die Theorie von Ringen von Noetherian weit außer gerade diesem Ring aus. Lassen Sie zum Beispiel zeigen den polynomischen Ring in einem unbestimmtem an. Lassen Sie mehr spezifisch, der Satz aller Polynome mit Koeffizienten der ganzen Zahl zu sein (solch ein Polynom wird auch ein Polynom genannt), mit der Hinzufügung und Multiplikation, die definiert ist, um natürliche polynomische Hinzufügung und Multiplikation zu sein. Unter diesen Operationen wird ein Ring. Mehr allgemein, wenn R ein Ring ist, kann der Satz aller Polynome mit Koeffizienten in R mit der Struktur eines Rings ausgestattet werden und wird durch R [X] angezeigt.

Obwohl jedes Ideal darin einfach der Satz von Vielfachen einer bestimmten ganzen Zahl n ist, ist die ideale Struktur dessen ein bisschen mehr kompliziert; es gibt Ideale, die als der Satz von Vielfachen eines gegebenen Polynoms nicht ausgedrückt werden dürfen. Gestellt verschieden, ist nicht ein idealer Hauptring. Jedoch ist es ein Ring von Noetherian. Diese Tatsache folgt aus dem nach dem Mathematiker David Hilbert genannten Basislehrsatz des berühmten Hilberts; der Lehrsatz behauptet, dass, wenn R ein Ring von Noetherian (solcher als, zum Beispiel,), R [X] ist, auch ein Ring von Noetherian ist. Durch die Induktion stellt der Basislehrsatz von Hilbert fest, dass, der Ring aller Polynome in n Variablen mit Koeffizienten darin, ein Ring von Noetherian ist.

So, gewissermaßen, vereinigt der Begriff eines Rings von Noetherian die ideale Struktur von verschiedenen "natürlichen Ringen". Während die ideale Struktur dessen beträchtlich komplizierter als n Zunahmen wird, bleiben die fraglichen Ringe noch Noetherian, und jeder Lehrsatz darüber kann mit nur die Tatsache bewiesen werden, die Noetherian ist, kann dafür bewiesen werden.

Charakterisierungen

Für Nichtersatzringe ist es notwendig, zwischen drei sehr ähnlichen Konzepten zu unterscheiden:

• Ein Ring ist nach-links-Noetherian, wenn er die steigende Kettenbedingung auf linken Idealen befriedigt.
• Ein Ring ist richtig-Noetherian, wenn er die steigende Kettenbedingung auf richtigen Idealen befriedigt.
• Ein Ring ist Noetherian, wenn es sowohl nach links als auch richtig-Noetherian ist.

Für Ersatzringe fallen alle drei Konzepte zusammen, aber im Allgemeinen sind sie verschieden. Es gibt Ringe, die nach-links-Noetherian und, und umgekehrt nicht richtig-Noetherian sind.

Es gibt anderen, gleichwertig, Definitionen für einen Ring R, um nach-links-Noetherian zu sein:

• Jedes linke Ideal I in R wird begrenzt erzeugt, d. h. dort bestehen Sie Elemente a..., in mir solch dass ich = Ra +... + Ra.
• Jeder nichtleere Satz von linken Idealen von R, der teilweise durch die Einschließung bestellt ist, hat ein maximales Element in Bezug auf die Satz-Einschließung.

Ähnliche Ergebnisse halten für richtige-Noetherian Ringe.

Es ist auch bekannt, dass für einen Ersatzring, um Noetherian zu sein, es genügt, dass jedes Hauptideal des Rings begrenzt erzeugt wird. (Das Ergebnis ist wegen meiner. S. Cohen.)

Der Basislehrsatz von Hilbert

Wenn R ein Ring ist, lassen Sie R [X] zeigen an, dass der Ring von Polynomen im unbestimmten X über R. Hilbert dass bewiesen hat, wenn R", im Sinn "nicht zu groß ist, dass, wenn R Noetherian ist, dasselbe für R [X] wahr sein muss. Formell,

Lehrsatz

Wenn R ein Ring von Noetherian ist, dann ist R [X] ein Ring von Noetherian.

Folgeerscheinung

Wenn R ein Ring von Noetherian ist, dann ein Ring von Noetherian ist.

Für einen Beweis dieses Ergebnisses, sieh die entsprechende Abteilung auf der Basislehrsatz-Seite von Hilbert. Geometrisch behauptet das Ergebnis, dass jeder unendliche Satz von polynomischen Gleichungen zu einem begrenzten Satz von polynomischen Gleichungen mit genau demselben Lösungssatz vereinigt werden kann (der Lösungssatz einer Sammlung von Polynomen in n Variablen ist allgemein ein geometrischer Gegenstand (wie eine Kurve oder eine Oberfläche) im N-Raum).

Primäre Zergliederung

Im Ring von ganzen Zahlen ist ein willkürliches Ideal von der Form (n) für eine ganze Zahl n (wo (n) den Satz aller Vielfachen der ganzen Zahl von n) anzeigt. Wenn n Nichtnull ist, und weder 1 noch −1 durch den Hauptsatz der Arithmetik ist, dort bestehen Sie Blüte p und positive ganze Zahlen e, damit. In diesem Fall kann das Ideal (n) als die Kreuzung der Ideale (p) geschrieben werden; d. h. Das wird eine primäre Zergliederung des Ideales (n) genannt.

Im Allgemeinen, wie man sagt, ist ein Ideal Q eines Rings primär, wenn Q richtig ist und wann auch immer, entweder oder für eine positive ganze Zahl n. In sind die primären Ideale genau die Ideale der Form (p), wo p erst ist und e eine positive ganze Zahl ist. So entspricht eine primäre Zergliederung von (n) dem Darstellen (n) als die Kreuzung von begrenzt vielen primären Idealen.

Seitdem der Hauptsatz der Arithmetik für eine ganze Nichtnullzahl n gegolten hat, der weder 1 noch −1 ist, auch behauptet Einzigartigkeit der Darstellung für die p Blüte und e positiv, eine primäre Zergliederung von (n) ist im Wesentlichen einzigartig.

Aus allen obengenannten Gründen kann der folgende Lehrsatz, gekennzeichnet als der Lasker-Noether Lehrsatz, als eine bestimmte Generalisation des Hauptsatzes der Arithmetik gesehen werden:

Lehrsatz

Lassen Sie R ein Ring von Noetherian sein und mich ein Ideal von R sein zu lassen. Dann kann ich als die Kreuzung von begrenzt vielen primären Idealen mit verschiedenen Radikalen geschrieben werden; das ist:

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mit der Q Vorwahl für alles ich und dafür. Außerdem, wenn:

:

ist Zergliederung von mir mit für und beide Zergliederungen davon mir bin irredundant (das Meinen, dass keine richtige Teilmenge entweder dessen oder eine Kreuzung nachgibt, die I gleich ist), und (nach dem möglichen Umnummerieren vom Q) für alles ich.

Für jede primäre Zergliederung von mir, den Satz aller Radikalen, d. h. bleibt der Satz dasselbe durch den Lasker-Noether Lehrsatz. Tatsächlich stellt es sich heraus, dass (für einen Ring von Noetherian) der Satz genau der assassinator des Moduls R/I ist; d. h. der Satz aller Vernichter von R/I (angesehen als ein Modul über R), die erst sind.

Gebrauch

Das Noetherian Eigentum ist in der Ringtheorie und in Gebieten zentral, die schweren Gebrauch von Ringen wie algebraische Geometrie machen. Der Grund dahinter besteht darin, dass das Eigentum von Noetherian in einem ist, fühlen die ringtheoretische Entsprechung der Endlichkeit. Zum Beispiel erlaubt die Tatsache, dass polynomische Ringe über ein Feld Noetherian sind, zu beweisen, dass jeder unendliche Satz von polynomischen Gleichungen durch einen begrenzten Satz mit denselben Lösungen ersetzt werden kann.

Der ideale Hauptlehrsatz von Krull ist ein wichtiges Eigentum von Ringen von Noetherian. Es stellt fest, dass jedes Hauptideal in einem Ersatzring von Noetherian Höhe ein hat; d. h. jedes Hauptideal wird in einem unter Nichtnullhauptidealen minimalen Hauptideal enthalten. Dieses frühe Ergebnis war erst, um darauf hinzuweisen, dass Ringe von Noetherian eine tiefe Theorie der Dimension besessen haben.

Beispiele

• Jedes Feld, einschließlich Felder von rationalen Zahlen, reellen Zahlen und komplexen Zahlen. (Ein Feld hat nur zwei Ideale - selbst und (0).)
• Jedes ideale Hauptgebiet, wie die ganzen Zahlen.
• Der Ring von Polynomen in begrenzt noch viel Variablen über die ganzen Zahlen oder ein Feld.

Ringe, die nicht Noetherian sind, neigen dazu (in einem Sinn) sehr groß zu sein. Hier sind zwei Beispiele von Non-Noetherian-Ringen:

• Der Ring von Polynomen in ungeheuer noch viel Variablen, X, X, X, usw. Die Folge von Idealen (X), (X, X), (X, X, X), steigt usw. und endet nicht.
• Der Ring von dauernden Funktionen von den reellen Zahlen bis die reellen Zahlen ist nicht Noetherian: Lassen Sie mich das Ideal aller dauernden Funktionen f solch dass f (x) = 0 für den ganzen x  n sein. Die Folge von Idealen I, ich, bin ich usw. eine steigende Kette, die nicht endet.

Jedoch kann ein Non-Noetherian-Ring ein Subring eines Rings von Noetherian sein:

• Der Ring von vernünftigen Funktionen, die durch x und y/x über ein Feld k erzeugt sind, ist ein Subring des Feldes k (x, y) in nur zwei Variablen.

Tatsächlich gibt es Ringe, denen Noetherian, aber nicht richtiger Noetherian verlassen werden, so dass man im Messen der "Größe" eines Rings dieser Weg sorgfältig sein muss.

Eigenschaften

• Wenn R ein Ring von Noetherian ist, dann ist R [X] Noetherian durch den Basislehrsatz von Hilbert. Außerdem R
• Wenn R ein Ring von Noetherian ist und ich ein zweiseitiges Ideal bin, dann ist der Faktor-Ring R/I auch Noetherian.
• Jede begrenzt erzeugte Ersatzalgebra über einen Ersatzring von Noetherian ist Noetherian. (Das folgt aus den zwei vorherigen Eigenschaften.)
• Jede Lokalisierung eines Ersatzrings von Noetherian ist Noetherian.
• Eine Folge des Akizuki-Hopkins-Levitzki Lehrsatzes ist, dass jedem linken Ring von Artinian Noetherian verlassen wird. Eine andere Folge ist, dass ein linker Ring von Artinian richtiger Noetherian wenn und nur wenn richtiger Artinian ist. Die analogen Behauptungen mit "dem Recht" und "verlassen" ausgewechselt sind auch wahr.
• Ein Ring R ist nach-links-Noetherian, wenn, und nur wenn jedes begrenzt erzeugte linke R-Modul ein Modul von Noetherian ist.
• Ein linker Ring von Noetherian wird zusammenhängend verlassen, und ein linkes Gebiet von Noetherian ist ein linkes Erzgebiet.
• Ein Ring ist (linker/richtiger) Noetherian, wenn, und nur wenn jede direkte Summe von injective (linke/richtige) Module injective ist. Jedes injective Modul kann als direkte Summe von unzerlegbaren injective Modulen zersetzt werden.
• Kapitel X von